功、动能和机械能_动能定理论文

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一、各分力功的代数和等于合力的功

即各个分力对质点做功的代数和等于这些力的合力所做的功；第二，如果作为力的作用对象的物体不能视为一质点，或者说组成该物体的各质点的位移不相同，则上式中的位移l应理解为受到力作用的质点的位移。对功的定义有准确的理解能帮助我们快捷、正确地解决相关问题。

例1 如图1所示，物块与滑轮连结在一起，轻绳的一端固定在墙上，另一端跨过滑轮并受到一恒力F的作用，F的方向与水平面成θ角。在F的作用下，物块水平向右位移s，求此过程中恒力F做的功。

解：这道题有三种不同的解法。

解法一：把物块和轻绳视为一个整体，力F的作用点在绳端，所以关键在于求绳端的位移。在物块水平向右位移s的过程中，绳端沿θ方向移动s的同时，还水平向右移动了s，如图2所示，于是绳端的位移l可由余弦定理解得

力F与位移l间的夹角为θ/2，所以，力F做的功为

解法二：把物块作为受力对象，受到两个大小均为F的力，一个水平向右，另一个与水平成θ角，如图3所示。两者合力的大小可用余弦定理

解法三：把物块作为受力对象，受到两个大小均为F的力，一个水平向右，另一个与水平成θ角，物块的位移s水平向右。所求的功即为各分力的功的代数和

比较这三种解法可以看出，解法一中力虽很简单，但绳端的位移需用余弦定理求解几何关系，计算功时还需用到三角函数的半角公式；解法二的计算量与解法一相仿，位移虽很简单，但求合力和合力的功较麻烦；解法三由于避免了几何关系的运算，所以思维和计算都最为简洁明快。在本例中，既可以将物块和绳视为一整体，力F的作用点为绳端；也可以仅将物块作为研究对象，力的作用点为与物块相连的滑轮，由于轻绳质量不计，绳中处处张力相同，所以物块同时受到两个大小相同，互成θ夹角的力的作用。另一方面，对于作用于同一质点的两个力的功，既可以直接计算合力所做的功，也可以计算各分力的功的代数和。可见，准确地理解功的定义式，并根据具体情况选择合适的方法，往往能在解题时取得事半功倍的效果。

二、功的大小与参照系的选择有关

当我们的研究对象是做低速运动的宏观物体时，不需要考虑相对论效应。这时，牛顿力学是适用的。如果惯性参照系S相对于另一惯性参照系S'以恒定速度u沿x轴正方向运动，那么质点在这两个参照系中沿x轴方向运动的速度v和v'，以及位移x和x'满足伽利略变换：

v'=v+u

x'=x+ut

两个参照系中质点所受的力是相同的，但质点位移不同。所以，根据功的定义可以看出，在这两个参照系中力对质点所做功的大小是不同的。

三、动能定理的形式在任何惯性参照系中都相同

在不同的惯性参照系中，质点的质量是相同的，但速度不同，所以很明显，质点的动能也是不同的。

动能定理告诉我们，力对质点所做的功等于质点动能的增量，即。根据前面的分析，等式左边的功与参照系的选取有关，等式右边的动能也与参照系有关，那么，表示动能定理的等式是否会因参照系而异呢？答案是否定的。当我们从一个参照系变换到另一个参照系的时候，力对质点做功的多少改变了，质点动能增量的大小也改变了，但功等于动能增量这一关系却保持不变。我们把这样的一种性质称为动能定理这一物理规律对于惯性参照系之间的伽利略变换是协变的。需要强调的是，这里所说的参照系是指惯性参照系，是相对于静止参照系做匀速直线运动的参照系。对于做加速运动的非惯性参照系，动能定理是不适用的。

为了对功和动能定理的这些特性有一个具体的认识，来看一个简单的例子。

例2 如图4所示，长l的车厢以恒定速度u在水平地面上向右运动，车厢内的光滑地板上，一质量为m的小木块在水平恒力F作用下由静止开始从车厢后壁运动到前壁。分别在车厢和地面两个参照系中计算此过程中恒力对小木块做的功及木块动能的变化。

解：先计算恒力做的功。在车厢参照系S中，恒力F和小木块的位移l都是已知的，所以根据定义可以直接写出恒力做的功

设木块从车厢后壁运动到前壁所用的时间为t，则

可见，在地面参照系中恒力做的功更多些，这是因为木块在地面参照系中的位移更大。两个参照系中功的大小之差非但与两参照系的相对速度u有关，而且还与力的大小、力的作用时间等诸多因素有关。

再来计算小木块动能的变化。在车厢参照系S中，木块的初、末速度分别为

可见，两参照系中木块动能的增量也是不同的，地面参照系中的动能增量大些，但两个参照系中木块动能的增量都等于各自参照系中恒力F所做的功。也就是说，动能定理在两个参照系中都是成立的。

