高中数学教科书概率部分修订研究，本文主要内容关键词为：教科书论文,概率论文,高中数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、修订前期的研究概述 根据《教育部关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》的要求，人教A版高中数学教科书修订、编写的前期研究工作正式启动.教科书的社会价值以及在学校育人中的意义不言而喻，为了保证科学性与规范性，必须加强修订、编写前的研究、论证与实践检验，包括研究相关文献、国内外教材，学习课程与教科书设计的有关理论，观察课堂教学，探索教师、学生的知识经验与思维特征，进行教学实验，等等，其目的是逐步理清修订、编写的目标、核心要素，并初步形成修订、编写的主要建议. （一）教科书修订的需求分析与核心要素 修订的需求分析就是解决“为什么修订”，把握修订的目标和意图.这是做好修订工作的首要问题.在学习研究以及人教版初中数学教科书修订的实践基础上，我们认为，应从课程的核心概念与结构体系、教学、学生三个方面进行修订的需求分析，即：反映高中数学课程的核心知识及其特征、思想方法与结构体系；有利于教学，促进学生的自主学习；提高学生的数学素养以及教师对数学、教学、技术与课程整合的理解. 教科书的内容修订不但要关注“教什么”，而且要考虑“如何教”以及“教的结果如何”.因此，在研究概率部分“修订什么”时应重视如下核心要素：（1）反映概率理论的本质特征与应用；（2）体现解决概率统计问题的途径；（3）使用有利于概率教学的多元外部表征和模型；（4）示例恰当（教材中的示例有助于发展重要的观点、原则、性质、定理等深刻的数学理解，在处理复杂情境下的问题时，基本的示例可以发挥参考、调节思维活动的作用）；（5）呈现概率理论特有的性质，包括创造数学的推理方式、方法、过程、来自外部与内部的不同动力的影响等. （二）修订思路 教科书的修订一般包括两个方面：（1）结构性修订.关注概率专题的整体思想、结构体系的变化，主要涉及课程价值的发展、目标与内容的变化、概率与统计、信息技术的联系、概率核心概念的调整与组织等.（2）具体内容的修订.主要涉及初高中衔接意义下课程的层次性、课程的数学本质与特征、课程内容的多元表征、例习题的质量与难度等.两者不是单一的线性递进关系，而是相辅相成，相互促进，体现了连续的渐进的循环往复的思考过程.针对修订前期的特点，我们在关注高中数学课程价值、目标与内容的发展以及统计概率整体性的同时，主要从教科书相关内容入手，根据修订目标与核心要素逐一分析梳理其中的问题. （三）研究过程与内容 首先，我们对现有教科书的概率部分进行文本分析，明确其目标意图、知识点及其联系、数学思想，并根据修订的核心要素提出需要研究的问题；其次，根据测试卷调查、课堂观摩以及教师访谈等明确教科书的问题；第三，在综合分析的基础上，提出初步的修订建议或方案，为后期的课堂教学实验奠定基础. 二、初步的问题与修订建议 （一）随机试验与随机事件概念 概率论是研究随机现象的统计规律性的科学，具体地说就是研究随机事件发生的可能性大小的规律.因此，随机试验、随机事件是概率论最基本的核心概念. 教科书的设计是通过举例，采取描述的方式归纳随机事件概念，目的是在具体的问题情境中，能区分随机事件、必然事件和不可能事件.这种设计的特点是实例多、起点低，有利于学生体会随机现象的普遍性. 但不足的是，没有关注初高中的螺旋上升，即进一步揭示随机事件的本质.这对教学有许多不利的影响.例如，仅仅根据随机事件的描述定义，教师就不容易解释概率的性质中事件的关系和运算的内涵与意义.在建立古典概型和几何概型的过程中，就不能清晰地描述建模的过程，甚至影响随机变量概念的理解. 为了加强对随机事件概念本质的揭示，我们设想引入样本空间概念，即将一个随机试验的所有可能结果抽象为一个集合，并用字母Ω表示，随机事件是样本空间的子集.例如，用数字m表示“掷出的点数为m”，m=1，2，3，4，5，6，样本空间为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，｛掷出的点数为5｝=｛5｝，｛掷出的点数为偶数｝=｛2，4，6｝.在比较美国等国家的高中教材后，更坚定了我们原来的设想.