魏金侠[1]2012年在《Volterra积分微分方程数值解法的研究》文中指出近年来，积分微分方程一直是科学与工程领域研究的重要课题。许多问题都可以转化为不同类型的积分微分方程。但由于绝大多数积分微分方程很难甚至不能求其解析解，故其数值解的求法引起了很多学者的兴趣。对于求一般简单的一维积分微分方程的数值解，已经有比较完善的数值算法。而对于一维形式比较复杂或者高维的积分微分方程，相应的数值解法相对来说比较少，理论体系不够完善。基于此，论文重点研究两类积分微分方程的数值解，即带有弱奇异积分核的高阶变系数Volterra-Fredholm积分微分方程和二维非线性Volterra积分方程或者积分微分方程。论文共分五章。第一章阐述了积分微分方程的发展历史、应用前景以及国内外研究现状，并分析了课题的研究意义。第二章给出二维积分微分方程具体形式、微分变换方法以及一些重要多项式的基本知识。第叁章针对求一类二维非线性Volterra积分方程的数值解，论文给出了Adomian分解方法。利用Adomian多项式近似表示非线性项，使问题得以简化。并且证明了该算法具有很好的收敛性。第四章论文应用微分变换方法对一般的二维非线性Volterra积分微分方程作了进一步研究，给出了微分变化法，并利用算例验证了该方法的可行性和有效性。第五章利用Bernsrein多项式及其积分算子，研究了含有弱奇异积分核的高阶变系数Volterra-Fredholm积分微分方程，给出了Bernsrein算子矩阵法，同时给出了该算法的收敛性分析。
杨丽宏[2]2006年在《再生核空间中若干非线性问题的研究》文中研究指明在科学和工程的各个领域中，许多问题都可用非线性方程来描述。而获得非线性方程的解(数值解和精确解)将有助于人们展开对它所反映的现实自然现象进行分析和研究。所以，本文在非线性方程求解方面进行了如下的研究。 首先对崔明根教授于1986年提出的再生核空间进行了研究。利用一维再生核空间的直积形式构造了二维再生核空间，获得了二维空间中再生核函数的表达式，并将其推广到多维再生核空间的构造。从而为求解各种方程建立了空间的理论框架。 其次，在再生核空间W_2~1[a，b]中，给出了非线性算子方程A_1(vBv)+A_2v=f的精确解。利用再生核函数的特殊性质和升元的方法，构造了定义在再生核空间W_1(Ω)上的有界线性算子，使得非线性算子方程等价的转化为线性算子方程Tu=f当线性算子方程解唯一的情况下，获得了非线性方程解的精确表述。数值算例验证了该算法的有效性。 将上面的结论推广，本文在二维再生核空W_2(Ω)中，研究了Av~2+Kv+Pv+Ev=f型的非线性积分微分方程。同样将其转化为四维再生核空间中的线性算子方程进行求解。当线性方程解不唯一时，本文研究了该线性方程的齐次方程解空间的表示，并给出了其上的一组标准正交基。因此获得了线性方程的全部解。再利用两个方程解之间的关系，得到了求解非线性方程近似解的数值算法。数值试验模拟验证了算法的有效性。 另外，以实际问题-黑体辐射为例证明，对于第一类Fredholm积分方程，当积分核函数满足一定条件时，该不适定问题在再生核空间中已经变为适定问题求解。同时在再生核空间W_2~1[a，b]中给出了一种求解该问题的稳定数值算法。对实际数据用该算法进行数值模拟，并与以前的工作相比较，得到了较好的结果。 最后，在再生核空间中，本文对非线性偏微分方程进行了研究。考虑了一类非线性双曲型偏微分方程。先将方程两边积分降低求解空间的要求，再利用初始条件线性化方程进而获得非线性方程的一组形式解。注意到使用再生核函数构造的空间基底函数具有分离形式，从而得到确定非线性方程近似解的数值算法。进行数值实验后，计算结果表明算法是有效的。 本文还在再生核空间中考虑了一类非线性发展方程。利用其初始条件构造线性算子，并通过求解线性方程获得原来非线性方程的形式解，将其带入原方程，使余项函数在再生核空间范数意义下达到最小，进而获得非线性方程的数
