对非线性经济周期模型分岔的研究，本文主要内容关键词为：分岔论文,模型论文,经济周期论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
作为宏观经济学研究的重要问题之一，经济周期问题被很多经济学家所关注，其中Goodwin基于消费函数的思想并结合时滞诱发投资和均衡国民收入决定模型，建立了一个非线性动力学“乘数—加速数”经济周期模型，并用动力学方法研究了自发投资和自发消费为零时经济周期模型的极限环[1]；2004年，Puu基于消费函数的思想引入了一个非线性诱发投资函数对经济周期模型再次进行了推广，并研究了此推广的经济周期模型的分岔、混沌等动力学行为[2]；2008年，李伟等人在Goodwin和Puu的工作基础上，以GDP为研究对象，采用Goodwin的改进消费函数思想和Puu提出的非线性投资函数思想，并引入自发投资函数，建立了一个新的、具有二阶非线性微分方程形式的经济周期模型，然后利用多尺度方法求出了系统的近似解，并利用四阶Runge-Kutta方法和最大Lyapunov指数，对解析解进行了验证[3-4]。
本文基于以上的工作，对自发投资函数的形式进行了改进，引入了合理的随机噪声使模型更加符合现实经济系统。在基础上利用路径积分法研究了系统的概率密度函数的演化，分析系统的分岔，然后通过计算Lyapunov指数分析系统的混沌运动。
二、推广的非线性经济周期模型
按照一般的宏观经济学的理论，GDP由投资函数与消费函数构成，根据不同的投资与消费函数形式，可以构建出多种形式的非线性动力学经济周期模型，每种模型的不同动力学特征和经济含义，从理论上讲都对宏观经济的研究起到重要的推动作用。在参考文献[3]中，将非线性的投资函数理论与传统的线性投资函数理论结合在一起，并补充自发投资作为经济周期模型中投资函数的表达式，即：
将式(3)改写为差分方程组，并将离散的经济周期模型转换成连续的二阶微分方程来研究，其运动方程为：
自发函数主要有三种形式：常数、周期函数、随机函数。Goodwin研究了O*(t)=0的情形，得到了一个稳定极限环，说明经济运动具有周期性[5]；Strotz考虑了O*(t)=fsinωt的Goodwin模型（其中ω为频率变量），他指出：当频率达到一定临界值时，自发函数成为模型的驱动函数，可以控制极限环的个数[6]；Lorenz在一个推广的Goodwin经济周期模型中令O*(t)=csint（c为常数），并研究了此模型的动力学行为，结果表明经济周期模型会发生混沌，存在一个混沌吸引子，也就是经济运动具有不可预测性[7]。最早考虑随机经济周期模型的是Frisch和Tinbergen，他们于20世纪30年代就宣传随机的经济周期思想，另外他们从实验中观察到，受到噪声干扰的经济系统产生的时间序列与真实的经济周期数据十分相似，两人因此项研究成果还获得了1969年的诺贝尔经济学奖[8-10]。
自发函数O*(t)的选取可以是任意函数，但函数是否符合真实的经济环境，是否具有合理的经济解释则是问题的关键。
从经济角度来说，每种自发函数的形式有其相应的经济含义。O*(t)=0意味着政府部门不采取自发调节措施，依赖诱发投资和诱发消费以促进经济系统的不断发展；O*(t)=f(cosωt)表明经济活动按照一定的周期规律自发调节。上百年的经济历史表明，许多经济变量特别是GDP变量，总是处在周期性的运动中。另外，自发函数作为随机外力干扰的随机函数是形势所趋。新古典主义在论及非线性经济波动时强调，不能忽视外部偶然因素和内在或外在随机性的影响，且经济波动与外在的随机冲击息息相关。近些年来，经济学家开始意识到影响经济发展的因素是多方面的，如政府干预、战争、天灾等等。这些外在的因素经常形成一种外力使得经济变量呈现出随机性。与自然科学中的许多动力学现象相比，不确定性在经济发展过程中始终起着关键作用，因此在某种程度上，确定性的经济模型不适合描述带有随机性质的经济运动，或者不能反映经济演化的真实行为，所以构建随机框架下的经济模型并讨论其经济运动已经成为经济理论研究中不可避免的趋势。