这也是我们对高中数学课标修订的一个建议. 我们又利用测试卷进行调查.内容主要包括两个方面：（1）学生对随机试验、随机事件概念的理解；（2）学生用集合语言表示随机试验的所有可能结果和随机事件是否存在困难.共测试了某校高二学生326名，某大学大三学生134名.结果表明：学生对随机试验、随机事件理解的正确率都很低.另一方面，引入样本空间的概念，将事件看成样本空间的子集，用集合表示随机事件没有困难. 综上，“引入样本空间，把随机事件看成样本空间的子集”有四点意义：（1）体现重要概念螺旋上升的原则（数学教育的发展已经表明，使用良好的符号体系对数学思维的发展至关重要）；（2）类比集合关系与运算，可以更好地理解事件的关系和运算意义；（3）有利于对实际问题进行数学抽象，建立概率模型；（4）随机变量的本质是样本空间到实数集的映射（试验结果的数量化），回避样本空间增加了叙述的难度. 在呈现方式上，可以结合典型的随机试验，通过用适当的符号表示试验的可能结果，借助图形或表格列举试验的所有可能结果，并用集合表示样本空间及相关随机事件，归纳给出随机事件是样本空间的子集. （二）概率的意义 教科书设计了概率应用的不同实例，包括游戏的公平性、风险决策、天气预报等.意图是通过动手操作或试验模拟等辨析实例，体会随机事件发生的不确定性，澄清对概率的一些错误认识，同时了解概率的简单应用. 概率的意义是解决概率问题的依据处理概率问题有两类主要途径：客观方法与主观方法.客观方法是教科书中常采用的途径，主观方法则把概率术语解释为相信的程度.根据计算方法的不同，客观概率又包括古典概率与试验概率.由于统计规律是通过大量重复实验揭示的，所以，频率与概率的关系是理解概率意义的核心，进而利用概率思想进行风险决策. 教科书在本节中有六个小标题，分别是：概率的正确理解；游戏的公平性；决策中的概率思想；天气预报的概率解释；试验与发现；遗传机理中的统计规律.从教科书中的各个实例出发，分析其是否反映了概率的本质应用，是否有助于发展对概率意义的理解，是否容易检验或试验模拟，我们认为还有许多改进的空间. 1.“概率的正确理解”部分由一道思考题开始： 有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上.你认为这种想法正确吗？ 大量重复试验是应用频率与概率关系的前提.对于随机事件，就一次试验来说，发生与否具有随机性.因此，题目的设计意图不明确，提问方式也比较简单，不能促进师生对频率与概率关系的深入认识. 思考：如果某种彩票的中奖概率为
，那么买1000张这样的彩票一定能中奖吗？（假设这种彩票有足够多的张数.） 由于不知道彩票的总张数，计算购买1000张彩票至少有一张中奖的概率，只能近似用二项概率计算（学生未学），比较复杂不易教学. 对这一部分内容的修订建议：更换一个易于学生计算以及计算机模拟（试验次数增加）的情境.例如，抛掷一枚质地均匀的骰子，结果出现1点的概率为
，那么重复抛掷骰子6次，一定出现一次1点吗？ 2.“游戏的公平性”部分通过游戏的情境表明，一个公平的游戏是指有两个随机事件A和B，规定：如果事件A发生，甲获胜；如果事件B发生，乙获胜.当事件A和B的概率相等时，则游戏是公平的，否则游戏不公平. 不足的是：教科书只是用概率的语言解释了什么是公平游戏，但没有体现概率的意义.如何设计一个游戏是否公平的情境，并体现概率的意义？可修改为： 思考：甲和乙玩一种游戏A，结果在10次游戏中，甲胜了6次，乙胜了4次，你认为这个游戏公平吗？如果玩游戏B，结果在100次游戏中，甲胜了52次，乙胜了48次，你认为这个游戏公平吗？ 3.“决策中的概率思想”的示例包含了两种重要的统计原理：小概率原理和极大似然原理.小概率原理（实际推断原理）是假设检验的依据.极大似然原理常用于参数估计.统计原理本身就很抽象，仅通过一个简单问题，很难理解和应用.建议这部分内容后移至二项分布的应用. 4.“天气预报的概率解释”原编写如下：思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，你认为下面两个解释中哪个能代表气象局的观点？（1）明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨.（2）明天本地下雨的机会是70%. 降水的概率是主观概率，它是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的，因此并不是一个恰当的客观概率应用的实例.教科书中也没有用概率的意义给予解释.建议对示例进行修改如下： 现在气象工作者正努力把对天气的各种预报用概率的语言表示.如某气象台预报“北京市明天降水概率是90%”，那么你明天要出门，最好携带雨具.当预报明天降水的概率为90%，却没下雨，我们或许抱怨气象专家的预报不准确.那么该如何评价气象专家的预报呢？ 对于“明天本地下雨的机会是70%”，依靠用频率估计概率，比较合理的解释为“在大量类似的气象条件下，大约有70%的天数要下雨”. 5.“试验与发现”“遗传机理中的统计规律”分作两部分设计，但从频率与概率的关系来看，它们是不可分割的两部分. 如果设事件A=｛从子二代中任取一粒，颜色是黄色｝，由试验发现：A的频率接近
，按遗传机理得A的概率为
.这再次验证了频率的稳定性，而概率是频率的稳定值. 综上，我们建议：1.将天气预报中的概率、游戏公平、孟德尔豌豆试验问题，经过适当的修改，整合在频率与概率的关系中，促进对概率意义的认识；2.将中奖问题和利用统计原理进行推断，放到二项分布的应用中. （三）古典概型与几何概型 古典概型与几何概型问题都是典型的数学建模.数学模型思想的核心是用数学思想方法解决生活或生产中的实际问题，并用数学语言描述与表示.与初中课程相比较，学生需要进一步发展与建构概率模型相适合的思维方式、数学语言. 我们从是否体现了解决概率问题的途径、推理方式、方法与过程进行分析，认为教科书对由实际问题抽象古典概型、几何概型的过程展现得不充分，忽视“基本事件的表示”的数学化过程.我们在课堂观摩中发现，教师常常不能示范如何应用随机观念与概率思维解决问题，并且对于学生的错误观念与解法不能给予适当的解释.对此，教科书在修订中应给予关注. 建议：（1）对解题思路的分析要尽量详细，用集合表示试验的所有可能结果及随机事件，突出模型的思想；（2）几何概型的例习题的难度要适当. 建立概率模型的过程是怎样的呢？下面以古典概型为例来说明. 同时掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的面的点数，事件｛两个点数之和是5｝发生的概率是多大？ 分析：（1）如何表示这个试验的可能结果？（2）所有可能结果有多少个？（3）所有可能结果是否等可能发生？（4）怎样计算事件的概率？ 解：（1）对两枚骰子加以标记，区分第一枚和第二枚，用（m，n）表示第一枚骰子的点数为m，第二枚骰子的点数是n. （2）利用列表或画树形图等方法得：所有可能结果有6×6=36个. （3）掷第一枚骰子有6个可能结果，由于骰子质地均匀，这6个可能结果是等可能的.同样，掷第二枚骰子也有6个等可能的结果.所有掷两枚骰子所得的36个可能结果是等可能的. （4）设A=｛两个点数之和是5｝，A包含的基本事件有4个，分别为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），所以
（四）独立重复试验与二项分布 教科书的设计是从具体的示例归纳“n次独立重复试验”的概念，进而由其概率分布的特征得到“二项分布”，最后探讨二项分布的性质.我们从是否反映理论的本质特征以及是否使用有利于教与学的恰当示例、多元外部表征进行分析，发现存在的问题是： 1.标题是“独立重复试验与二项分布”，但从目标、内容与示例来看，标题用“n次伯努利试验”更适当，用“独立重复试验”不准确，且没有归纳n次伯努利试验的特征，不利于教学. 伯努利试验是一种特殊的独立重复试验模型，有广泛的应用.设试验E只可能有两个结果“A”和“非A”，则称E为伯努利试验.将E独立重复地进行n次，则称这重复的独立试验为n次伯努利试验.设n次伯努利试验中事件A发生的次数为X，随机变量X服从二项分布. 建议：增加典型示例，归纳n次伯努利概型的特征，加强由实际问题抽象概率模型的分析.例如，（1）我们关注的事件A是什么？事件A在一次试验中发生的概率是多少？（2）能否认为是重复试验？即事件A在每次试验中发生的概率是否相同？重复试验次数n是多少？（3）各次试验之间的结果是否独立？ 