四、机械能是否守恒与参照系的选择有关

重力、万有引力、弹簧弹力等一类力有一个共同性质，即它们对一质点做功的大小仅与质点的始末位置有关，而与质点运动的具体路径无关，这一类力称为保守力。对于保守力，可以引进势能的概念：保守力在某一过程中对质点所做的功等于该过程始末位置的相应势能之差，即

根据前面的分析，外力做功与否跟参照系的选取是有关的。假设某一系统只受到外力和保守内力的作用。在一个参照系中外力不做功，所以系统的机械能守恒。但在另一参照系中外力是做功的，于是机械能就不守恒了。

例3 一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。

解：否。原因是墙壁对弹簧—小球体系有作用力，在运动参考系里此力的作用点有位移，所以对体系做功，从而改变这一体系的机械能。

众所周知，在与固定墙面保持相对静止的参照系里，弹簧—小球体系的机械能是守恒的。弹簧弹力是保守力，当小球在弹簧弹力作用下做自由振动时，小球的动能和弹簧的弹性势能之间不停地相互转换，但总机械能保持不变。在弹簧与小球连接的一端通过弹力对小球做功而使弹性势能转换成小球动能的同时，弹簧的另一端有大小相等、方向相反的弹力作用于固定墙面。根据牛顿第三定律，墙面对弹簧也有一作用力。对于弹簧—小球体系而言，这是外力。但由于在墙面参照系中墙面—弹簧作用点是固定不动的，始终没有位移，所以这一外力并不做功。弹簧—小球体系的机械能守恒也就理所当然了。

在沿弹簧长度方向以速度u做匀速运动的参考系里，情况就不同了。为了便于讨论，在不影响结论普遍正确的情况下，我们不妨假设参考系向右运动。在这一运动参考系中，墙面—弹簧作用点以速度u向左运动，时间t内的位移为-ut。显然，墙面对弹簧的作用力是做功的，所以在运动参考系中弹簧—小球体系的机械能并不守恒。我们不妨来算一算这个力所做的功。

由于小球做周期性运动，墙面对弹簧的力也是周期性变化的，我们只需计算弹簧从压至最紧到恢复至平衡位置的四分之一周期内墙面的力所做的功。

五、摩擦力的功

1.摩擦力的功和热量

两个物体间存在静摩擦力时，静摩擦力总是成对出现的，它们是一对大小相等，方向相反的作用力与反作用力。由于两物体的位移相同，所以一对静摩擦力的总功恒为零。它们的作用往往是将一物体的动能转移给另一物体，但并不产生热量。

两个物体间存在滑动摩擦力时，一对摩擦力的总功恒为负。其中一个摩擦力可能对物体做正功，使该物体获得动能；此时另一个摩擦力必定做负功，使另一物体损失动能。负功中的一部分与前一摩擦力的正功抵消，其作用就是将后一物体损失的部分动能转移给前一物体；剩余部分负功即为两个摩擦力的总功，其作用是将后一物体损失的动能的剩余部分转化成内能，产生热量。

为了便于理解，我们不妨做一个类比。将相互接触并发生摩擦的两个物体想象成两把牙刷，刷毛对着刷毛紧压在一起。当我们稍用力拉动一把牙刷，让另一把牙刷跟着一起移动。两边的刷毛可能会倾斜、形变，但并不会抖动，它们能将作用力从一把牙刷传递到另一把牙刷，这一情形类似于静摩擦力。当我们拉动一把牙刷，同时按住另一把牙刷不让它跟着一起移动。两边刷毛的相互接触点不停地变换，刷毛会不停地抖动。这一情形类似于发生滑动摩擦的两物体的接触面附近的分子运动加剧，温度升高。

2.静摩擦力的功

例4 用一倾斜的传送带将物体从低处运送到相距为l的高处（假设物体与传送带之间始终不打滑）。试分析运送过程中物体与传送带之间的一对静摩擦力的总功。

解：设物体与传送带之间静摩擦力的大小为f。运送过程中，物体所受静摩擦力方向沿传送带向上，而传送带所受静摩擦力方向沿传送带向下。所以，静摩擦力对物体做正功W=fl，静摩擦力对传送带做负功W'=-fl。一对静摩擦力的总功W+W'=0。传送带驱动装置所消耗的能量通过静摩擦力的功全部转换成被传送物体的重力势能。因为不产生热量，所以没有能量损失。

3.滑动摩擦力的功

上式中的就是两个物体的相对位移。虽然前文曾指出，由于位移与参照系有关，导致功的大小也与参照系的选择有关，但是两个物体的相对位移却与参照系无关，所以，一对摩擦力所做的总功与参照系无关。如果我们选择其中一个物体作为参照系，那么该物体自身的位移恒为零，另一物体的位移就是两者的相对位移。这样计算摩擦力的总功就变得比较方便了。

