中部六省基尼系数的估算研究，本文主要内容关键词为：系数论文,基尼论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
近年来中国经济快速发展，大部分民众生活改善，但同时人们也普遍感觉到收入不平等问题日渐突出，这导致了很多有关中国基尼系数的估算研究①。不过，中国经济学界普遍认为，利用中国统计年鉴上的数据难以估算中国的基尼系数，② 因此，到目前为止，还没有能够被广泛接受的利用公开发表的数据估算中国基尼系数的方法。本文给出了这一问题的解决方法，并利用其计算了中国中部湖南、湖北、河南、山西、江西、安徽等六省的基尼系数。③ 计算结果显示，近几年这些省的收入不平等程度都有所增加，因此决策部门需要特别警惕中部地区收入不平等的动向与低收入阶层的生活状况，并采取适当措施控制收入不平等的增加速度。
世界各国广泛使用基尼系数度量收入分配的不平等，从这一指数的构造方法可以看出其重要意义。如果收集到全国的收入分配数据，记最低收入端人口份额为p[，i]，记这一群体拥有的收入占全国总收入的份额为L[，i]，以p[，i]为横坐标，以L[，i]为纵坐标，将这些点联接起来就得到近似的洛伦兹曲线。这条曲线的位置越高，即洛伦兹曲线与横坐标之间的面积越大，各个低收入端群体拥有的收入份额越大，收入分配越平等。基尼系数定义为：1-2×(洛伦兹曲线与横坐标之间的面积)，其数值越大，收入不平等的程度越严重。一般认为，基尼系数在0.35以下是可以接受的，超过0.4就是太高了。④
任何国家都不能准确得到该国人口的收入分配，各国统计部门都进行收入分配抽样调查，以调查结果作为该国收入分配的近似描述，利用这种抽样数据容易计算出基尼系数⑤，但由于保密原因，统计部门并不对外公布完整的调查结果，而只是公布所谓分组数据，即只公布从最低收入端开始各个收入组的人口份额与该组成员拥有的收入份额，因此，经济理论界只能利用这种数据进行收入分配分析。目前，国外经济理论界在利用这类分组数据估计收入不平等程度方面已经进行了大量研究。Gastwirth⑥ 是较早进行基尼系数估算的文献之一，Kakwani与Podder⑦ 在估算基尼系数中先对洛伦兹曲线进行变换以避免该曲线在人口份额等于1处的导数奇异性，Kakwani与Podder⑧ 和Kakwani⑨ 则给出了一些进一步的结果，Fuller与Mehran⑩ 还给出了分组数据条件下基尼系数的上下界估计。如果整个收入分配的总平均、从低到高各个收入组的人口份额与平均收入等信息已知，利用上述这些作者的方法就可以对收入分配的不平等程度进行估算，并能得到比较准确的基尼系数与其他收入不平等指数。
由于中国幅员辽阔，且具有典型的城乡二元经济结构，长期以来，收入分配数据的统计工作都分城镇与农村两部分进行，并在《中国统计年鉴》与各省的《统计年鉴》中发布，因此需要适当的方法将两个收入分配加总形成一个全国或相应全省的收入分配才能进行分析。国内经济学界对这一问题有过一些有益的探索，也取得了一些有意义的成果，如胡有光(11) 利用中国农村与城镇收入分配重叠程度很小这一事实，导出了一种中国基尼系数的估计方法，这一方法在目前是可行的，但当两部门收入分配重叠程度增加后，它将失去效力。
估算中国基尼系数的主要困难在于收入分配的统计描述。(12) 实际上，如果能够得到农村与城镇两部门收入分配的密度函数，构造整个国家或一个地区的收入分配的统计分布并不困难。从中国与其各省发布的城镇收入分配数据容易得到相应的密度函数，但中国及其各省的农村收入分配数据中一般只给出了各个收入组的人口份额与总平均，所以需要特别的方法构造相应的密度函数。因此，本文首先介绍加总任意多个收入分配密度函数的方法，给出利用城镇数据构造城镇收入分配密度函数的技巧，提出从农村收入分配数据出发构造相应密度函数的方法；然后利用各省或各部门的密度函数与洛伦兹曲线，估计相应地区或部门的基尼系数与加总的基尼系数。(13) 有了构造收入分配的密度函数与洛伦兹曲线的方法，进行贫困程度的评估、收入再分配中横向与纵向公平的研究、所得税累进程度的度量等(14) 更为深入分析也就成为可能。
二、估算方法概述
(一)加总收入分配
设全国分成K个区域(15)，记第i个区域内收入分配的分布函数为
，即收入低于或等于x的人口份额，记相应密度函数为
