2012年高考课标全国卷数学（理科）试卷评析，本文主要内容关键词为：理科论文,试卷论文,课标论文,全国卷论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年高考已经落下帷幕，但对2012年高考数学试卷的反思与回味却一直没有停止过，2012年的高考数学试卷在考试一结束就给新疆的中学数学教育界带来了一定的震撼和冲击，数学教师和考生普遍反映这份试卷较难.新疆是2011年首次进行新课程高考的（用的是课标全国卷），2012年是第二年，但是2012年新疆的一本分数线（445分）比2011年（473分）下降了28分，这其中主要是受数学试卷的影响（当然也有一点理综试卷的影响）.现在经过一定时间的沉淀，这份试卷愈发显得隽永深邃，它为高中新课程的实施产生了积极良好的引导作用，也为新课程下的高考做出了有益的尝试和探索.
这份试卷保持了往年高考数学试卷“既全面又突出重点，从学科整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交会点处设计试题”、“对数学思想方法的考查要与数学知识相结合”、“以能力立意命题”、“兼顾试题的基础性、综合性和现实性”、“全面考查综合数学素养”的这些特点，另外还出现了一些新的特点值得我们深思和研究.
下面就试卷中的解答题做一些分析.
本题属于历年高考中的常规题型，在“三角函数”、“三角恒等变换”、“解三角形”的知识交会点处命题，属于较容易的题，但学生做下来的实际情况却表明这是一个中等难度的题.本题在数学思想方面主要考查了方程的思想及化归与转化的思想，考查了考生运算求解能力.
考生答题情况与教学分析：本题新疆考生的平均得分为3.14/4.8分（含零分/不含零分）.考生答卷中反映出来的问题有：
（1）在
这一步之后，想不到要把sinB等量代换为sin（A+C），究其原因，笔者甚至认为是在日常教学中对和差化积、积化和差这部分内容教学过程完成得不够充分完整，学生没有充分经历其思维过程造成的“夹生饭”.有些教师总觉得这部分内容高考不考了，在教学中就一笔带过，其实高考只是不要求记忆其公式了，而和差化积、积化和差的内容在教材中仍然是重要的例题和习题，其思考解决问题的过程仍然是很经典的，而且这个内容在数学史上的地位也还是重要的（它在简化计算方面比对数出现得都早）.高考大纲要求考生能“导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆”.
例2 （第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N*）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
试题评析：第（1）小题要分别考虑当日需求量超过16和日需求量不超过16时这两种情况下的利润y，最后用分段函数来表示.
第（2）小题容易计算出X的数学期望为EX=76，方差为DX=44.再设“若花店一天购进17枝玫瑰花，用Y表示当天的利润（单位：元）”，计算出Y的数学期望为EY=76.4，方差为DY=112.04.这时候可以根据不同的“视角”来分析这个问题，得出不同的答案.答案一：由以上的计算结果可以看出，DX＜DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.而虽然EX＜EY，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花（这个答案“不落俗套”，反映的是“生活的真实”，不着痕迹地考查了考生的“非智力因素”）.答案二：由以上的计算结果可以看出，EX＜EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花（这个答案也就是教科书上的答案）.
本题属于高考中的应用题题型，在“概率与统计”的知识点上命题，属于较容易的题.一如既往地体现了新课程高考的“先统计后概率，概率来自于统计”的命题特点，自然真实地考查了“概率与统计”知识在实际生活中的应用.应用意识的核心是客观事物的“数学化”，本题设置的情景适合于农村和城市的所有学生，要经营花店肯定要每天做好记录，这是一个“抽样”的过程，“抽样”是为了反映“总体”，以此为实际问题作出决策提供依据，这恰恰是“统计”课程的核心思想，本题较好地坚持了“贴近生活，背景公平，控制难度”的命题原则.在数学思想方面主要考查了“分类讨论”的思想及“或然与必然”的思想，考查了考生数据处理能力、应用意识和一定的创新意识.
本题的亮点是第（1）小题自然而然地考查了分类讨论的数学思想：y关于n的函数解析式为有很多考生只做出了
，这反映出平时的“分类讨论”教学流于形式、“硬着陆”，而不是自然而然的.
本题的另一个亮点是第（2）小题在高考中尝试给出了开放性的答案，就看你用怎样的“视角”来看待和分析这个问题了，是数学真实反映现实的写照，体现出了一定的人文价值.也将对贯彻新课程“发展学生的数学应用意识”的理念产生良好的导向作用.
考生答题情况与教学分析：本题新疆考生的平均得分为3.44/4.29分（含零分/不含零分）.其实“答案一”比“答案二”更能反映出考生对数学期望和方差概念的深刻理解与实际应用，而“答案二”只是平时机械训练的结果，可惜阅卷中几乎就没有在考生的解答中出现过“答案一”，值得我们在教学中做认真反思！
还有一些考生选择“花店一天应购进16枝玫瑰”.理由是16枝玫瑰卖出的概率比17枝玫瑰卖出的概率大；而另一些考生选择“花店一天应购进17枝玫瑰”.理由是17枝玫瑰卖出的利润比16枝玫瑰卖出的利润大，显然这样的思维层次是很低级的，还停留在小学的思维层次上，只是从某一个片面的角度思考问题，完全不能够从综合的角度分析问题.