张磊[3]2016年在《高精度小波数值方法及其在结构非线性分析中的应用》文中认为小波数值方法是近二十多年来发展起来的一类新兴数值方法。随着其自身的发展,小波数值方法的应用范围越来越广泛。而发展统一求解弱非线性和强非线性问题的小波方法这一重要课题也越来越受到重视。立足于小波封闭解法的基础之上,本文拓展了小波方法在具有非线性、奇异性及微分积分算子共存的复杂力学问题中的应用。另外,通过改进小波逼近方式和提出新的求解思路,本文针对一般非线性初值问题和边值问题分别提出了新的高精度小波算法。本文首先介绍了紧支正交的Coiflet小波函数基及其具有拟插值特性的小波逼近公式,它们是小波封闭解法的理论基础。接着介绍了构造有限区间上平方可积函数Coiflet小波逼近公式的边界延拓技术,它是小波数值方法的应用基础。数值研究表明消失矩数目为6的Coiflet是现有小波方法较好的基函数选择。在这些基础之上,本文通过将非线性项中的导数定义为新函数,拓展了现有小波方法在一维和二维拟线性微分方程中的应用,以及结合分部积分和函数变换等技术和小波伽辽金法,还提出了非线性奇异积分方程的几类高精度小波方法。而通过十余个具体数值算例和与其他方法的对比均显示了这些小波方法在计算精度和收敛性方面的优势。非线弹性梁杆的大挠度弯曲屈曲问题和矩形薄板的大变形问题均是现代工程中的典型结构非线性问题,细胞特异性粘附问题是具有弹性-随机耦合特性的非线性生物力学问题。本文发展的小波方法提供了定量求解这些问题的技术。在分析屈曲问题时,小波方法得到的离散代数方程组形式简单,便于结合扩展系统法来直接求解屈曲问题中的临界荷载。在分析大变形问题时,小波方法相对于传统的有限元方法具有更高的计算效率且不出现剪力锁死现象。在分析粘附问题时,小波方法提供了稳定状态下细胞间归一化的力与界面位移非线性关系的定量描述。同时可以注意到在具体的求解过程中,本文的小波方法均能处理任意形式的非线性项以及具有对问题非线性强弱特征不敏感的特性。最后通过推导基于Coiflet的数值微分公式,提高了有限区间上平方可积函数小波逼近公式的逼近精度。在此基础之上,本文构造了一般非线性初值问题的小波时间积分法,并结合空间离散的小波伽辽金法提出了非线性初边值问题的小波时空统一求解法。理论分析表明,该小波时间积分法具有N阶精度和良好的稳定性。数值算例则表明,该小波方法适用于追踪激波或者孤立波等剧烈变化的时空演化问题。另外,本文还提出了求解一般边值问题的新的高精度小波积分配点法。理论分析和数值算例均表明,该小波积分配点法的收敛速度大约为O(2~(-nN)),n为小波分解尺度,N为Coiflet小波消失矩阶数。与之前的小波伽辽金法相比,小波积分配点法不仅提高了方程的求解精度而且其收敛阶数与方程的阶数无关。
吴兆荣[4]2002年在《非线性积分微分方程的基本理论》文中进行了进一步梳理本文对几类非线性积分微分方程的初值问题和边值问题进行了研究。 全文共分叁章。第一章对所研究问题的历史和现状进行了综述，并给出了必要的定义、定理和记号，这些内容主要取自于文献[1]和[2]。 第二章第一节利用Ascoli-Arzela不动点定理研究了Banach空间Volterra型一阶非线性积分微分方程的初值问题解的局部存在性．得到了如下结果： 设I=[0，α]是实直线上的闭区间，(E，‖·‖)是实Banach空间，B是E中闭球，(其中x_0∈E,b为常数)，即x∈C[I，B],(Kx)(t)=integral from 0 to t k(t,s)x(s)ds，其中； 又设， f是映I×B×H到E的有界连续映射,且对B的任意子集 S及H的任意子集Γ有 其中α(·)表示非紧性测度，L_1，L_2是正常数． 定理2.1.1在上述条件下，下列系统在区间△=[0，h]上至少有一个解 其中． 