陈丽娟[1]2007年在《某些样条空间奇异性和插值适定性问题研究》文中指出众所周知，样条作为计算几何中表示和逼近几何对象的基本工具，在很多工程领域有着重要而广泛的应用，多项式函数的某些特例早已出现于一些数学研究工作中。鉴于客观事物的复杂多样性，开展多元样条函数的研究，无论是理论上还是应用上都有着重要意义，虽然多元样条函数与一元样条函数有着一定的联系，但它绝不是一元样条函数的简单推广，两者之间存在着本质的差别，所以有关它的研究成果不像一元样条那样完美，有些问题还值得进一步研究。本文的主要工作如下：在第二章中，定义了类似于△_(MS)剖分的△_(MS)~μ剖分，利用罗钟铉教授提出的模中生成基方法得到了对于任意的μ，S_(μ+1)~μ(△_(MS)~μ)空间奇异的代数型条件，王仁宏教授在1975年将样条函数的结构等价地转化为相应的代数问题，2001年罗钟铉教授通过定义模中的约化准则给出了求解模中生成基的机械化方法。由于该方法获得的一个内网点处的协调方程的生成基在一般情况下由若干个一次和零次的模中多项式向量所构成，因此对于研究多元样条函数空间带来很好的便利条件，从杜宏的文中我们不难发现在△_(MS)~μ剖分样条空间奇异性和代数曲线的内蕴性质之间存在着一定的等价关系，我们还给出了当μ=2时，S_(μ+1)~μ(△_(MS)~μ)样条空间奇异时等价的几何性条件，为了更好的说明我们的结论，一些具体的例子在该章中也给出。这些结果对于以后研究代数曲线的分类和参数化将有极大的帮助。第叁章，利用多元样条对散乱数据插值是多元样条一个重要的应用领域，二元样条空间在数值逼近、曲面拟合、散乱数据插值、多元数值积分、有限元方法、偏微分方程数值解、计算机辅助几何设计和计算机图形学等方面有着广阔的应用，显然，要了解多元样条空间并将其应用于实际，最首要的问题是弄清它的代数结构。对于次数d相对光滑度r较大的情形，已经有了许多的结论，如d≥3r+2的情形。但实际应用中，由于低次样条计算简单和稳定，人们对低次样条空间更感兴趣。例如r=1时，d=2，3，4的情况。而S_3~1(△)的情形则至今悬而未决，人们既不能给出其维数也不知道其维数是否依赖于剖分的几何形状，确立任何叁角剖分下样条函数空间S_3~1(△)的维数遇到了难以想象的困难，成为多元样条函数研究领域的一个公开问题。但空间S_3~1(△)却是一个特别重要的空间，之所以特别重要，除了二元叁次样条函数的计算简单和稳定的优点外，还在于它是维数(尽管我们目前还不能确切说明)超过其叁角剖分顶点数的所有样条函数空间次数最低的。换句话说，空间S_3~1(△)是可以在其叁角剖分的所有顶点上考虑插值的次数最低的二元C~1样条函数空间。由于确立任意叁角剖分空间S_3~1(△)维数具有难以想象的困难，所以可以先考虑某些特殊的剖分。显然，寻找一般的叁角剖分，并给出其相应的维数，具有十分重要的意义，在本章中，讨论了满足一定的条件的一类叁角剖分，研究了在其上的S_3~1(△)空间，我们先对该叁角剖分进行分解，然后递归地在该叁角剖分上建立了S_3~1(△)空间的容许集和Lagrange插值集合，从而明确地确定了S_3~1(△)的维数，因此能够确定这类叁角剖分的非奇异性。在本章的最后，还给出了一种在平面散乱点集上构建叁角剖分的方法，使得生成的叁角剖分正好在我们所考虑的这类叁角剖分内。第四章，众所周知，二元多项式空间P_d的自由度个数是(?)，那么，分片连续的多项式—二元样条空间的维数是多少?这一问题对于研究样条的插值适定性等许多其它的问题都具有重要的意义，与多项式空间维数相比，样条空间的维数研究异常困难，至今仍有许多与之相关的公开问题，叁角剖分是实际中较常用的剖分，叁角剖分下二元样条函数维数的问题也最令人关注，二元样条空间的维数研究问题，最早始于strang给出的关于维数的猜想，最有代表性的是L.L.Schumaker给出关于一般叁角剖分下二元样条函数维数的下界和上界，对于一个一般的叁角剖分，很难给出一个通用的维数公式，因为样条空间的维数不仅依赖于叁角剖分的拓扑性质，即剖分的顶点数，边数和叁角形的个数，而且很强烈地依赖于剖分的几何性质，在本章中，我们利用对叁角剖分的顶点进行编号和光滑余因子方法，对一般的叁角剖分的上界进行了重新估计，改进了以前的结论。特别是对含有奇异网点和贯穿线较多的叁角剖分上的样条空间效果更明显，并且给出一些比较方便地判断样条空间维数的推论。