试题评析：本题属于历年高考中的常规题型，属于较容易的题，本题“构图”普通，第（1）小题“证明：
”意图在于考查学生“分析法”的数学思维，“求二面角”则考查向量方法，搭配合理，发挥出考题的综合效应.本题主要考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
（2）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.
试题评析：本题与历年高考中的解析几何题相比有所创新，在直线、圆、抛物线的知识交会点处命题，本题“构图”的立意主要来自于抛物线的定义可以实现距离的转化，在一个共同的图形背景下，第（1）小题和第（2）小题分别增加了一个条件“若∠BFD=90°”、“若A、B、F三点在同一直线m上”以此来实现图形的具体化，营造了一个个更加有利于应用抛物线的定义的情景，第（1）小题完全就是“综合法”，第（2）小题是在“综合法”基础上的“坐标法”.本题在数学思想方面主要考查了数形结合的思想、方程的思想及化归与转化的思想，考查了考生的推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
考生答题情况与教学分析：本题新疆考生的平均得分为0.49/2.81分（含零分/不含零分），成为这份试卷中最难的一道题.阅卷过程中反映出来的问题有：
（1）是选取p还是选取R这个量来做本题的未知量？有些学生是选取R这个量，也照样完成了解答，但是这中间还是有讲究的，应该选取p做未知量，因为p是“与题俱来”的，而R还需要设.我们平时的解题教学中有一个原则，就是“求啥设啥”，目标明确，思维上追求简捷.
（4）第（2）小题有些学生给出的是坐标法的解答：
这样做比起标准答案来说“坐标法”运用得非常充分，而标准答案的“几何味”太重！
（II）若a+1=0，此时（a+1）b=0.
本题属于压轴题，在“函数与导数”的知识交会点处命题，综合性很强，在数学思想方面主要考查了函数的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想以及特殊与一般的思想、有限与无限的思想，考查了考生推理论证能力、运算求解能力及创新意识.可见，要完整解答本题，需要多种数学思想与数学能力综合发挥作用，作为压轴题名副其实.
考生答题情况与教学分析：本题新疆考生的平均得分为0.62/3.24分（含零分/不含零分）.
选做题（考生在22、23、24题中任选一道做答），其中22题为选修4-1:几何证明选讲；23题为选修4-4:坐标系与参数方程；24题为选修4-5：不等式选讲.
新疆考生（理科）选做22、23、24题所占的比例分别为15.3%，12.2%，72.5%.
（课标全国卷理科第22题）（选修4-1:几何证明选讲）（略）本题新疆考生的平均得分为2.78/3.13分（含零分/不含零分）.
考生答题情况与教学分析：本题新疆考生的平均得分为3.44/3.72（含零分/不含零分）.有一部分学生把点A关于y轴，x轴对称过去就认为是B、C、D，是题意理解不清和审题草率的问题，还有一些学生把
硬是用直角坐标表达出来，最后也得到了正确答案，但反映出来的是对极坐标的概念没有真正地理解，因此也就不能达到运用极坐标的水平.
例6 （第24题）（选修4-5：不等式选讲）已知函数f（x）=｜x +a｜+｜x-2｜.
（1）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤｜x-4｜的解集包含[1，2]，求a的取值范围.
试题评析：2012年《考试说明》中指出“会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax+b｜≤c；｜ax +b｜≥c；｜x-a｜+｜x-b｜≥c”，本题很好地落实了这一点.第（2）小题的不等式｜x +a｜+｜x-2｜≤｜x-4｜中含有三个绝对值，这似乎有点超纲，但只要想一想《考试说明》中的规定，自然就能想到利用[1，2]这个范围可以破掉两个绝对值，使之转化为只含有一个绝对值的不等式.
考生答题情况与教学分析：本题新疆考生的平均得分为5.59/5.64（含零分/不含零分）.很多考生就在不等式｜x+a｜+｜x-2｜≤｜x-4｜中用分段讨论的方法使问题越变越复杂，无果而终；还有相当一部分学生把x=1，x=2两个端点值带入不等式f（x）≤｜x-4｜中，算出的答案也对，这是要扣分的，反映出来的是平时教学的浮躁.
最后，对试卷中的个别地方提出自己的一点质疑.第12题“设点P在曲线
上，点Q在曲线y =ln（2x）上，则｜PQ｜的最小值为（）”.此题涉及反函数以及互为反函数的函数图象之间的关系，而无论是课程标准还是考试说明都只要求“了解（知道）指数函数
互为反函数（a＞0，且a≠1）”所以有超纲之嫌；第20题“解析几何”题，“几何味”太重，全题能否顺利解答取决于前半段的平面几何综合法的推理，这与解析几何的课程宗旨“坐标法”有些背离，人教A版数学选修4-4中指出：“我们知道，通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合.根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法.”这段话阐述了“坐标法”的根本含义，是解析几何的课程性质.这道高考题会不会对中学的解析几何教学和高三复习产生误导呢？值得商榷.