第二章第二节利用压缩映射原理研究了Banach空间Volterra型二阶非线性积分微分方程的边值问题： 在Lipschitz条件解的存在唯一性。结果如下： 定理2．2．1 假设f在I×E~3上连续，且满足Lipschitz条件： 们t，x卜＊，z；厂八t，x。，＊，z。到卜L上1－x＊卜L加；－儿卜人k－z。【】其中L区＠L＊人为常数歹（t纱x且乡y且汐z且）罗（t多x＊罗y＊多z＊）＊IxE＊．ho＝maX旬k（t＠s）9多s）＊DO号o贝当［L；＋人人a］·：＋L厂子叫时，上述边值问题存在唯一的二阶连续可微解．L～且’一3一＊一J’－＊ 2一丛一＊回 ～～－0’刁－’刁H卜 ＊＊一厂’～一略【卜’回 第二章第叁节利用Darbo不动点定理研究了如下Banach空间混合型二阶非线性积分微分方程的边值问题 卜X”（t）＝人彦，X（t），XYt），（大》（t），（h卜）（t》，o＜矿＜X Ix（0＝6，X（a＝9＃gb＃ktt，Kth（Hx＊t）＝fh（t，s沁O）ds，h。C厂，R＊f。C［IxE＼E］，K＆MqRR％X＠前。结果如下： 定理2．3．1设（豆）f。C［IXE＼E］，且存在常数N＞0，使对E中任何有界集U，厂，W，Q都有a（f（，U，V，W，Q》＊ N·maxfo（），a（门，a（W），a（Q）｝（n）存在常数L＞0，使对任何（t，x，y，z，u）＊Ix E乏，＊（t，x，y，z，u）D卜L（文o材矿，S），仇人 S）分另满足弓理二＊回丸 2．3．4的条件（tv）M＝＊叫p，sj帅）＊Ixl｝，M二＊呐G：（，s）l（ts E＊xl，t 一＊｝，其中G（矿，尸）为格林函数则当。＜k·m。（M；，M＊·m。（，ho＋k；＋ky人＋h1”时，上述边值问题至少存在一个。阶连续可微解． 第叁章第一节利用单调迭代方法研究了如下Banach空间脉冲一阶非线性积分微分方程的初值问题（！＊P）： Dx厂）＝歹八，mV】，I王二可】I互】、《11XN门L 互一、．l＝且．二…·l ！X【U）＝X。，凸川。＿．＝J。《Xlt。几 矿＝矿。 t＝1．2…·．m最大解、最小解的存在性以及解的存在唯一性，其中 x。。E，（E，11·11）是实B。。h空间，0＝t。＜t；＜…＜t。＜t。u＝。，s；；＝x（t；＋0）－x（t；），入。C［E，EI，其余符号及其含义同前。结果如下：假设：（H）存在 y卜Z。E PC［I，E］使 2 1儿（一叁／，y刃），（趴）（O，（协。）（矿几 矿一一，f1二，…，m ！y。（0）叁X。，砂N；）J；（y刃；）），i＝l，2，…，X ！Z。It）Z八J．二。川。（s。）0）．《o二。）《t》．J一t。j＝1．2…·、Z IZ。份）ZX。血nIt。）＝人IX。It。》．f＝1．二…·．X（HZ）有常数 L a 0，使对任何 t二人x，x。【x。，z。］，x 5 y： 几，沁），（枷（J几（俐O卜八I，x（O，u刁N，（仰（O）Z一L·（x（小人O）， J（X（t；））5人（y（t；）人 左＝l，2，…，X（H3） 对任何矿＊ I，及单调序歹 B c＝【y。，z。］，若B在＊（i＝ l，2，…，m）上等度连续，则 a（＊矿，B（t），（KB）（矿）（HB）（t》叁 L；a（B（t））＋ L。a（（KB）（t》 人a（（HB）（t》 a（J；（B（t；））SM；a（B（t；）人i＝l，2，…，m其中L；（i＝1，2，3），M；（i－1，2，3）都是非负常数，且叶ZL＋ZL；＋akL。＋ah0La）＋二M；＜l i。l（H4）存在常数 R z 0，R z 0（i二 l，2，…，m），使对矿＊ I，x，y＊【yo，z0】，x s y人J，火0，（肛O几（协）（O卜八J，x（O，（枫（O，什大）（一）SR·（叶个人O） 入（y（；）卜入（x（t；））5 R（（y（t，）卜x（t；））i＝l，2，…，m其中 ［Ra?