。记第i个区域内的人口占总人口的份额为p[，i]，则K个区域内收入低于x的人口占总人口的份额为：
F(x)即K个区域加总收入分配的分布函数，微分即得相应密度函数：
由于洛伦兹曲线之下的面积为
，按基尼系数的定义加总的基尼系数应为：
因此，如果得到了各个区域内的密度函数，任何区域内部或多个区域内收入分配的密度函数、分布函数、加总的洛伦兹曲线与基尼系数等都容易得到。
(二)城镇密度函数的构造方法
中国中部六省统计年鉴中的收入分配数据较为规范。城镇收入分配数据一般给出了洛伦兹曲线上的若干个点，即(p[，i]，L(p[，i]))
，其中p[，i]是低收入阶层的人口份额，L(p[，i])是占人口份额为p[，i]的低收入层拥有的城镇总收入份额，另外还给出了城镇内部的平均收入μ。记城镇收入分配的密度函数为f(x)，相应分布函数记为F(x)，记p=F(x)，则洛伦兹曲线形如(1)式，且有：
是非常理想的洛伦兹曲线的经验公式，其中a＞0，α＞0，β＞0。先利用城镇收入分配数据与线性或非线性最小二乘法估计(4)式中的参数，得到L(p)，代入(3)式，即得近似的城镇密度函数f(x)。利用(2)式可得到任何低收入端人口份额p处对应的收入数量x。(4)式的逼近程度较好，其缺点是在原点附近的性态不理想，这不会影响基尼系数的估算精度，但其他经济应用(如贫困评估)往往会产生问题，这时可以采用其他经验公式，如Ogwang(17)，Ortega(18)与Rasche(19) 等人所发现的公式就是较好的选择，特别是后两种经验公式，通常能产生满足经济意义的洛伦兹曲线(20)。
图1是用(4)式与(3)式生成的安徽省2003年城镇收入分配的密度曲线，其中直方图是用该省收入分配数据绘制的。图1的曲线较好地拟合了所给出的数据。由图可见，密度函数峰值点向原点处倾斜得比较厉害，这意味着低收入阶层比较集中，因此收入不平等程度相对较严重。为比较，图2是算法生成的河南省2003年城镇收入分配的密度曲线。与安徽省的曲线比较，这一曲线更“正”一些，即收入分配更平等一些。其他各省的城镇密度函数差不多都具有上述形状。
(三)农村密度函数的构造方法
要求形成的密度函数满足连续性条件
由于观察到的收入分配在左右端点处的密度都非常小，因此应限制：
从中即可确定
。这样既保证了产生的近似密度函数满足平均收入条件，也保护了平均收入这一数据信息。
实际计算中有时可能需要合并原始数据的高收入组，因为由上述知是如下确定的，先将前面各个区间上的密度曲线产生的平均收入加起来，并从总平均μ中扣除，将剩下部分作为最后区间
上的平均收入，这时可能出现
，此时需要合并个别最高收入组来解决这一问题。(23)
三、数值例子
城镇密度函数逼近方法的有效性已经在实践中得到了验证，由于难以直观地看出上述农村密度函数构造方法的可靠性，下面用数值例子说明。
按定义可以算得基尼系数G=0.5，即无论分布参数λ＞0是多少，基尼系数都等于0.5。
一般观察到的收入分配密度满足f(0)=0，而指数密度却有f(0)=λ，但下面仍强制性地加上条件f(0)=0，结果说明即使对这种特殊分布加上了这种不合理的条件，仍能得到满意的基尼系数估计。实际上，当取λ=0.0005，m=30，且取x[，i]=155i，x[，m+1]=5000×5时，用上述方法构造密度函数时，得到的基尼系数估计为0.499005，而得到的近似洛伦兹曲线与实际曲线几乎没有差别。当取m=20，x[，i]=250i时，得到的基尼系数估计为0.496602，也已经比较精确了，此时取精确与近似洛伦兹曲线上的若干个点，见表1。
表1 指数密度函数的逼近程度
10％ 20％ 30％ 40％50％ 60％ 70％ 80％ 90％ 95％
精确值 0.00518 0.02149 0.05033 0.09350 0.15343 0.23348 0.33881 0.47811 0.66974 0.80021
近似值 0.00678 0.02273 0.05165 0.09480 0.15473 0.23479 0.34011 0.47941 0.67104 0.80096
可见除最低收入端误差较大外，其他各点精度都很高，而如上所述，最低端精度较差与加上的条件有关。精确密度曲线见图3，近似密度曲线(24) 见图4。
