运算意义#183;数量关系#183;解题策略——发展学生分析问题和解决问题能力的着力点，本文主要内容关键词为：着力点论文,解决问题论文,数量论文,意义论文,策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
学生数学素养的高低，一个重要标志就是能否用数学的方法、策略、思想等去解决数学问题以至日常生活中的实际问题.因此，解决应用问题的教学历来是小学数学教学的重要内容，发展学生分析问题和解决问题的能力也一直是数学教学的重要目标.在十年课改实践与研究的基础上，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标中提出“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，将原来总目标中具体阐述目标的四个维度之一的“解决问题”改为“问题解决”，并对“问题解决”的目标进行了具体的描述：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；学会与他人合作交流；初步形成评价与反思的意识.”由此可见，重视学生分析和解决问题能力的培养，2011年版数学课程标准与实验稿是一致的.同时，2011年版数学课程标准更加重视学生问题意识的培养，在原有基础上增加了“增强发现和提出问题的能力”的目标.
新课程下的“解决问题”融合于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大领域的学习中，在教材编排、应用问题的呈现形式等方面都有了较大的变化，如新课程下的数学实验教材在编写“数与代数”领域的解决问题的内容时，淡化问题的类型，不以类型为线索，而是将解决实际问题作为数与运算学习的自然组成部分，具体按“问题情境—建立模型—解释与应用”的过程展开，引导学生从问题情境与运算意义出发思考解决问题的策略.这样的“淡化类型”的教学，能有效防止“机械照搬”、“套用解法”的现象，当学生遇到一个应用问题时，就不会把问题和类型相联系，而是思考情境中的问题与数学意义的联系，在解决问题过程中获得解决问题的一般经历与体验，积淀解决问题的方法与策略，促进学生数学概念的理解和数学思维水平的提升，从而真正发展学生解决问题的能力.但实际的教学中，我们发现，很多教师把握不住新课程中解决问题教学的变化，如解决问题与运算学习结合教学，由于在很多内容中运算学习的目标更显性（如算法的掌握、算理的理解），有的教师就难以把握解决问题的教学目标，甚至弱化了读懂问题情境、分析数量关系、检查与反思等解决问题过程的指导，导致了学生分析和解决问题的能力难以有效提升.
“解决问题”的教学该如何展开呢？教师又该如何帮助和指导学生增强分析和解决问题的能力呢？我们认为，教师要结合“情境理解，表征问题一分析数量关系，寻求解决方案一确定解决问题的方案并尝试解决一检验、评价与反思”的解决问题的一般过程，关注学生解决问题的方法以及思考的过程，变“教解法”为“策略指导”，特别要重视运算意义理解、数量关系分析、解题策略运用的指导，引导学生在解决问题的过程中积淀解决问题的思路和方法，发展分析问题和解决问题的能力.本文主要以“数与代数”领域的解决问题教学为主，谈发展学生分析和解决问题能力的几个着力点.
一、加强运算意义的教学，沟通数学问题与运算意义的联系，以运算意义的理解提升学生分析和解决问题的能力
新课程下的解决问题教学，不再分类型教学，学生遇到一个应用问题时，就不再是联系类型思考问题，而必须思考情境中的问题与运算意义的联系.这样，运算意义的理解对能否有效地分析数量关系起着关键的作用.因此，加强运算意义的教学，注意多种运算“模型”的渗透，注意沟通数学问题与运算意义的联系，成为学生能否有效解决问题的关键.
首先，要加强运算意义的教学，让学生充分经历探索运算意义的过程，理解整数、小数、分数的加减乘除各种运算的意义.例如，整数加法意义的学习，北师大版教材一年级上册的“一共有多少（认识加法）”一课，教材通过四个问题引导学生经历加法意义的形成过程，其中问题1“一共有几支铅笔”和问题2“一共有几只熊猫”通过两组动态的连环画情境，帮助学生体会“合起来”的过程，抽象出算式，从而初步理解加法意义；问题3“认一认”是在前两个问题直观体会加法表示“合起来”的基础上，体会两个情境虽然内容不同，但是表示的是同一件事情，都可以用“3+2=5”来表示，从而抽象出加法算式.再通过观察淘气写出的算式，来引导学生认识加号以及算式的读法和写法；问题4“摆一摆，算一算”，通过结合图示情境摆一摆学具，列出相应的加法算式，进一步巩固加法意义的初步认识.
在加强运算意义教学时，教师还要通过情境的多元化帮助学生多积累一些运算的“原型”，也就是理解运算意义不是背出某句话，而是积累一些使用某种运算的例子，为学生理解数量关系以及实现顺利“化归”提供必要的“原型”支撑.例如，乘法的意义可以从“几个几”“面积”“倍数”“折扣”等方面来理解，这些运算意义的“原型”有：“六年级平均每班有38人，一共有6个班，六年级一共有多少人”“教室长8米，宽6米，教室的面积是多少”“我们班喜欢踢球的有8人，喜欢跳绳的人数是喜欢踢球人数的1.5倍，喜欢跳绳的有多少人”“一套衣服的原价为400元，现在打6折出售，现价多少元”等.在学生积累了比较多的运算意义的“原型”后，就能较好地理解运算“模型”的内在结构，如加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型等.