例5 如图5所示，一块木板在光滑水平面上以速度v=2m/s向右运动。现将一质量为m=1kg的小物块无初速地放到木板上的A点，同时对木板施加一水平恒力F，以使木板仍保持原来的速度向右做匀速直线运动。当小物块运动到木板上的B点时，速度达到v并和小车一起向右运动，此时立即撤去F。已知小物块和木板之间的动摩擦因数为μ=0.2。求：

（1）A点和B点之间的距离；

（2）小物块和木板间摩擦产生的热量；

（3）水平恒力F对木板所做的功。

解：（1）A、B两点之间的距离即为小物块与木板之间的相对位移，所以以木板为参照系计算是方便的。在木板参照系中，小物块在A点时的速度为-v（负号表示速度方向向左），到B点时速度为零（B点位于A点左侧）。这一过程中，小物块受到水平向右的摩擦力为

f=μmg

设A点和B点之间的距离为s，根据动能定理

（2）小物块和木板间摩擦产生的热量在数值上等于一对滑动摩擦力的总功，即摩擦力与相对位移的乘积，所以

可解得，在地面参照系中，水平恒力F对木板所做的功为

其中一部分通过摩擦转移为小物块的动能，另一部分则转化为内能，即摩擦产生的热量。

在木板参照系中，木板始终是静止的，位移为零，所以水平恒力F对木板所做的功显然为零。外力不做功，那么热量是哪里来的呢？答案是来自于小物块的动能。在木板参照系中，小物块开始是有动能的，摩擦力使它全部转化为内能了。

通过这一例子可以明显看出，虽然在不同参照系中功的大小是不同的，但无论在哪个参照系中计算，摩擦产生的热量总是一样的，总是等于一对摩擦力所做的总功的负值。而一对摩擦力所做的总功只与两物体的相对位移有关，而与参照系无关。因此，选择其中一个物体作为参照系，计算摩擦力的总功会比较方便。其实，这一结论可以推广到多个质点组成的质点系中任何一对内力所做的总功的计算。即使对非惯性参照系（做加速运动的参照系），包括转动参照系，这一结论也是成立的。但一般情况下，非惯性参照系中，动能定理不再成立。

例6 如图6所示，长度为l的木板以速度在光滑水平地面上沿长度方向做匀速直线运动，现将一质量为m的小物块无初速地放上木板的前缘，当小物块运动到木板的后缘时恰好停在木板上。已知小物块和木板之间的动摩擦因数为μ。求：

（1）木板的质量；

（2）摩擦力做的总功。

解：（1）以地面为参考系，由于摩擦力的作用，小物块放到木板上以后，由静止开始加速运动，而木板则做匀减速运动。当小物块到达木板后缘时速度恰好等于木板此时的速度，设为v，并设木板的质量为M。在这个过程中，将小物块和木板视作一个系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即

根据动能定理，小物块动能的增量等于摩擦力对小物块所做的功，即

如果选择木板为参照系来解此题，功的计算会非常简单。在木板参照系里，木板是静止的，所以摩擦力只对小物块做功。即

W=-μmgl

但如果继续用动能定理计算，就会发生错误。在木板参照系里，木板静止，动能未变，小物块的速度由减为零，所以

这一结果明显是错的。滑动摩擦力做功总是将系统的一部分动能转变为热能，在这个例题里，木板做减速运动，损失了一定量的动能，其中的一部分转移给了小物块，另一部分则变成了热能。但上式中的功与木板的动能变化无关，所以也无法求出木板的质量。导致错误的原因就在于木板有加速度，木板参照系不是一个惯性参照系，动能定理不适用。当然，如果在非惯性参照系里引进惯性力，仍然是可以用动能定理来计算的。有兴趣的读者可以一试。

六、功表征力作用的空间积累效应

冲量表征力作用的时间积累效应，它使物体的动量发生改变。功则表征力作用的空间积累效应，它改变物体的动能。很多情况下，力与时间的函数关系不易求得，或者虽能得到但相当复杂，无法计算冲量，所以很难得出位移、速度随时间变化的规律。但只要力与位移的函数关系比较简单的话，我们还是可以利用功和动能定理来求解物体的运动规律。

例7 如图所示，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s，磁感应强度的大小为B。一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，以初速度从磁场的左边界开始向右运动并越过磁场的右边界，假设金属棒MN在运动过程中始终受到大小与速度成正比的阻力f=-kv。（已知：l=1m，s=1m，B=0.5T，m=1kg，R=0.3Ω，r=0.2Ω，=2m/s，k=0.3Ns/m）求：

（1）金属棒MN离开磁场时的速度v；

（2）金属棒MN释放的焦耳热。

解：金属棒MN进入磁场后，切割磁感线，产生电动势，在回路中有感应电流，所以金属棒在磁场中运动时除了受到外界阻力f的作用，还受到安培力的阻碍作用，做减速运动。因加速度不是恒定的，研以不能直接用匀加速直线运动的公式求解位移、速度和时间之间的关系，但可以用微元法得出速度和位移之间的关系。因为安培力与速度成线性关系，所以安培力所做的功也可以得到。

（1）金属棒上的电流