可见除最低收入端外，其他部分的逼近程度都非常好。由于低收入部分只影响洛伦兹曲线非常小的部分，因此，这种误差对基尼系数估算精度不可能有太大影响。
我国农村纯收入分配分组数据的结构具有一定的科学性，因为在该种结构下，收入分配抽样调查中只要了解调查对象的收入属于什么范围即可，这样做的好处是显然的，因为不需要调查对象公开自己的确切收入，调查对象会更愿意配合，所以抽样调查的结果会更可靠。但从这种调查数据出发难以估计平均收入，而在收入分配分析中，平均收入是非常重要的指标，不过收入分配的经验分析证明，高收入端群体的收入分配用帕累托分布：
能很好地逼近(25)，利用这一结论即可解决上述问题。设任何收入区间[x[，i-1]，x[，i]]上的人口份额f[，i]已知，用上述构造农村密度函数的方法构造各区间上的近似密度函数g[，i](x)，由此能算得[x[，i-1]，x[，i]]上人口的平均收入μ[，i]，再在最右边区间上用上述g[，m+1](x)替换，在连
又由于α＞2(笔者的计算中此条件都成立)时：
即得总平均收入的估计值：
用此方法，可以算得2003年中部六省农村新的人均纯收入，见表2。其中原平均是各省《统计年鉴》中给出的人均纯收入。
表2 中部六省2003年的原平均收入与估算得到的平均收入
安徽
江西
湖北
湖南
河南
山西
原平均2127.482457.532566.762532.872235.682299.40
计算平均
2228.342547.362699.322660.662243.992416.19
可见除河南省外，各省农村的人均收入估计都偏低，原因可能是各个收入区间内的调查对象都倾向于低估自己的收入。后面的数值计算结果说明，按此处的方法估计平均收入时，农村基尼系数一般将增加，原因是平均收入的增加是通过(5)式增加最高收入组的平均收入而产生的，最高收入组的收入增加，收入分配变得更不平等，基尼系数自然会增加。(26)
图5是山西省2003年农村纯收入分配的密度曲线，图6是安徽省的农村收入分配密度曲线，其中直方图是根据该省《统计年鉴》中的数据绘制的。其他各省的相应图形与上述两省的图形类似。另外，调整平均收入后的密度曲线中一般都去掉了最后区间上的峰，曲线的其他部分与调整前没有任何改变。
上述几个密度曲线都反映了收入分配的规律性，即密度函数最高的峰都偏向原点，这反映了收入分配的一般规律：大部分人口的收入数量必在平均水平以下。
四、中国中部六省基尼系数的估算结果
由于篇幅限制，本文只给出了三年的计算结果，其中农村取纯收入分配，城镇取可支配收入分配，数据来源是各省的《统计年鉴》。计算结果如表3所示。
表3 中国中部六省的基尼系数
1995年 2000年 2003年
城镇 农村 加总 城镇 农村 加总 城镇 农村 加总
安徽
0.1945
0.2178
0.3364
0.2589
0.2064
0.3489
0.3111
0.2534
0.4133
江西
0.2221
0.2074
0.2710
0.2483
0.2796
0.3444
0.2867
0.2577
0.3848
湖北
0.1944
0.2598
0.3501
0.2509
0.2391
0.3383
0.3097
0.2586
0.3932
湖南
0.2038
0.2203
0.3788
0.2510
0.2631
0.3784
0.3028
0.2717
0.4113
河南
0.2101
0.2423
0.3124
0.2714
0.2959
0.3572
0.2800
0.3286
0.4276
山西
0.2113
0.2692
0.3376
0.2794
0.2728
0.3599
0.2860
0.2920
0.4107
加总
0.2274
0.2320
0.3406
0.2640
0.2678
0.3617
0.2987
0.2888
0.4128
资料来源：利用各省《统计年鉴》中的收入分配数据及本文算法计算得到。
平均收入没有按上节的方法进行调整。例如，在2003年，安徽省城镇内部基尼系数为0.3111，农村内部的基尼系数为0.2534，而城镇与农村两部门的加总基尼系数为0.4133。从中可见，在1995年与2000年两年中，各省的城镇内部、农村内部的基尼系数都不大，都没有超过0.3。到2003年时，情况发生了一些变化，有三个省的城镇或农村内部的基尼系数超过了0.3，其中河南省农村内部的基尼系数达到了0.3286。从总体上来说，基尼系数增长的速度是可观的。
