找准难点，抓住关键——谈谈小学数学《抽屉原理》的教学，本文主要内容关键词为：难点论文,抽屉论文,找准论文,小学数学论文,原理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
根据课程标准，小学阶段安排了“抽屉原理”的教学，如人教版课标实验教材《数学》六年级下册第五单元《数学广角》里就有这个内容。
一、什么是“抽屉原理”
先举一个简单的例子：有3本书，现在要将它们放进2个抽屉里。那么，一定有一个抽屉里至少放了2本书。
有人会说：这不是再明显不过的事实吗！的确如此，正因为大家都相信它是正确的，又因为在上面的例子里，我们用到了“抽屉”，因此在数学里就称它为“抽屉原理”。“抽屉原理”也叫做“鸽笼原理”。
抽屉原理是可以证明的。以上面的例子为例，我们来进行证明。
1.穷举法
我们把这2个抽屉分别叫做甲和乙。将3本书放进这两个抽屉里，可能出现的放法是：
只会出现上面4种放法。我们看到在每一种放法里，都有一个抽屉里至少放进了2本书。由此可见，“一定有一个抽屉里至少放了2本书”这个结论是成立的。
上面这种证明方法，由于是将所有可能出现的情况都一一列举出来了，既没有重复，也没有遗漏，所以我们把这种证明方法叫做“穷举法”。
2.反证法
假设“一定有一个抽屉里至少放了2本书”这个结论不成立，有就是说甲、乙两个抽屉里每一个都至多放进了1本书，那么这2个抽屉里一共至多放进了2本书。可是我们已经将3本书都放进抽屉里了，这就发生了矛盾，这说明前面的假设不成立。所以“一定有一个抽屉里至少放了2本书”这个结论是正确的。
由于这种证明是从结论的反面出发，逐步推出矛盾，因此我们把这种证明方法叫做“反证法”。
再来看教材里的例题1：把4枝铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。
要说明这个结论正确的，教材中首先采用了一一列举的方法，把各种情况都摆出来，并且画图进行了说明。不过教材中在摆铅笔的时候，没有区分文具盒，只列举出了4种不同的情况。如果要对文具盒进行区分，那就更加复杂了。
另外，教材中还通过小男孩说道：“还可以这样想：如果每个文具盒只放1枝铅笔，最多放3枝。剩下的1枝还要放进其中的一个文具盒。所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。”这实际上就是运用了反证法的思想。
一般说来，抽屉原理有下面两种形式。
抽屉原理1：把多于n个的物体放进n个抽屉里，那么总有一个抽屉里至少有2个物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉里至多放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是n+k(k≥1)，这与题设的条件矛盾。因此结论成立，即总有一个抽屉里至少有2个物体。
这里要特别指出几点：
(1)在抽屉原理1的结论里，只肯定总有一个抽屉里至少有2个物体，它没有也无法指明是哪一个抽屉。
(2)在抽屉原理1的结论里，只肯定某个抽屉里至少有2个物体，至于具体是多少个也是无法确定的。
(3)我们只能肯定总有一个抽屉里至少有2个物体，而不是两个或更多个抽屉里至少有2个物体。
抽屉原理2：把多于m×n个的物体放进n个抽屉里，那么总有一个抽屉里至少有m+1个物体。
这也可以用反证法来证明，证明从略。
教材里例题2就是运用抽屉原理2解答的例子：把5本书放进2个抽屉中。总有一个抽屉里至少放进了3本书。
这里有2个抽屉，因此n=2，如果每个抽屉里至多放2本书，m=2，一共至多放m×n=2×2=4本书，而现在有5本书，因此总有一个抽屉里至少放进了3本书。
一般说来，如果有n个抽屉，有m×n+1本书，那么，总有一个抽屉里至少放进了m+1本书。
在解答实际问题时，多数情况下要运用抽屉原理2。
二、运用“抽屉原理”的难点在哪里
我们在运用抽屉原理解决一些问题时，首先要确定把什么看作抽屉，把什么看作物体。在比较简单的问题里，这是很明显的，但遇到比较复杂的问题时，就需要认真思考了。
教材里例题3以及后面的做一做与练习中的习题，都没有直接指明什么是抽屉、什么是物体。这就需要教师认真引导学生进行分析，设计好抽屉，然后运用抽屉原理来解决这些问题。这就是教学中的难点。
例题3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？