葛增秋[5]2016年在《求解两类非线性分数阶微分方程的小波数值方法》文中研究表明在现实工程和物理等科学领域中,许多实际现象都需要通过分数阶积分或分数阶微分来进行描述,所以如何求解这些分数阶微积分方程,就成为解决这些问题的关键。近几年,运用小波分析方法来求解分数阶非线性微积分方程成为一种新型的数值计算方法,其在数值计算领域具有相当重要的作用。所以,本文主要研究采用叁类小波对非线性分数阶微积分方程进行数值求解。利用小波自身的特点和Block Pulse函数的相关性质推导出其相应的分数阶积分算子矩阵,从而把求分数阶微积分方程数值解的问题转化为求解代数方程的问题,这样大大减少了求解过程的计算量,同时便于运用Matlab编程进行求解。首先,为了求非线性分数阶微分方程的数值解,论文提出了一种新方法,即将Chebyshev多项式与变分迭代法相结合应用于非线性分数阶微分方程数值解的求解,通过选取恰当的初始近似值,达到更好的逼近非齐次项和非线性项的效果,进而减少计算量。该算法可以提高精度并且有效处理计算复杂积分而产生的困难。数值算例验证了该方法的有效性和实用性。其次,论文研究了分数阶非线性Fredholm积分微分方程,采用Sine-cosine小波,结合Block Pulse函数的性质,推导出其分数阶积分算子矩阵,Sine-cosine小波分数阶积分算子矩阵可用来将积分微分方程简化为代数方程组。最后的例子证明了该方法的可行性和有效性。最后,采用另一类小波函数即Haar小波,来对分数阶非线性Fredholm积分微分方程进行求解,得到Haar小波的分数阶积分算子矩阵后,用其对分数阶非线性微积分问题进行求解,并通过数值算例进行验证。
石偲星[6]2013年在《求解线性和非线性弱奇异Volterra积分微分方程的新算法》文中研究指明本文研究了n阶线性和非线性弱奇异Volterra积分微分方程的数值求解算法.在奇异积分微分方程理论的研究中,只有很少一部分方程能写出封闭形式的解,大部分只能作定性研究,如Noether定理,因此寻求奇异积分微分方程的逼近解就显得尤为重要.本文应用泰勒近似展开的方法将已有的n阶线性和非线性弱奇异Volterra积分微分方程转化为普通的线性和非线性微分方程,之后基于再生核理论来求解n阶线性微分方程和用Adomian分解法和再生核方法结合来求解n阶非线性微分方程.再生核理论是基于再生核空间W_(n+1)[a, b],方程的近似解以级数形式在再生核W_(n+1)[a, b]中给出;在对非线性微分方程求解时,用Adomian分解法和再生核方法结合来求解.本文通过一些算例和对比已有算例来证明此方法的有效性.
杨杰[7]2017年在《时滞随机非线性积分微分方程的稳定性分析》文中研究表明本文研究一类含时滞的随机非线性积分微分方程的稳定性.寻求研究时滞随机微分方程稳定性的新方法一直以来都是学者们重点关注的对象之一.本文首先建立该类方程的常数变易公式,得出其解的表达形式.其次使用不等式分析技巧,构建恰当的时滞积分不等式和指数型时滞积分不等式.最后使用随机分析理论和不等式分析技巧,借助构建的时滞积分不等式,建立了判别这类时滞的随机非线性积分微分方程的p阶矩稳定、p阶矩渐近稳定、p阶矩一致渐近稳定、p阶矩全局一致渐近稳定、p阶矩指数稳定和p阶矩全局指数稳定性的充分条件(p ≥ 2).文中的举例阐述了时滞积分不等式方法的有效性。
王传丽[8]2017年在《非线性Volterra积分微分方程及分数阶微分方程的谱配置法》文中研究表明谱方法是求解微分方程的一种重要数值方法,已被广泛应用于科学和工程问题的数值模拟中。谱方法的主要优点是计算的高精度,也就是所谓的"无穷阶"收敛性,即真解越光滑,谱方法的收敛速度越快。Volterra型积分微分方程和分数阶微分方程等都具有记忆性质,在物理、生物、激光以及人口增长等模型中得到广泛应用,相关的数值研究正日益受到重视,并已成为该领域的一个新热点,而谱方法是一种整体方法,非常适合该类问题的数值模拟。现有的针对Volterra型积分、微分方程谱方法的研究主要基于单步格式,并不适合奇性解或长时间的计算。此外,所研究的问题主要是线性的或仅讨论光滑解情形,而实际问题大多是非线性的且解呈弱奇异性的。因此本文主要工作之一是研究带弱奇异核的非线性Volterra型积分微分方程的多步谱方法。