若分别将六省的城镇与农村作为整体来考虑，3年中六省城镇区域的加总基尼系数分别为0.2274、0.2640、0.2987，农村区域的加总基尼系数分别为0.2320、0.2678、0.2888，可见两部门内的基尼系数都逐渐扩大，不过都没有突破0.3，因此六省的农村或城镇部门分别综合考虑时，其内部的收入不平等目前也不严重。
各省总体基尼系数的变化呈现一定的多样性，其中湖南省的基尼系数较为突出，都在0.37以上。而其中最大的是2003年河南省的基尼系数，达到了0.4276。如果用“→”表示收入不平等改善，按各省整体基尼系数从大到小进行福利排序，结果为：
1995年：湖南→湖北→山西→安徽→河南→江西
2000年：湖南→山西→河南→安徽→江西→湖北
2003年：河南→安徽→湖南→山西→湖北→江西
可见六省中江西省收入分配的平等程度最好，河南省的平等程度由比较好逐渐改变成最差，其中的原因与经验值得进一步研究。
上述各省基尼系数呈现的规律是城乡两部分的基尼系数都不大，而加总基尼系数却不小，其中根本原因就在于城乡收入差距。例如在2003年山西省城镇与农村的人口份额分别为p[，1]=0.29与p[，2]=0.71，城镇与农村人口拥有的收入份额分别为s[，1]=0.52与s[，2]=0.48，平均收入分别为μ[，1]=7002与μ[，2]=2299，记城镇与农村的基尼系数分别为G[，1]与G[，2]，利用Dagum(27) 提出的基尼系数分解方法，知2003年山西省的基尼系数一定不小于
将上表中农村与城镇的基尼系数代入，知上式的值大约为0.3997。因此尽管山西省2003年城镇与农村的基尼系数都不大，而城乡收入差距决定了两部门加总基尼系数超过警戒水平0.4。
洛伦兹曲线有可能反映收入不平等的更多细节，表4中列出了2003年各个十分位点处相应洛伦兹曲线值。
表4 2003年中部六省的洛伦兹曲线值
10％
20％
30％
40％
50％
60％
70％
80％
90％
95％
安徽 2.399 6.090 10.69 16.19 22.68 30.47 39.92 51.31 68.07 80.15
江西 2.255 6.203 11.21 17.18 24.22 32.56 42.62 54.46 70.94 82.23
湖北 2.407 6.293 11.08 16.77 23.52 31.64 41.60 53.58 69.86 81.19
湖南 2.218 5.800 10.41 15.98 22.53 30.26 39.65 51.76 69.41 81.94
河南 2.057 5.364 9.621 14.84 21.14 28.77 38.27 50.96 68.88 81.16
山西 2.122 5.628 10.14 15.60 22.24 30.25 40.36 52.97 69.82 81.60
六省加总 2.172 5.715 10.25 15.76 22.35 30.24 39.92 52.14 69.19 81.17
六省城镇加总 3.353 8.167 14.09 21.11 29.27 38.67 49.49 62.09 77.23 86.44
六省农村加总 3.107 7.991 14.14 21.41 29.78 39.35 50.35 63.16 78.67 87.96
资料来源：利用各省《统计年鉴》中的收入分配数据及本文算法计算得到。
由六省加总洛伦兹曲线可见，从整体上来说，中部六省的收入不平等程度已经较高，低收入端20％的人口只拥有5.715％的总收入，低收入端50％的人口只拥有22.35％的总收入，而高收入端20％的群体拥有近48％的总收入。
与其他五省比较，除个别十分位点外，江西省的各洛伦兹曲线值比其他省的对应值都要大，因此，在六省中江西省的洛伦兹曲线的位置是最高的。由于基尼系数等于洛伦兹曲线与45％线之间面积的2倍，从而江西省的基尼系数应是最小的。实际上，计算中发现，在任何低收入人口份额处，江西省的洛伦兹曲线值都要大于湖南省的洛伦兹曲线值，即在江西省内，任何人口份额为p的低收入群体比湖南省的人口份额为p的低收入群体拥有的收入份额更大，因此江西省的收入不平等程度要严格优于湖南省的收入分配。同理还可以观察到，湖南省的收入分配要优于河南省的收入分配。(28)
