——点差法应用的条件
王晓丽 新疆伊宁市第三中学 835000
在普通高中课程标准试验教科书数学选修2-1课本上，P62页有一道题，考察圆锥曲线与直线的综合问题。题目是：已知双曲线x2- =1，过点P（1,1）能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？这道题方法很多，主要的解法有设而不求法、参数法、待定系数法等等。对于圆锥曲线中的中点问题，学生更多的是尝试用点差法。
下面我们也尝试下：设点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，则A、B都满足曲线方程，即：x12- =1（1）；x22- =1（2）。这两个表达式相减得到 ＝，由这个式子很容易得到等式的右边是直线，斜率k==2。
另一种解法：设点A（x1，y1）B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为M（x，y），设经过点P的直线L的方程为y-1=k（x=1），即y=kx+1-k，把y=kx+1-k带入双曲线的方程x2- =1，得到（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2=0（2-k2≠0）。所以，x= = 。由题意得 =1，解得k=2。而当k=2时，方程变为2x2-4x+3=0，与双曲线交于A、B二点，且点P是线段AB的中点。
根的判断式△=16-24=-8＜0，所以方程没有实数解，所以不能作一条直线。
这两种解法是相反的，显然第二种解法是正确的。那么我们现在思考：什么时候可以用点差法？这个点P在什么位置或区域时就不能用点差法得到直线的方程？即如图所示，如果点落在在双曲线和渐近线之间的阴影部分，则不能用点差法得到直线方程。我们先用点差法看能得到什么结论：
不妨我们先假设过点P可以做一条直线与双曲线相交，并且此时点P是中点。点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为P（x，y），用点差法可以得到什么呢？
把点A、点B坐标带入曲线方程，得到 － =1， － =1（2），把这两个表达式相减得到 = ，化简后得到 = ，整理得到关系式KABKOB= （1）。
为了方便研究，我们先研究点在落在阴影部分的第一象限时。当过点P的直线与双曲线相交并且是中点时，只能在两支上相交，所以- <kAB< ,而0≤kOP≤ ，所以kABkOP< ，与上面的结论（1）矛盾，所以假设不成立。也就是说明当点P落在此区域时不满足直线与双曲线相交，且点P是中点，即不能用点差法。
我们研究点落在阴影部分的第四象限时，当过点P的直线与双曲线相交并且是中点时，只能在两支上相交，同理得到- <kAB< ,而- ≤kOP≤0，所以kABkOP< ，与上面的结论（1）矛盾，所以假设不成立，也就是说明当点P落在此区域时不能用点差法。
由于对称性，所以可知当点落在阴影部分的第二、第三象限时，也不能用点差法。
有以上证明，可知要想用点差法解决有关中点的问题，一定要注意点的位置。
点差法解决圆锥曲线中点的问题是解析几何中一个重要的内容，也是高考的热点。用点差法虽然解决有关圆锥曲线中点的问题时方法比较简洁，而且化简的表达式也比较具有对称美，但是一定要注意它所使用的条件。尤其是双曲线，即如果直线与双曲线相交，则可以用点差法；若此点落在如上图所示的阴影部分内，则不能用。考虑问题一定要全面，不是什么中点问题都能用点差法。
论文作者:王晓丽
论文发表刊物:《素质教育》2018年3月总第264期
论文发表时间:2018/3/20
标签：双曲线论文; 中点论文; 直线论文; 落在论文; 方程论文; 圆锥曲线论文; 线段论文; 《素质教育》2018年3月总第264期论文;