我们建立了相关问题的多步谱配置格式,并对所提算法进行了误差分析,数值结果表明该方法对光滑解和弱奇性解的模拟都非常有效。对于非线性Caputo型分数阶微分方程的边值问题,本文将在前人的基础上提出一种新的谱配置法。为了适应分数阶方程的整体性特点,并克服非线性项的存在所造成的理论分析的困难,我们采用两种多项式插值,即Legendre-Gauss与Jacobi-Gauss插值,构造相应的Legendre-Jacobi单步谱配置法,并分析了该算法的数值误差。数值算例验证了该算法的有效性。本文由以下几个部分组成:在第一章,我们简单地回顾了谱方法的基本思想及发展概况,介绍了Volterra积分微分方程与Caputo型分数阶微分方程的问题背景及数值方法的研究进展。在第二章,我们具体介绍了与本文工作相关的基础知识:Jacobi多项式及其插值误差,移位Jacobi多项式,移位Legendre多项式及其插值误差,并给出了本文工作所需的几个重要引理。在第叁章,对带有弱奇异核的非线性Volterra积分微分方程提出了一个结构简单、容易实现的算法,然后详细地分析了多步谱配置格式的收敛性,获得了该方法在H1范数下的hp型误差估计,最后通过数值算例展示了该方法的高效性。在第四章,我们考察了 Caputo型分数阶微分方程的两点边值问题,提出了基于等价积分方程的Legendre-Jacobi单步谱配置法,详细地分析了谱配置格式在L2及L∞范数下的误差上界,并通过数值算例验证了该方法的有效性。最后,对本文工作的主要结果做出总结,分析了其中的不足之处,并在当前工作的基础上提出改进的方向和措施。
周翕[9]2017年在《不确定系统的分数阶鲁棒控制研究》文中指出分数阶微积分作为传统微积分在其微分或积分阶次上的一个延伸与推广,在对相当一部分复杂系统的建模上有着更准确、更简洁的优势。随着人们对被控系统建模精度、控制性能要求的逐步提高,分数阶系统理论以及分数阶控制器设计在近些年来得到了快速发展。研究证明,分数阶控制手段可以增加系统控制器参数调节的自由度,有利于进一步改善被控系统的相关性能,目前已成为分数阶系统领域的研究热点之一。然而,实际系统的前期建模与后期运行中,总是不可避免地存在建模参数的不确定性与环境变化、元器件老化等因素带来的内部或外部扰动。这些不确定因素使得基于精确数学模型所设计的控制器性能大大降低,所以研究不确定系统的分数阶鲁棒控制问题对分数阶控制理论及工程实践有着重要意义。频域分析作为系统鲁棒性能分析的一种方法,已经在鲁棒控制器设计及参数调节中取得了较多成果。然而目前分数阶鲁棒控制器设计的相关结论在面对复杂的、多参数扰动的被控系统时,还存在着诸多困难和挑战。不同于整数阶系统,分数阶系统的非整数阶次对系统动态性能的影响是较为复杂的。一方面,分数阶系统理论的研究还未完善,部分已在整数阶系统中较为成熟的控制策略在分数阶系统中仍处于空白状态。另一方面,分数阶系统的稳定性、鲁棒性等性能约束在频域上常表现为高度非线性的方程组,且计算量大,难以通过传统方法求解。同时,现有框架下的鲁棒控制策略仍无法解决一些系统性能指标之间的固有矛盾,无法最大限度提升系统的控制性能。这些不足之处限制了分数阶鲁棒控制的进一步发展。因此,本文将充分考虑复杂系统的鲁棒控制与性能改善问题,借助线性分数阶系统频域分析方法以及非线性分数阶系统的时域估值与补偿方法,研究复杂系统的分数阶鲁棒控制策略与鲁棒控制器的设计。首先,本文针对高阶次的、同时存在多个时间常数及增益扰动的整数阶线性系统设计了分数阶的鲁棒PIλDμ控制器。考虑具有复杂传递函数的高阶系统,在复平面上对系统的开环频域响应表达式作了统一化处理。对于扰动参数较少的情况,利用频域鲁棒性条件建立性能指标方程组并对其进行化简处理;而针对多参数扰动情况,利用多个方程之间的化简与解耦,降低方程数目,以避免出现超定方程。同时,充分利用伯德理想传递函数的强鲁棒性,提出了一套有效的控制器参数非线性最优化整定算法。本文验证了闭环控制系统在复杂系统多参数、大范围扰动下的良好响应品质。其次,在伯德理想传递函数的基础上,为了得到系统在频域鲁棒性与时域响应快速性能上的进一步提升,本文首次提出了基于线性控制器设计与非线性负反馈的非线性分数阶控制策略。考虑到常规的鲁棒CRONE控制是一种形式过于简单、无法进一步提升其响应速度的线性控制策略。