其次，在具体解决问题时，教师要注意沟通运算意义与解决问题的联系，促进学生对数量关系的理解.如这样一个简单实际问题：1只小象搬2根木头，3只小象搬几根木头呢？学生中出现了三种算式：2×3=6（根）；2+2+2=6（根）；3×2=6（根）.教师追问：2×3=6，3×2=6，你是怎么想的呢？一学生回答：一头大象搬2根木头，这里就是“3个2”，可以用“2×3”或“3×2”.这里通过教师的追问，引导学生沟通乘法算式与乘法运算意义之间的联系.再如这样一个问题：“苏宁家电商场有电视机840台，第一天卖出160台，第二天卖出剩下台数的
.第二天卖出多少台？”关键引导学生沟通“剩下台数的”与分数乘法意义的联系，根据分数乘法意义可以得出“剩下台数×=第二天卖出的台数”，从而列出算式“（840-160）×”.
另外，除了重视加减乘除等运算意义的教学外，一些概念的理解同样也对解决问题起到很关键的作用，如分数、百分数、小数等概念以及比、正比例、反比例等概念的理解.
二、加强数量关系分析的指导，引导学生经历从“数学问题”到“用数学方法解决”的过程，以数量关系的有效建构提升学生分析问题和解决问题的能力
解决问题时，分析数量关系是从“数学问题”到“用数学方法解决”的关键.在学生用一定的方式表征问题后，要进一步引导学生分析已知数量与已知数量、已知数量与未知数量之间的关系，并综合应用所学的知识解决问题.分析数量关系的能力是学生分析和解决问题能力培养的重要方面，需要教师在教学中特别关注.
（一）注重引导学生分析问题中最基本的数量关系的结构，凸显数量关系的“大逻辑”
分析数量关系时，教师要引导学生注重问题中最基本的数量关系结构的分析，即关注题目中的“大逻辑”，如“总的数量-卖出的数量=剩下的数量”“男生人数+女生人数=全班人数”等.例如，“学校计划购买120本笔记本奖励给优秀学生，每本4.5元.王老师去购买时，营业员告诉他买100本以上的，每本可便宜0.5元.用同样的钱，现在可以买多少本这样的笔记本？”要凸显最基本的数量关系结构：“钱的总数÷现在每本笔记本的价格=可以买的本数”.再如，“学校舞蹈队有男生20人，如果女生人数减少
，就和男生人数相等.学校舞蹈队有女生多少人？”根据“女生人数减少，就和男生人数相等”，可以得出最基本的数量关系结构：女生人数×（1-）=男生人数.对于比较复杂的数量关系，教师要引导学生利用画图、列表、实物演示等表征方式来分析问题的“大逻辑”，从而有效建构数量关系.
分析数量关系时，教师要注意数量关系的建构要结合具体的问题情境，除了“路程、时间、速度”和“单价、数量、总价”等常见的数学模型有必要进行概括外，其他的数量关系不一定要高度抽象概括，避免程式化.如这样一个简单的数学应用问题：三年级有36人参加植树劳动，每组3人，可以分多少组？具体叙述数量关系时，只要学生能用自己的语言说出“总共36人除以每组3人等于可以分几组”即可，也可以逐步表达为“总共36人÷每组3人=可以分几组”，但没有必要概括为“总数÷每份数=份数”这样比较抽象的数量关系，因为在实际的问题解决中，不会给问题贴上标签，而是需要学生根据具体的情境进行数量关系分析.
（二）引导学生表述解决问题的思路，提高学生数量关系分析的条理性
表述解题思路是展示学生思考问题过程的重要方式，能提高学生数量关系分析的条理性.教师应鼓励学生表述解决问题的思路，特别是一些需要用两步及以上计算解决的问题，更需要学生进行解题思路的表述.同时，教师要进行必要的指导，如引导学生用“先……再……”“根据……可以知道……”等语言来表述，提高学生语言表达的条理性和严密性，但也不要过分追求“形式化”，学生只要能把自己的思考过程说清楚即可，也应允许学生根据直觉、猜想、合情推理等表述自己的思考过程.如这样一道题：“一条裤子的价格是18元，一件上衣的价钱是一条裤子的2倍.买这样的一套衣服，需要多少钱？”学生表述了几种不同的思路.思路一：先算出一件上衣的价钱，再计算一件上衣和一条裤子一共多少元；思路二：根据“一件上衣的价钱是一条裤子的2倍”，可以知道一套衣服的价钱是一条裤子的3倍，所以只要18×3就可以了；思路三：先算18×2得到一件上衣的价钱，再加上18得到一套衣服的价钱.显然，这三种表述方式都是合理的.