如果按(5)与(6)式调整平均收入，得到对应的基尼系数估计结果见表5。
表5 调整平均收入后中部六省的基尼系数
1995年 2000年 2003年
城镇 农村 加总 城镇 农村 加总 城镇 农村 加总
安徽
0.1945
0.2296
0.3361
0.2589
0.2415
0.3546
0.3111
0.2843
0.4149
江西
0.2221
0.2268
0.2776
0.2483
0.2688
0.3386
0.2867
0.2826
0.3862
湖北
0.1944
0.2404
0.3366
0.2509
0.2673
0.3500
0.3097
0.2883
0.3956
湖南
0.2038
0.2326
0.3764
0.2510
0.2788
0.3812
0.2961
0.3056
0.4152
河南
0.2101
0.2333
0.3048
0.2714
0.2951
0.3556
0.2800
0.3316
0.4271
山西
0.2113
0.2966
0.3456
0.2794
0.3083
0.3694
0.2860
0.3245
0.4159
加总
0.2274
0.2527
0.3452
0.2640
0.2822
0.3645
0.2987
0.3113
0.4152
资料来源：利用各省《统计年鉴》中的收入分配数据及本文算法计算得到。
为比较，表5重复列出了表1中有关城镇部分的结果。与表3比较，部分省的农村基尼系数增加了，但对应的加总基尼系数改变却不大，根据Dagum(29) 的分解公式，两个区域的加总基尼系数应为：
其中f[，1](x)与f[，2](x)分别是城镇与农村的密度函数，μ[，1]与μ[，2]分别是城镇与农村的平均收入。当其他条件不变而增加农村平均收入且如上调整农村密度函数时，城镇收入份额s[，1]将减少，农村收入份额s[，2]将增加，而上式中第3项中积分将减少，因此对农村平均收入进行微小调整，不会对总体基尼系数带来太大的影响。对应表4的结果见表6。
表6 调整平均收入后2003年中部六省的洛伦兹曲线值
10％
20％
30％
40％
50％
60％
70％
80％
90％
95％
安徽 2.370 6.016 10.56 15.99 22.39 30.07 39.41 51.44 68.54 80.49
江西 2.237 6.153 11.12 17.03 24.00 32.25 42.19 54.60 71.32 82.51
湖北 2.371 6.198 10.91 16.51 23.16 31.13 40.95 53.45 70.23 81.52
湖南 2.181 5.703 10.24 15.72 22.15 29.76 38.99 51.34 69.60 82.16
河南 2.063 5.378 9.646 14.88 21.19 28.83 38.34 51.01 68.89 81.14
山西 2.086 5.534 9.967 15.34 21.86 29.72 39.63 52.97 69.95 81.75
12部加总 2.151 5.660 10.16 15.61 22.12 29.93 39.53 51.96 69.38 81.34
城镇加总 3.353 8.167 14.09 21.11 29.27 38.67 49.49 62.09 77.23 86.44
农村加总 3.001 7.718 13.66 20.67 28.76 38.01 48.62 61.01 76.10 85.51
资料来源：利用各省《统计年鉴》中的收入分配数据及本文算法计算得到。
与表3比较，平均收入调整后，农村基尼系数普遍增加了，但依基尼系数进行的福利排序基本没有变化。表6中各条洛伦兹曲线基本上都下移了，基尼系数自然会增加。
图7给出了2003年河南省的洛伦兹曲线，横坐标是人口份额，纵坐标是收入份额，三条联接原点与坐标点(1，1)的实线是洛伦兹曲线，其中左上部曲线是城镇洛伦兹曲线，中间是农村洛伦兹曲线，右下部是全省加总收入分配的洛伦兹曲线。从加总的洛伦兹曲线可以看出，占总人口80％的低收入端成员大约拥有总收入的51％，这意味着占总人口20％的高收入端几乎拥有总收入的50％。