第五章，T-网格，从本质上来说就是一个容许T结点的矩形网格，T样条，是定义在T网格上的PB样条(Point-Based Spline)，邓建松等人在Sederberg等人引入的T样条的基础上，限制样条在T网格的每个剖腔上是一个张量积多项式并且内网线处满足一定的光滑性，提出了T网格上样条函数空间的概念，利用B网方法，他们得到当光滑阶小于多项式一半时规则T网格上样条空间维数公式。在本章中我们利用对内线的协调方程重新编序的技巧，使得协调方程组所对应的系数矩阵正好为一个准上叁角矩阵，从而能够方便地给出任意规则T网格样条空间的维数公式，并且这个公式对一般T网格样条空间，诸如：T网格上的周期样条空间、组合T网格上样条空间和有洞T网格上样条空间的维数同样适用，因而我们的结论更具一般性。
王丹[2]2004年在《多元样条空间的奇异性条件及插值适定性》文中研究指明样条函数作为函数逼近论的一个重要分支，已得到了迅速的发展和广泛的应用。样条函数，就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数。一元样条函数已经建立了非常完善的理论体系。八十年代起，样条函数的研究开始转向多元情形。虽然多元样条函数在思想上是一元样条函数的推广，但它比一元样条函数困难得多、复杂得多，这不仅仅是因为区域的多维性及多元函数区域上的复杂性，而且多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的拓扑性质外，还紧密地依赖于剖分的几何性质，其中最着名的例子就是Morgan-Scott剖分。 本文从多元样条函数的协调方程出发，运用罗钟铉教授提出的多项式环上的素模中的生成基理论和方法，结合Mathematica软件环境作了一些研究： 1．对S_3~2(Δ_(MS)~((2)))空间的奇异性条件进行讨论，得到了该空间奇异的一般性代数型条件，并给出了该空间奇异时的实用的几何型奇异判别条件。 2．对S_3~1空间的Ⅰ型剖分的插值适定性进行了讨论，并给出相应的例子。 3．利用一元算法对文[1]中的引理进行了机械化证明。
邓勇[3]2005年在《某些叁角剖分上样条函数空间的奇异性及插值适定性》文中研究说明样条函数作为函数逼近论的一个重要分支,已得到了迅速的发展和广泛的应用。样条函数,就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数。一元样条函数已经建立了非常完善的理论体系。八十年代起,样条函数的研究开始转向多元情形。虽然多元样条函数在思想上是一元样条函数的推广,但它比一元样条函数困难得多、复杂得多,这不仅仅是因为区域的多维性及多元函数区域上的复杂性,而且多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的拓扑性质外,还紧密地依赖于剖分的几何性质。 本文从多元样条函数的协调方程出发,运用罗钟铉教授提出的多项式环上素模中的生成基理论和方法,在Mathematica软件环境下做了一些研究工作,主要结果如下: 1.详细讨论了多元样条函数空间S_4~2(Δ_(MS))的奇异性问题,得到了该空间奇异的代数型充分必要条件,并在此基础上给出了该空间的维数。 2.对2-型叁角剖分上多元样条函数空间S_2~1(Δ__(22)~(2))的插值适定性问题进行了研究,给出了该空间插值适定结点组的选取方法,并在此基础上进一步提出了一种构造插值适定结点组的方法,给出了相应的例子。该方法应用于Morgan—Scott型叁角剖分和1-型叁角剖分上时得到了相应的结论。
王晶昕[4]2004年在《样条插值适定性与插值逼近问题研究》文中研究指明在涉及到函数逼近、多元统计、系统控制以及计算机辅助几何设计等许多与科学计算相关的领域中,函数插值方法都是不可缺少的工具.因此,关于函数插值的理论与应用方面的研究一直是极受关注的重要课题.样条Lagrange插值适定性问题指的是:对于给定的样条空间以及定义域中的若干点亡t1,…,tm及任意m个实数值y1,…,ym,是否在这个样条空间中唯一存在着一个样条s,使s(ti)=yi,i=1,…,m.1953年,针对一元n次样条插值适定性问题,I.J.Schoenberg与A.Whitney[22]给出了着名的Schoenberg-Whitney定理.