而非线性负反馈的"小误差大增益、大误差小增益"的特点,系统的鲁棒性并不会因非线性反馈的引入而受到影响,故可以利用非线性反馈方法对具有良好鲁棒性的线性控制策略进行改进。对于非线性分数阶系统的时域暂态响应分析,文中首次提了分数阶微分方程的比较定理。利用该定理,可以十分方便地对非线性分数阶系统的时域响应进行比较与估值。为了消除系统可能存在的抖振现象,本文针对系统的跟踪问题和调节问题,分别提出了基于凹函数与凸函数的非线性非抖振反馈控制框架,并证明了该框架下的控制策略在系统上升时间及鲁棒性上的优越性。最后,考虑到自抗扰控制技术是一类先进的PID算法,一方面它可以通过安排过渡过程有效解决系统的快速性和超调量之间的矛盾,另一方面,扰动补偿的思想可极大提高控制系统的鲁棒性,本文对同元次分数阶系统的分数阶自抗扰控制策略进行了研究。目前的分数阶自抗扰控制框架仅针对单输入单输出(SISO)系统或是可由多个SISO系统组合而成的解耦的多输入多输出(MIMO)系统,难以解决一些复杂的MIMO系统的自抗扰控制问题,例如非解耦的欠驱动系统、并联系统等。一方面,本文考虑了欠驱动分数阶系统的微分平滑特性,针对完全能控的单/多输入分数阶系统,给出了一种形式简单、计算方便的系统平滑输出。对于控制器参数的选取,本文则充分考虑了分数阶次与系统维度的影响,给出了控制器参数存在稳定域的必要条件,并在此基础上提出了基于微分平滑的分数阶自抗扰控制策略。另一方面,对于多个子系统构成的并联系统,本文通过选取合适的状态变量,利用期望系统的动力学特性来构建扰动方程,给出了同元次并联系统的分数阶自抗扰控制策略。
程雪[10]2014年在《两类积分微分方程的数值解法》文中研究指明积分微分方程是近代数学的一个重要分支，由于其在许多领域上的重要应用，如物理学、生物学等，因此一直受到国内外学者的广泛关注。通常这类方程很难得到解析解，所以求解其数值解就变得非常重要且具有实际的应用价值。近几十年来，学者们已经提出了很多数值方法用于求解一维的或比较简单的积分微分方程，如Adomain分解法、变分迭代法等。但对于形式复杂或维数较高的积分微分方程，数值方法还很少并且理论体系也不够完善。因此，本文对两类积分微分方程的数值解法进行了探讨，即带有弱奇异核的Fredholm型积分微分方程和高阶线性Fredholm-Volterra型积分微分方程组。本文的第一部分首先介绍了传统的同伦摄动法的基本思想，然后给出了改进的同伦摄动法，用以求解带有弱奇异核的Fredholm型积分微分方程。其次，给出了该算法严格的收敛性证明和近似解的误差估计。最后，由具体的数值算例验证了该算法的优越性。本文的第二部分主要研究的是高阶线性Fredholm-Volterra型积分微分方程组的数值解法问题。不同于以往的文章，本文基于再生核理论提出了一种新的算法用于求解此类型的方程并建立了一套完整的理论体系。最后，数值实验的结果表明本文所提出的算法适合于获得较高精度的数值解且易于操作。
参考文献：
[1]. Volterra积分微分方程数值解法的研究[D]. 魏金侠. 燕山大学. 2012
[2]. 再生核空间中若干非线性问题的研究[D]. 杨丽宏. 哈尔滨工业大学. 2006
[3]. 高精度小波数值方法及其在结构非线性分析中的应用[D]. 张磊. 兰州大学. 2016
[4]. 非线性积分微分方程的基本理论[D]. 吴兆荣. 山东师范大学. 2002
[5]. 求解两类非线性分数阶微分方程的小波数值方法[D]. 葛增秋. 燕山大学. 2016
[6]. 求解线性和非线性弱奇异Volterra积分微分方程的新算法[D]. 石偲星. 哈尔滨师范大学. 2013
[7]. 时滞随机非线性积分微分方程的稳定性分析[D]. 杨杰. 四川师范大学. 2017
[8]. 非线性Volterra积分微分方程及分数阶微分方程的谱配置法[D]. 王传丽. 上海师范大学. 2017
[9]. 不确定系统的分数阶鲁棒控制研究[D]. 周翕. 中国科学技术大学. 2017
[10]. 两类积分微分方程的数值解法[D]. 程雪. 哈尔滨工业大学. 2014
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