从图7可以看到，城镇收入分配严格优于农村收入分配，因为对于任何相等份额的低收入群体，城镇群体拥有城镇总收入的比例更大，两种收入分配的这种关系称为洛伦兹控制(Lorenz dominance)(30)，于是城镇收入分配严格洛伦兹控制农村收入分配。同理由图中可见农村收入分配又严格洛伦兹控制全省的收入分配。由于全省洛伦兹曲线之下的面积小于农村洛伦兹曲线之下的面积，由基尼系数的定义，全省收入分配的基尼系数必大于农村收入分配的基尼系数。同理，农村基尼系数必大于城镇基尼系数。
江西省2003年的基尼系数最小，该省的洛伦兹曲线见图8。其中大部分在最左上部的曲线是农村洛伦兹曲线，中间是城镇洛伦兹曲线，最下部是加总洛伦兹曲线，与河南省不同，江西省城镇基尼系数比农村基尼系数要大，即城镇收入平等程度不及农村。城镇与农村的洛伦兹曲线是相交的，用洛伦兹控制方法(即曲线的位置高低)来比较两个收入分配的方法失去了效力，由此可以看出引进类似基尼系数与其他不平等指数是必要的。从加总洛伦兹曲线可以看出，江西省人口份额为20％与80％的低收入群体所拥有的收入份额比河南省的对应群体要高，因此江西省的收入分配比河南省更平等。
图9中总共画出了13条洛伦兹曲线，它们是中部六省农村与城镇共12条洛伦兹曲线，这些曲线差不多挤在一起，而最下面的一条曲线是12部分的加总洛伦兹曲线，正是由于城乡收入差距使加总收入分配的不平等程度比12部分中任何一个都要严重。从图中大致可以看到基尼系数突破0.4的后果：高收入端20％群体拥有的总收入大约是最低收入端10％群体所拥有收入的8倍。以上这些图形都是根据计算结果由计算机输出的，它反映了计算结果的本来面貌。
五、结论
中部六省城镇内部与农村内部的收入不平等程度目前仍不严重，而值得注意的是城乡收入差距对收入不平等的影响，在进行收入分配加总评估时，只要有农村的收入分配参与，收入不平等程度就大大增加，因此影响中部六省收入不平等程度的关键因素是城乡两部门之间的收入差距。一般认为经济快速发展的初期，收入不平等会快速增加，目前中部经济发展相对滞后，但收入不平等的程度已经不容忽视，因此随中部经济的崛起，较高起点的收入不平等加上较快的增加速度，若不采取适当措施，中部地区的收入不平等程度估计会快速增加。这一问题应该引起有关决策部门的关注，以求防患于未然。
注释：
①如赵涛：《收入分配不公的状况亟待扭转》，《经济研究参考》2000年第54期；马敏娜：《我国居民收入差别扩大对消费需求的影响》，《当代经济研究》2001年第1期；等等。
②王学力：《个人收入差距的现状、问题和对策》，《改革》2000年第6期。
③2003年，这六省共有近4亿人口，约占中国总人口的1/4，因此讨论这部分人口的收入不平等有着重要的意义。特别是近几年来，中部地区经济发展较沿海开放地区相对滞后，居民收入增加与生活改善的速度不及经济发展较快的地区，收入不平等的加剧对低收入阶层来说会更为不利。
④范剑清：《基尼系数的警示》，《人民日报》2003年11月4日第7版。
⑤S.Yitzhaki,More Than Dozen Alternative Ways of Spelling Gini,Research on Economic Inequality 8,1998,pp.13—38.
⑥J.L.Gastwirth,The Estimation of the Lorenz Curve and the Gini Index,Review of Economics and Statistics 54,1972,pp.306—316.
⑦N.C.Kakwani,N.Podder,On the Estimation of Lorenz Curves from Grouped Observations,International Economic Review 14,1973,pp.278—292.
⑧N.C.Kakwani,N.Podder,Efficient Estimation of Lorenz Curve and Associated Inequality Measures from Grouped Observations,Econometrica 44,1976,pp.137—148.