然而,我们注意到,样条插值的适定结点组相对于样条节点(或者剖分)的分布特征仍然没有明确的结论,需要进一步探索,揭示其构成的内在规律,以便更方便于应用.而多元样条插值适定性问题因为剖分的复杂性还没有很好的结论,即使是对二元一次样条也是如此.另外,构造具有某些插值性质的拟插值算子对于理论与应用也是很重要的工作.再者,插值与数据点的采集有关.由于某些实际问题本身就体现出随机性,只能测得随机数据点,因此,关于随机数据的样条插值的处理问题将是涉及到许多客观实际问题的、在理论以及应用上都会很重要的课题.本文围绕关于样条函数插值的上述问题展开研究,主要工作如下:(1) 一元样条Lagrange插值的适定结点组的结构我们引入局部适定结点组,完全局部适定结点组,最小局部适定结点组以及最小适定结点组概念,给出了不同于Schoenberg-Whitney定理的关于一元n次样条插值结点组的适定性的充要条件,证明了如下结论:一元样条插值的适定结点组是由有限个完全局部适定结点组组成,它们之间顺次由n-1个样条节点隔开.每个完全局部适定结点组是由一个最小局部适定结点组平凡扩充而成.而最小局部适定结点组是由最小适定结点组经平凡扩充得到.最小局部适定结点组的组成只与样条空间的次数有关.它只有有限多种配置方式.同时,我们还给出了最小(局部)适定结点组的组成的位置配置算法.这些结论可以用于根据插值结点组相对于样条节点的位置的分布状况对结点组的适定性作出判断,还可以根据插值结点的位置确定样条结点从而确定样条曲线,或者达到两条样条曲线自然拼接的目的.大连理工大学博士学位论文 (2)二元一次样条插值适定结点组构成问题 针对正则叁角剖分条件下二元一次样条的特性,我们引入恰当结点组这一与适定结点组有相同的构造特征的概念,采用图论方法,构造有根的有向树,并进行适当赋权,定义成本函数与流量函数,找出判断恰当结点组的充要条件,从而找出二元一次样条函数空间的插值适定结点组的构成规则: 二元一次样条函数空间的插值结点组是适定结点组的充要条件是,这个结点组是有限个完全局部适定结点组的并.这些局部适定结点组所在的正规叁角胞腔的并是互不相交的连通的多边形闭区域,这些闭区域被有限个由叁角胞腔的并构成的不含网点的强连通区域分隔开来. (3)具有插值性质的拟插值算子 我们给出了运用一个插值算子以及一个拟插值算子构造具有某种插值性质的拟插值算子的方法,证明了这样构造的算子列的收敛性,给出了几个具体的算子的例子. 一般地,插值函数曲线(曲面)可以通过给出的型值点,但是可能会发生严重振荡(比如Lagr二ge插值函数)从而不能达到要求的逼近效果.拟插值方法可以达到要求的逼近效果,但是不能保证通过给定的型值点.消除振荡,保证插值函数都通过给定的型值点,并且具有很好的逼近性质自然是人们关心的一个插值逼近问题. (4)随机插值以及随机样条问题 我们从分析结构细梁上的随机载荷对细梁形变的影响入手,引入随机样条概念,研究并得到了随机样条的插值问题适定性定理以及随机样条依概率收敛的逼近定理. 许多客观实际问题的数据采集都具有一定的随机性,因此,刻划随机样本点条件之下的函数拟合或函数逼近就是一个重要的课题.从形式上看,随机样条就是系数都是随机变量的分段(分片)多项式.但是,由于随机变量带入了更多的信息,随机样条函数做为一类新的样条函数将会更有效地反映某类事物变化的本质特点,适用于对相关的实际问题进行更合理的近似描述. 关键词:样条插值,最小局部适定结点组,最小适定结点组,完全局部适定结点组,恰当结点组,具有插值性质的拟插值算子,随机插值,随机样条函数一工工一
许志强[5]2003年在《多元样条、分片代数曲线及线性丢番图方程组》文中研究指明多元样条函数在函数逼近、计算几何及小波等领域中均有较为重要的应用。另一方面，多元样条与基础数学的一些领域，如：抽象代数、代数几何、微分方程及组合数学等，亦有着密切关联。本文主要针对多元样条在应用中及与其相关的基础数学领域中提出的一些问题进行研究。考虑的问题主要为：样条函数空间维数的奇异性、分片代数曲线Bezout定理、整系数线性方程组非负整数解个数及与其相关的组合数学问题。主要工作如下： (1)利用多元样条对散乱数据插值是多元样条一个重要的应用领域。要使插值的多元样条函数存在且唯一，一个必要条件是插值点数与多元样条函数空间的维数一致。另一方面，人们对多元样条维数的研究亦有理论上的兴趣。因此，多元样条维数的研究是较重要的。