于是笔者考虑O*(t)=f(cosΩt)+σξ(t)，系统(5)变为如下形式：
f和Ω分别为周期项系数的强度和频率，ξ(t)是非零均值、Delta相关的高斯白噪声，激励强度为σ。
三、基于路径积分法模型的数值解
类似系统(6)的响应是一个漂移系数中具有周期项的Markov过程。这种非齐次的Markov过程一般没有平稳概率密度。鉴此，Yu提出了基于Gauss-Legendre公式的路径积分数值方法，能够很好地捕捉概率密度函数的演化过程[11-12]。本文将应用该法捕捉系统(6)的演化概率密度。
考虑到某些动力系统具有复杂的确定性响应以及随机响应，Yu建议利用随机响应的概率密度分析混沌响应。通过在具有确定性激励的系统中引入随机扰动，则确定性系统中吸引子的存在性可以有效地利用随机响应在相空间中的概率密度的演化来描述。
系统(6)对应的Fokker-Planck方程可写为：
由图1可以看出：当资本—产出率υ=1.2补充储蓄率和边际消费率分别为s=0.1，α=0.9，其他参数取为f=0.3，Ω=0.15，σ=0.1时，系统的联合转移概率密度呈现为“单峰”的情形（见图1(a)）；另外，考虑其他参数不变，噪声激励变大的情形，取υ=1.2，α=0.4，f=1.0，Ω=0.15，σ=0.3，s=0.6，系统联合概率密度的“火山口”形状更加明显（见图1(b)）。说明补充储蓄率和边际消费率的变化、外部因素对系统影响强度的增大，都可能导致系统出现分岔现象。
四、系统的响应分析
为进一步说明系统的演化行为，利用四阶龙格—库塔法对图1(a)画出对应的相轨图、时间历程图，如图2所示。
下面利用系统的最大Lyapunov指数研究随机噪声对系统响应的影响。在以下三种情况下，考察最大Lyapunov指数随σ的变化曲线，如图3所示。
由图3最大Lyapunov指数图可以看出，不论补充储蓄率和边际消费率怎样变化，系统在没有噪声的条件下最大Lyapunov指数的值正负交错出现，表明系统会有混沌现象出现。当系统存在噪声的条件下，随着噪声强度不断的增大，系统的最大Lyapunov指数值都小于零，这时系统的响应是稳定的，说明噪声可以拟制系统出现混沌现象。
图2 系统的时间历程图和相轨图
图3 系统(6)的最大Lyapunov指数
五、结论
通过路径积分法对带有噪声的经济周期系统的联合概率密度演化的计算可以看出：在资本—产出率不变的情况下，居民的补充储蓄率和边际消费率的变化会使得系统的联合转移概率密度的形状发生“质”的变化，可能导致系统出现分岔现象；而当资本—产出率发生变化，补充储蓄率和边际消费率及其他参数不变时，系统的联合转移概率密度的形状也会发生“质”的变化，即在其他条件不变的情况下，资本—产出率从大于1的值减小到小于1的时候，系统稳定状态被破坏，系统由原来的稳定状态演化为多种可能的新稳定状态，说明系统也会发生了分岔现象。
而通过系统的时间序列图、相轨图的分析，系统在存在噪声的情况下，其响应是拟周期的，这和真实的经济系统在表现上是一致的，经济系统会出现从“繁荣”到“衰退”，再到“萧条”，然后再到“复苏”，最后又回到新一轮的“繁荣”的变化。当系统存在的外部因素随机因素对系统影响—噪声消失的时候，系统会出现混沌响应。正是由于噪声在系统中的存在才抑制了混沌的出现。
在为政府决策部门提供决策依据时，可以进一步测定资本—产出率、补充储蓄率和边际消费率这些重要统计指标，将其参数值控制在安全的区域，使得经济周期系统的响应是稳定的。这对于经济平稳、快速的发展具有重要的实践意义。
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