在学生表述解题思路的过程中，教师要注意从学生的解题思路中了解学生分析问题的策略——直接转换策略或问题模型策略，根据学生的实际情况调整教学.例如，这样一个问题：“学校体育室共有30个篮球，四（1）班借了20个篮球，又还回来8个，四（1）班还有几个篮球没有还？”如果学生的思路这样表述：共有30个篮球，借走了20个，算式是“30-20”，又还回来8个，所以算式是“30-20+8”，这说明学生使用的是直接转换策略，即只对题中的表面内容进行理解，只选择问题情境中的数字和关键词（多、少、一共，相差，比……多），再进行数字加工；如果学生的思路这样表述：借走20个，还回来8个，所以没有还的篮球数是“20-8”，“30”在这个问题中不需要用，这说明学生使用的是问题模型策略，即在理解各个信息之间关系的基础上进行情境模型建构.在了解学生分析问题策略的基础上，教师要进行有针对性的指导，引导学生关注信息之间、信息与问题之间的关系，抓住问题的“大逻辑”，提高学生运用“问题模型策略”分析问题的能力.
三、重视解决问题策略指导，让运用策略成为学生的一种习惯，以策略有效运用提升学生分析和解决问题的能力
在学生分析和解决问题的过程中，无论是问题表征还是数量关系分析，都需要一些解决问题的策略.但策略的培养需要持之以恒、循序渐进，根据小学生的年龄特点，我们认为画图、列表、模拟操作等策略应成为学生常用的策略，需要在教学中经常进行指导，逐步使运用这些策略思考和解决问题成为学生的思维习惯.
（一）画图策略
画图策略是利用“图”的直观来表征问题中的数量关系和数学结构，是最常用的一种解决问题策略，符合学生的思维特点.美国数学家斯蒂思曾说过，如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法.教学中，教师要鼓励学生把“应用问题”画出来，提高学生的通过画图分析问题的能力.
画图策略包括画线段图、示意图等多种形式的图.教学中，教师要引导学生在画图思考问题时，除了画一些比较规范的线段图外，还应该鼓励学生画自己的图，只要能帮助学生思考问题，都应该进行鼓励.如这样一个问题：“光明小学图书馆新买科技书和故事书共560本，其中科技书本数的与故事书本数的
正好相等，新买来的两种书各有多少本？”学生画出了以下几幅图.
从上面几幅图可以看到，无论是哪种形式的图，都可以清晰地看出560本相当于一共有7份，一个比较复杂的分数问题也就迎刃而解了.因此，教师从低年级开始就应注意鼓励和指导学生用图表征问题，使学生逐步学会看图、画图，使“用图帮助思考问题成为学生的一种习惯”.
（二）列表策略
列表策略也是一种重要的解决问题的策略.对于一些开放性问题或者需要用列举法时，列表可以帮助学生整理信息，并利用表格进行分析推理.
例如这样一个问题：“在一边靠水渠处，用篱笆围成一块直角梯形菜地（如右图），已知三面篱笆总长28米，篱笆怎样围时这块菜地的面积最大，最大的面积是多少平方米？”
这个问题是引导学生运用对梯形的认识以及梯形面积等知识，寻找梯形的底、高、面积之间的关系，发现规律，建立数学模型.这个问题具有一定的开放性，对学生的思维要求也比较高，教师可以引导学生通过列表的方法尝试（如下表），逐步找出规律，以解决问题.
通过列表尝试，逐步可以发现，当高为14米，上底与下底的和也为14米时，这块菜地的面积最大，最大面积为98平方米，如（6+8）×14÷2=98（平方米）.学生在经历列表、尝试和不断调整的过程，能体会到用列表进行列举的一般策略.
（三）模拟操作策略
模拟操作策略就是在解决问题的过程中，对于一些较复杂或难以理解的问题，可以用人或物模拟问题的情境，通过实物操作或动态模拟使语言叙述的问题变得生动具体，帮助学生理解和思考问题.如这样一个问题：“小军去游泳池游泳，他在泳道内游了两个来回，共游了100米，这个游泳池的泳道有多长？”在这个问题中，对“两个来回”的理解是解决这个问题的关键，教学时可以让学生走一走模拟情境，也可以用物体代替进行情境模拟，帮助学生理解“两个来回”实际上就是4个泳道的长.模拟操作使问题变得直观，能帮助学生理解问题情境，找到解决问题的思路.教师要经常引导学生学会用身边的东西动手操作或模拟情境，帮助分析问题、解决问题.
以上是解决问题时常用的三种策略，“解决问题”教学要变“教解法”为“策略指导”，帮助学生在解决问题实践中掌握这些常用的解决问题的策略.据相关研究表明，只要方法得当，9～12岁的儿童并不难掌握复杂的问题解决策略，困难的是“辨认有效使用策略的条件”和“从几种策略中选择特殊的策略”.因此，教师除了让学生了解、掌握这些解决问题的策略外，更重要的是要让学生知道一种策略什么时候是有效的，能从几种可用的策略中选择最恰当的一种，能正确地运用策略，逐步将解决问题策略内化为个人的数学素养，成为思考问题的一种习惯.