通常的，我们将剖分△上k次μ阶光滑的样条函数空间记为S_k~μ(△)，其维数记为dimS_k~μ(△)。对于Morgan-Scott剖分△_(ms)，人们发现dimS_2~1(△_(ms))严重依赖于剖分的几何特征[58]，这个性质称为样条空间维数的奇异性。因此，Morgan-Scott剖分上样条空间维数的研究一直令人感兴趣。施锡泉在[66]中讨论了dimS_2~1(△_(ms))的变化特征，并对高维Morgan-Scott剖分上的样条空间维数奇异性进行了讨论。Diener在[44]中对dimS_(2r)~r(△_(ms))，r＞0进行了讨论，发现dimS_(2r)~r(△_(ms))，r＞0也依赖于剖分的几何特征。除此之外，Diener证明了dimS_d~r(△_(ms))，d＞2r不依赖于剖分的几何特征。文[46]中对dimS_(2r)~r(△_(ms))，r＞0进行了进一步研究。但迄今为止我们并不知道当d＜2r时，dimS_d~r(△_(ms))的特征。本文提出并讨论了dimS_d~r(△_(ms))，d＜2r的奇异性，发现此时样条空间维数的奇异性变化较为复杂。特别地，d≤5/3 r，dimS_d~r(△_(ms))不具有奇异性，d＞5/3 r，dimS_d~r(△_(ms))奇异性开始出现，且奇异性随着d的增加而增加，当d到11/6 r附近奇异性达最大，随后下降，至2r+1处消失。 (2)分片代数曲线定义为二元样条函数的零点集合。利用样条函数对散乱数据插值时，插值适定的充要条件即为节点数与样条空间维数一致且所有节点不落在同一条分片代数曲线上。分片代数曲线的研究不仅对二元样条插值有重要的意义，而且对于传统的代数曲线理论研究也是较为重要的。众所周知，Bezout定理是传统代数几何的开卷定理。其弱形式是：两条交点有限的代数曲线交点上界不超过其次数的乘积，我们将两条代数曲线次数的乘积称为其Bezout数。鉴于Bezout定理在传统代数曲线理论中的重要地位，考虑Bezou七定理在分片代数曲线中的推广对于分片代数曲线的研究十分重要.施锡泉与王仁宏在文【网中对任意叁角剖分上，两条。阶光滑的分片代数曲线交点有限的前提下，相交数所能达到的上界进行了估计，即考虑了。阶光滑的分片代数曲线的Bezout定理.我们首先证明了价9]中提出的关于叁角剖分的猜想性结论.指出了分片线性代数曲线与四色猜想之间的内在联系.利用Morgan-scott剖分，指出了分片代数曲线Bezout数的不稳定性.最后，利用与文[60]完全不同的方法一一组合优化的方法，给出了任意叁角剖分上任意光滑的分片代数曲线Besout数的上界估计，即考虑了任意阶光滑的分片代数曲线的Bezout定理. (3)离散截断幂定义为线性方程组非负整数解个数，其与多元Box样条和多元截断幂有着密切关系.线性方程组的整数解在多个数学分支中都有重要的应用，离散截断幂的研究亦会对这些学科产生影响.Dalunen与Micchelli在件刃提出了这一概念，并在1551中给出了离散截断幂的分片结构，且给出了离散截断幂解析表达形式的首项.M.Be汰，R.Diaz和S.Robins利用组合的方法在俘司中曾经给出整系数线性方程非负整数解个数的一个解析表达形式.这可看作一元的离散截断幂一个解析表达形式.但这种方法难以推广到多元.我们借助多元截断幂与多元Box样条，给出了多元离散截断幂的一个解析表达形式.贾在【54}中借助离散截断幂证明了stanley提出的一个关于幻方的猜想.其证明该猜想的关键性引理，亦可看作我们给出的关于离散截断幂表达形式结果的一个特殊情形. (4)多面体体积的计算在多个数学领域中均有重要的意义.借助离散截断幂，证明了空间凸多面体的体积等于多元截断幂在一点的函数值.通过这一结论，可用CAGD中快速计算多元样条函数的方法计算凸多面体体积.利用这一方法重新证明了2002年J.Pitman，R.Stanley在!601中给出的关于多面体体积的结论，且证明仅用了初等线性代数知识. (s)利用离散截断幂，重新证明了与有理多面体内整点数目相关的Ehthart拟多项式的一些经典结果.Ehrhart拟多项式的显式公式一直令人感兴趣，Ehrhart本人对整多面体的情形给出了Ehrhart多项式的头两项和最后一项.近来，Pommersherim[6一l，Kantor，Khovans地i[65]，eappell和Shaneson[32]与R.Diaz和5.Robins[42]对这一问题进行了研究.但是，他们主要考虑了有理多面体为整单纯形的情形，且采用的方法主要为代数几何的方法.我们借助多元截断幂与多元Box样条的函数值，给出了对一般有理多面体，Ehrha