⑨N.C.Kakwani,Income Inequality and Poverty-Methods of Estimation and Policy Applications,Oxford University Press,1980.
⑩F.Mehran,Bounds of the Gini Index Based on Observed Points on the Lorenz Curve,Journal of the American Statistical Association 70,1975,pp.64—66.
(11)胡有光：《基尼系数的理论最佳值及其简易计算公式研究》，《经济研究》2004年第9期。
(12)有两种描述收入分配的方法，一是用含每个成员收入数量的向量，一是用收入接受者在收入区间上的统计分布，收入分配理论分析中主要采用后者。
(13)这里的方法既可以用于一个省或多个省构成的地区的收入分配分析，也可用于全国的收入分配评估，还可以用于多个行业或部门的加总。
(14)王祖祥等：《中国农村贫困评估研究》，《管理世界》2006年第3期；R.Plotnick,A Measure of Horizontal Inequality,Review of Economics and Statistics 63,1981,pp.283—288; R.A.Musgrave,Horizontal Equity,Once More.National Tax Journal 43,1990,pp.113—122; N.C.Kakwani,Measurement of Tax Progressivity:an International Comparison,Economic Journal 87,1977,pp.71—80。
(15)所谓区域，可以广义理解，可以是行业或部门，也可以是地域等。
(16)N.C.Kakwani,Analyzing Redistribution Policies,Cambridge University Press,1986.
(17)T.Ogwang,U.L.Gouranga Rao,A New Functional Form for Approximating the Lorenz Curve,Economics Letters 52,1996,pp.21—29.
(18)P.Ortega et al.,A New Functional Form for Estimating Lorenz Curves,Review of Income and Wealth 37,1991,pp.447—452.
(19)R.H.Rasche et al.,Functional Forms for Estimating the Lorenz Curve,Econometrica 48,1980,pp.1061—1062.
(20)按经济意义洛伦兹曲线至少必须满足两个条件，一是单调增加性：所考虑的低收入端人口份额越大，该群体拥有的总收入份额越大；二是凸性：对于任何相同的人口份额增量，所考虑的低收入端人口份额越大，所拥有的总收入份额的增量越大。第二个条件嵌入的正是任何收入分配必存在收入不平等这一经济现实。
(21)有关理论问题的深入讨论见de Boor,Carl,A Practical Guide to Splines,Springer-Verlag,1978。
(22)帕累托分布是国外经济学界在收入分配分析中经常使用的分布，有关参考文献见N.C.Kakwani,Analyzing Redistribution Policies,Cambridge University Press,1986。
(23)笔者处理安徽省的曲线时合并了三个最高收入组才消除了这种问题。凡是出现这种情形，原始数据中最高收入组或连续几个高收入组中的人口份额都非常小，这时合并这种高收入组对基尼系数的估算结果没有什么影响。
(24)注意到近似密度曲线的直方图的矩形比精确密度曲线图中的略短些，这是由于笔者先为密度曲线的最高点定位，然后确定图中其他各点的相对位置，后一曲线中密度曲线的最高点比前一图形高，而笔者又将两条曲线的最高点画得同样高，所以后一图形中其他相对点都比前一图形低。
(25)N.C.Kakwani,N.Podder,Efficient Estimation of Lorenz Curve and Associated Inequality Measures from Grouped Observations,Econometrica 44,1976,pp.137—148.
(26)实际计算说明，使用调整前后两种不同的平均收入估算加总基尼系数时，得到的数值相差并不大，所以按这种方法估计平均收入并用于估算基尼系数，结果是可以接受的。
(27)Camilo Dagum,A New Approach to the Decomposition of the Gini Income Inequality Ratio,Empirical Economics 22,1997,pp.515—531.
(28)当然，收入分配的不平等程度的比较结果不能完全反映相应区域人口的生活水平与生活质量。
(29)Camilo Dagum,A New Approach to the Decomposition of the Gini Income Inequality Ratio,Empirical Economics 22,1997,pp.515—531.
(30)即城镇洛伦兹曲线处处高于农村洛伦兹曲线，见J.E.Foster,Inequality Measurement,in Fair Allocation,H.P.Young ( ed.) ,AMS Short Course Lecture Notes,vol.33,Providence:American Mathematical Society,1985,pp.31—68。