解答：解决这个问题，首先要设计好抽屉。很明显应当设计两个抽屉，一个放红球，一个放蓝球。如果第一次摸到的是红球，就放在放红球的抽屉里。第二次如果又摸到红球，也放在放红球的抽屉里。这时有人会说：只要摸2次就能摸出2个同色的球了！不是的，因为如果第二次不是摸到红球，而是摸到蓝球，就应当将它放在放蓝球的抽屉里。这时就需要摸第三次了。再摸第三次，不论摸到红球还是摸到蓝球，都一定有2个同色的球，因此，至少要摸出3个球，就一定有2个同色的球。
做一做的第1题：向东小学六年级有370名学生，其中六(2)班有49名学生。那么，六年级里一定有两人的生日是同一天，六(2)班中至少有5人是同一个月出生的。他们说的对吗？为什么？
解答：这两个结论都是正确的。这两个结论是如何作出的呢？原来一年有365天（闰年有366天）。我们把366天看作366个抽屉，370名学生看作370个物体。而370＞366，运用抽屉原理1就很容易解决这个问题了。另外，一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，49名学生看做49个物体，他们每人只有一个出生月份，49÷12=4…1。可见必有某一个抽屉放了5个物体，也就是说，至少有5人是同一个月出生的。这里就用到了抽屉原理2。
练习十二中的第1题：从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张是同花色的。试一试，并说明理由。
解答：我们把黑桃、红桃、方块、梅花这四种花色看做4个抽屉，而把52张牌看做52个物体。如果只任意抽出4张牌，可能抽到黑桃、红桃、方块、梅花各1张，不能保证抽到2张同花色的。再抽第5张，必然有两张是同花色的。因此在剩下的52张牌中任意抽出5张，至少有2张牌是同花色的。
如果将问题改为：在剩下的52张牌中任意抽出几张，至少有3张是同花色的？答案应当是：4×2+1=9（张）。
三、运用“抽屉原理”解答的较复杂问题
不论小学、中学，甚至大学，解答某些数学问题，都会用到抽屉原理。这样的问题很多很多。我们在下面举出几道稍复杂的问题，供大家参考。
问题1：任意4个整数，其中必有两个数的差是3的倍数。为什么？
解答：因为任意一个整数除以3，所得的余数只能是0，或1，或2。我们构造3个抽屉：[0]，[1]，[2]。[0]这个抽屉将放置被3除余数是0的整数；[1]这个抽屉将放置被3除余数是1的整数；[2]这个抽屉将放置被3除余数是2的整数。因为任意4个整数，分别除以3，所得的余数有4个。4＞3，根据抽屉原理1，至少有两个整数会放置在同一个抽屉里。它们除以3的余数相同。那么这两个数的差被3除余0。因此它们的差就一定是3的倍数。
此题可以推广为：任意n+1个整数，其中必有两个数的差是n的倍数。
问题2：任意5个整数，其中必有3个数的和是3的倍数。为什么？
解答：与上题一样，我们也构造3个抽屉：[0]，[1]，[2]。分别放置被3除余数是0，1，2的整数。
(1)如果这5个数分别除以3，所得的5个余数有0，有1，也有2，也就是说，5个数在3个抽屉中都出现了。那么我们从这3个抽屉中各取一个数，这3个数的和被3除的余数的和是0+1+2=3，3也可以被3整除。所以这3个数的和是3的倍数。结论成立。
(2)如果这5个数分别除以3以后，所得的5个余数只有0，1；或者只有0，2；或者只有1，2。也就是说，5个数只在3个抽屉中两个里出现，则根据抽屉原理2，必有一个抽屉中至少有3个数。这时就在这个抽屉中取出3个数，它们的和被3除余数的和可能是0+0+0=0；可能是1+1+1=3；可能是2+2+2=6；都可以被3整除。所以这3个数的和是3的倍数。结论成立。
(3)如果这5个数分别除以3以后，所得的5个余数都是0，或者都是1，或者都是2。显然任取其中3个数，它们的和也是3的倍数。结论成立。
问题3：平面上有6个点，没有三点在同一直线上。每两点用红色或蓝色的线连起来。其中至少有一个三角形的三边的颜色是相同的。为什么？
解答：平面上有6个点用A,B,C,D,E,F来表示。考虑A与其余5个点间的连线AB,AC,AD,AE,AF，它们的颜色不超过两种（红色、蓝色）。根据抽屉原理2，其中至少有三条连线是同色。不妨设AB,AC,AD同为红色，如果BC,BD,CD三条线中有一条（不妨设为BC）也是红色，那么三角形ABC即为一个红色三角形。如果BC,BD,CD三条线中没有一条是红色，即全为蓝色，那么三角形BCD即为一个蓝色三角形。不论哪种情况，问题中的结论都是成立的。
这个问题也可以表述为下面的形式。
证明：在任意6个人的集会上，或者至少有三个人以前彼此相识，或者至少有三个人以前彼此不相识。