李崇君[6]2004年在《特殊叁角剖分上的多元样条及其应用》文中研究表明多元样条在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计和有限元等领域中均有很广泛的应用。在本文中,我们一方面继续研究某些有很重要应用价值的特殊叁角剖分上的多元样条,着重讨论了均匀2-型叁角削分上样条空间的性质,同时也考虑了一般叁角化四边形剖分和叁维空间中四面体剖分的情况。另一方面积极地将多元样条理论方面获得的结果应用到实际工程中,如计算机辅助几何设计和有限元方法。主要工作如下: 在第二章中,我们讨论了2-型叁角剖分上异度样条空间的性质。考虑当剖分是均匀的情况,这种剖分是一类特殊的贯穿剖分,也称为四方向剖分,因为其结构简单,对称性好,在实际中有很广泛的应用。为了摆脱刻划样条次数和光滑度之间关系的基本不等式的限制,考虑分别在矩形剖分线和对角剖分线上采用不同的光滑度,从而获得了更多样条空间上的丰富结果。我们主要讨论了应用比较广泛的叁次和四次样条空间的情况。借助光滑余因子协调法,我们构造了各个空间的具有局部支集的样条基函数,并利用这些基函数构造保持高阶精度的样条拟插值算子深入讨论了它们的逼近性质,给出了逼近误差的估计,同时利用拟插值算子讨论了样条空问的逼近阶。 在第叁章中,我们研究了二元样条函数在计算机辅助几何设计中的应用。非均匀有理B样条(NURBS)方法已经成为用于曲线曲面描述的广为流行的技术。但是,采用张量积形式的传统NURBS方法也存在一些不足。其一,由于基函数是一元B样条基的张量积,使得其参数域只能是矩形区域。而对于非规则的参数域,只能由矩形域上的NURBS曲面经过裁剪和拼接得到。但是,一方面裁剪是昂贵的,而且有数值误差;另一方面,要在曲面的接缝处保持光滑,即使是近似的平滑也是困难的。从控制项点的角度看,张量积型的基函数使得控制顶点在拓扑上必须位于矩形网格上。这意味着,NURBS曲面的大部分控制顶点的存在只是为了满足这种拓扑约束。它们并不含有特别的几何信息,因此是冗余的。其二,张量积的基函数使得曲面的次数升高。例如,一张p×q次的B样条曲面虽然在等参数线上是p或者q次的参数曲线,但整个曲面的次数却为p+q次。代数次数较高的曲面使得与之相关的运算变得更复杂,甚至影响曲面的几何性质,如出现多余的拐点等。这些缺陷,都是张量积型曲面本身不能克服的。而现阶段对非张量积型参数曲面的研究只限于叁角域(单纯形)上的Bernstein-Bézier(B-B)曲面,由于参数域的不同,不可能直接将叁角域上的B-B曲面转化到四边形区域上去。 为了解决上述问题,我们采用具有局部支集的二元B样条基函数构造非张量积型的NURBS曲面。对于矩形参数域,我们利用2-型叁角剖分上各样条空间中的基函数系统地构造了二次、叁次和四次非张量积型NURBS曲面。由于每个二元B样条基具有单独的局部支集,并可以根据各种参数域的形状选取满足相应光滑度和支集形状的样条基,而且整体次数较低,从而能够很好地克服上述传统NURBS曲面由张量积引起的问题。与这些基函数所对应的控制顶点也不再要求必须位于矩形网格上。因此,从根本上突破了张量积型曲面对参数域和控制顶点的拓扑限制。曲面除局部性质更好以外,还具有参数个数少的优点。由于二元B样条基是基于2-型叁角剖分上分片定义的多项式,对于不规则的参数域,我们可以直接得到相应的B样条曲面,而无需先构造矩形域上的曲大连理工大学博士学位论文面再经过特别的裁剪得到.我们选取具有单位分解性,而且有高通近阶的样条基函数,由它们生成的曲面具有许多良好的几何、逼近性质,如几何不变性、仿射不变性及凸包性质,并且在边界上与张盘积型NURBS曲面保持了一致性.适当地选取节点向量,或者通过减少B样条墓函数的支集范围,能使曲面的所有边界(包括对角例分线)退化为相应的NURBS曲线或者B白ier曲线,使得曲面具有良好的边界性质,并且可以直接利用传统NURBs曲面中的关于控制顶点与权因子的调节技术来方便地控制曲面.此外,通过对部分B样条荃的分解,可以在曲面的内部对参数域和控制顶点进行局部细化,使得曲面浦足相应的几何性质. 