2.二项分布在产品抽样检验等方面具有广泛的实际应用，并且在揭示事件的频率与概率的关系方面具有理论意义.在归纳“二项分布”概念以及探究其性质部分，示例少，并且没有利用树形图、表格、条形图等多元表征促进师生理解. 建议：（1）增强直观性.例如，在归纳概括二项分布列时可以通过典型示例，利用树形图或表格列举试验的可能结果，利用条形图直观表示分布.在探究二项分布的性质时，先通过观察一些特殊的分布图，对一般规律提出猜想，进而作理论概括.（2）适当加强二项分布应用的示例以及通过具体的计算体会频率稳定性的确切含义. 需要探讨的问题还包括：（1）是否在正文中以放回方式和不放回方式抽样为例，对二项分布和超几何分布进行比较？并且对统计中由样本数据的特征估计总体的特征有进一步的认识.（2）二项分布和超几何分布的概率计算都比较难，可否在教师用书中介绍用Excel计算二项概率和超几何概率？（3）节标题是“二项分布及其应用”，内容包含条件概率和事件的独立性，结构是否需要调整？ （五）离散型随机变量的均值 我们从教科书是否反映离散型随机变量的均值（即数学期望）的意义、性质及其应用进行分析，发现存在的问题是： 1.离散型随机变量的均值（数学期望）的意义是随机变量可能取值的平均值，在统计中就是总体平均值，是一个理论值.教科书用混合糖果的合理定价来引入概念，不能揭示数学期望的意义.如何体现数学期望的意义？我们对教科书中的一个示例修改如下： 思考 某射箭运动员的长期训练水平可用下表表示：
在某次比赛中，射出的10箭平均击中环数为8环，这能反映他的真实水平吗？ 假设他射箭n次，击中7环、8环、9环和10环的次数分别为
. 由频率和概率的关系，当n足够大时，
n次射箭击中的平均环数为
≈7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 用概率代替频率，得到一个理论上的平均值9，这个平均值也称为数学期望，期望值反映了运动员的真实射箭水平. 2.关于样本均值和数学期望的关系，缺少具体的示例.建议：增加示例，并利用Excel软件中的RANDBETWEEN函数模拟试验，通过表格、条形图等多元表征直观表示样本平均值的波动情况，促进师生理解随机变量的均值（总体的均值）是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，且随着样本容量的增加，样本平均值的波动幅度变小，逐渐稳定到总体的均值.因此，常用样本平均值来估计总体的均值. 3.反映数学期望应用的示例不足.期望的应用主要是风险决策，在修订时可以再增加一些不同背景的决策示例. （六）正态分布的引入 教科书的设计是以高尔顿钉板试验引入.高尔顿钉板试验代表的是离散型随机变量，满足二项分布，而正态分布是连续型分布.中心极限定理严格证明了二项分布的极限分布是正态分布.因此，用高尔顿钉板试验不易解释. 建议：由于教材没有对连续型随机变量的分布进行一般讨论，所以选择某个连续型随机变量X（例如，学生的身高，公交车在某区间的行车时间，等等），从描述样本数据分布的频率直方图出发，当观测值越来越多时，分组越来越细，组距越来越小，频率直方图的轮廓越来越接近一条光滑的曲线，最终过渡到用密度曲线描述总体的分布. 修改引入方式的意义：（1）连续型随机变量的取值充满某个区间，其取值不能一一列举，需要用密度函数来描述变量的分布规律；（2）体现由经验模型到建立理论模型的过程；（3）有利于加深对样本数据分布和总体分布的关系的理解. 三、后续研究计划 上文是根据概率核心概念的数学意义与应用、特征、多元表征、示例的典型性、信息技术的应用等修订要素对现有的教科书所进行的修订前期的主要研究.在此基础上，我们将进一步开展：（1）概率专题的整体结构研究.（2）实验研究.对重要的内容（随机事件、频率与概率的关系、几何概型、随机变量的期望、二项分布、正态分布）进行教学实验.（3）梳理练习与习题，进行必要的调整和重组.最后形成更科学更可行的修订方案. 统计与概率在我国数学课程发展中起步较晚，是数学教师专业知识与素养中的薄弱项，所以，我们需要认真学习和研究，在课程建设中作出更大努力.
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