在第四章中,我们讨论了样条有限元方法.现阶段,样条函数在有限元方法中的应用多数是一元的B样条或者张里积型的B样条,而对于多元样条,只有少数的文献研究了2一型叁角剖分上二元二次B样条的简单应用.对于叁维空间中的金字塔单元,至今为止,还没有构造出同时满足协调性和非奇异性条件的多项式单元形状函数. 我们提出利用样条的方法,通过降低单元内部的光滑度,构造一族具有离精度的样条单元来解决这一问题.首先,我们利用叁角化四边形剖分上保持2次箱度的二元二次样条函数构造了一种新的四边形上的8节点样条元.将任意凸四边形单元转化为四个满足内部Cl连续的叁角形单元,在每个叁角形单元上采用面积坐标的B网表示方法,使得单元函数同时具有了对例分适应性强、精度高、计算简便等优点.我们通过弹性力学中的一些算例对其进行数值实验,得到了满意的结果.继续这一思路,把叁维空间中的金字塔单元和六面体单元分解为几个满足内部某种连续条件的四面体单元,在每个四面体单元上采用体积坐标的B网表示方法.我们得到了两种新的13节点金字塔单元和21节点六面体单元.?
朱春钢[7]2005年在《分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究》文中认为利用多元样条进行散乱数据插值是计算几何中一个非常重要的课题。但由于多元样条空间的结构不但依赖于剖分拓朴性质,而且紧密地依赖于剖分的几何性质,这就使得对样条空间的插值结点的适定性的研究变得十分复杂。目前样条空间的插值(特别是Lagrange插值)适定性问题始终研究的热点问题。王仁宏为解决这一问题提出了分片代数曲线的概念。对于平面上(复或实平面)单连通区域Ω的剖分Δ,曲线 Z(f):={(x,y)|f(x,y)=0,f∈S_n~μ(Δ)} 称为Ω中关于剖分Δ的n次C~μ分片代数曲线。显然,分片代数曲线是经典代数曲线的自然推广。王仁宏指出:样条空间的Lagrange插值结点组适定的充要条件是这些结点不在同一条非零分片代数曲线上。因此,本质上解决插值结点的适定性问题关键在于研究分片代数曲线,在高维空间里就是研究分片代数簇。除此之外,分片代数曲线(簇)也与CAD、CAGD、CAE等领域中均有较为重要的应用。另一方面,人们发现它也是其他学科研究的一种有效工具。分片代数曲线(簇)作为二元(多元)样条的零点集合,它是代数几何与计算几何中一种新的重要概念,显然也是经典代数曲线(簇)的推广与补充。因此,研究分片代数曲线(簇)具有重要的理论与实用价值。本文的主要工作如下: 首先我们对多元样条空间的叁种定义方式进行了回顾,并着重介绍了光滑余因子协调法。给出了分片代数曲线(簇)的定义,并对研究的理论与应用背景进行了阐述。 众所周知,Bezout定理,N(?)ther定理与Cayley-Bacharach定理是经典代数几何的基本定理。将它们推广到分片代数曲线上也有重要的理论与应用意义。王仁宏等对于分片代数曲线的Bezout定理多了大量的研究工作。第二章我们主要是对分片代数曲线的N(?)ther型定理与Cayley-Bacharach定理进行研究。首先对代数曲线的一些概念与主要定理进行了绍,并将一些概念推广到分片代数曲线上。然后对[27]中关于星形剖分下分片代数曲线的N(?)ther型定理改进,并利用贯穿剖分与样条的性质,得到了贯穿剖分下分片代数曲线的N(?)ther型定理。利用此结果与分片代数曲线的Bezout定理,将经典代数几何中的Cayley-Bacharach定理推广到分片代数曲线上,给出了0阶光滑分片代数曲线的Cayley-Bacharach定理分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究与Hilbert函数,并得到一些有趣的结论. 对分片代数曲线研究的最初根源是二元样条的插值问题,但是将分片代数曲线的理论应用于二元样条插值的研究还非常少.第叁章中,我们首先给出了沿分片代数曲线插值的概念.利用第二章中得到的分片代数曲线的N仪her型定理与,我们得到了一种崭新的构造二元样条Lagrange插值适定结点组的方法.它类似于构造一般多项式Lagrange插值适定结点组的迭代方法. 与代数曲线类似,在进行分片代数曲线的绘制时也会遇到很多问题.目前,一般都借助计算机来绘制分片代数曲线.实际上,计算机绘制出来的图形某些时候是不一定准确的.例如,当计算机屏幕显示不出来图形时,你并不能确定曲线就是空集,而且曲线在奇点附近的显示也是非常不精确的.因此对实分片代数曲线进行理论上的研究是非常必要和重要的.第四章主要对实分片代数曲线进行了研究.首先给出了实分片代数曲线的一些性质,然后定义了实二元样条的特征,利用实代数几何与代数学的基本知识,对某些二元样条及其定义的实分片代数曲线进行了研究,并给出了一种实分片代数曲线孤立点的判断方法.为了研究实代数曲线在叁角域上的拓扑结构提出了代数曲线局部G一P的概念,利用实多项式的Sturm一Habicht序列,分析了实代数曲线在叁角形:域上的正则点与关键点,并给出一种生成实分片代数曲线线性拓扑图的算法. 分片代数簇作为一些多元样条的公共零点集合,同样也是代数几何中一种新的重要概念,是经典代数簇的推广,丰富和发展.它不仅与许多实际问题如:多元样条插值,代数簇的光滑拼接,CAD,CAM和CAGD紧密相联,而且还为研究经典代数几何提供了理论依据.第五章中,我们利用代数几何的有关结果,对分片代数簇进行了研究,得到了分片代数簇的一些性质与维数公式,并且对分片代数簇的坐标环、正则函数与同构定理进行了研究. 半代数集为一些实多项式等式与不等式的公共零点集合.半代数集与半代数函数为实代数几何中的重要内容,在很多方面具有应用(如多项式实根计数,实体造型等).第六章中我们首次引入了分片半代数集的概念.对它的投影稳定性,维数等问题近行了初步的讨论,并给出了分片半代数集的Tarski一Seidenberg基本定理与维数公式.关键词:分片代数曲线;分片代数簇;样条插值;二元样条;多元样条一n一
周歆辰[8]2017年在《非协调有限元和射影不变量的若干研究》文中研究指明有限元方法是求解微分方程及许多工程问题的有力工具.在各种网格上构造鲁棒的非协调有限元,同时对具体问题设计可靠的有限元格式来求解是有价值的工作.此外,鉴于射影几何、代数几何和计算几何联系紧密,将射影不变量应用于具体的几何研究对象也是有意义的课题.本文对非协调有限元和射影不变量两方面进行了研究.本文对非协调有限元的构造和应用展开如下研究.第一,本文针对二阶椭圆问题构造了对任意凸四边形网格鲁棒的非协调有限元,尤其是其二次和叁次情形.对于每种情形,首先在任意凸四边形上定义适定的非协调有限元,其自由度包含四边形边界上的各阶矩,然后对上述单元施加一个关于自由度的线性限制以得到带约束的有限元.在二次和叁次情形,每个有限元分别具有8个和11个自由度.全局元空间的维数与网格的单元数、顶点数和边数有关,同时本文详细刻画了一组易于使用的基函数.上述有限元应用于二阶椭圆问题具有最优收敛性.数值实验验证了本文的理论分析.第二,本文设计了多个应用于不同情形的求解Stokes问题的非协调混合有限元方法.其一是对于二维任意凸四边形网格,利用第一部分工作建立的非协调有限元与分片不连续多项式单元构造稳定的混合元.对于二次情形,可直接利用分片不连续P1元逼近压强;而对于叁次情形,需要向离散速度空间中添加泡沬函数.其二是考虑叁维Stokes问题,采用长方体剖分,利用向量形式的MSLK元逼近速度.由于直接应用分片不连续P1元逼近压强是不稳定的,我们将压强空间修改为分片宏P1元空间,构造了稳定的混合有限元.该方法显着减少了已有方法的自由度数目,且不降低逼近阶.其叁是针对单纯形网格上的CR-P1元,修正了 Lamichhane在文献[61]中的错误,指出该混合元的稳定性依赖于给定的网格.对二维情形,给出并证明了使CR-P1元稳定的宏单元所满足的充分必要条件.此外,为能将CR-P1元应用于更广泛的网格,本文给出其一个改进格式.上述所有工作的稳定性和收敛性理论均可由数值实验得到验证.本文还讨论了射影不变量及其在代数几何和计算几何中的应用.首先,本文扩展了罗钟铉教授提出的代数曲线的特征数的概念,使得特征数不再依赖于代数曲线而存在,并证明它是任意维射影空间中的射影不变量,并由此给出一个代数超曲面与闭回路直线集的相交性质.利用该性质,我们给出两种不同形式的Pascal定理在高维空间中的推广.第一种推广给出了不同次数的代数超曲面之间的联系;第二种推广给出了代数超曲面与单纯形的相交性质.上述推广与已有的某些推广格式完全不同,但可以良好地保持原始Pascal定理的形式.此外,本文还给出了包含Morgan-Scott型剖分在内的一类更广泛剖分上一种样条函数空间奇异的代数条件.利用上述结果,由代数条件导出相应的几何条件.
彭兴璇[9]2006年在《叁角剖分上的多元有理样条及其应用》文中研究说明有理样条函数是多项式样条函数的一种自然推广,但由于有理样条空间的复杂性,所以有关它的研究成果不像多项式样条那样完美,有些问题还值得进一步研究。本文一方面继续研究具有很重要应用价值的叁角剖分上的多元有理样条方法,着重讨论了平面叁角剖分上C~1有理插值样条函数。另一方面积极地将多元有理样条理论方面获得的结果应用到计算机辅助几何设计中去,研究曲面造型等方面的问题。主要工作如下: 第二章主要研究了C~1有理样条曲面约束范围插值问题。首先具体描述了C~1有理样条函数等价形式的重心坐标下的表达式。非均匀有理B样条(NURBS)在形状定义方面具有强大的功能和潜力,国际标准组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准,把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。文献[1～3]中利用广义楔函数方法构造了平面叁角剖分上的C~μ有理样条函数,并给出了它的等价混合形式,具有完全局部构造、表达式显示以及保形性好等特点,并且如上所述,NURBS方法的研究已经比较成熟并且应用广泛,因此研究有理样条插值曲面与NURBS标准形式的内在联系是十分有意义的。基于上述考虑,本章具体描述了C~1有理样条函数等价形式的重心坐标下的表达式,搭建起了有理样条曲面与NURBS之间关系的桥梁,它是叁个叁次Bernstein-Bezier叁角曲面片的凸组合。而叁角Bernstein-Bezier曲面片自从Farin~([4])1980年系统提出以来,已经得到了迅速发展和广泛应用,将这些结果应用到有理样条曲面的研究中去,必将促进有理样条曲面理论的发展。 进一步基于上述C~1有理样条函数重心坐标下的等价表现形式,实现了约束范围插值。在计算机辅助几何设计中,一个普遍的问题就是构造具有一定连续性的光滑拼接插值曲面,然而当数据点本身具有一些内在的性质时,诸如:正性,单调性,凸性等,人们希望构造的曲面也能保持这些性质。例如,在某些CAD环境中,面对一组有限数据的用户,可能认为一种保持某些特征的插值格式是理想的。而实际问题中的物理特征常可用数学形式进行描述,例如在物理学中得到的有关密度,降雨量等的一组数据是正的,就物理方面而言,总希望建立在这组给定数据上的插值格式也是正的,这就是所谓保正插值问题。更为广泛的是约束范围插值问题,即所给数据点在约束曲面范围之内,所构造的曲面也必须在约束曲面范围之内。这个问题已经被广泛的研究,随着研究的发展,约束曲面从平面发展到叁次多项式曲面,从单一的上界或下界约束发展到上下界约束。本文由Bezier曲面非负的充分条件得到了有理样条函数系数的约束条件,从而保证了有理样条函数的非负性,进一步将此方法推广,实现了约束曲面为叁次多项式的上下界约束有理曲面插值。该方法是完全显示的,不需求解连续性方程组和泛函的极小值问题,并且通过调整因子进行调整,是一种局部方法,具有调整灵活、计算简便的特点。 第叁章,基于广义楔函数方法讨论了球面上散乱数据插值问题。球面上构造函数的问题应用领域是很广泛的,包括大地测量学,地理物理学和气象学等,其基本模型均为定义于球面上的函数插值问题。由于广义楔函数方法对考虑有理样条函数问题具有通用性,因此
孟庆九[10]2005年在《多元弱样条函数空间维数问题的研究》文中认为通常的多元样条函数要求在网线的每一点上,分片多项式的光滑性一致。但在理论研究和实际应用中,如计算机辅助几何设计、有限元及Hermit插值等领域,经常碰到对分片多项式的光滑条件有特殊的要求,一种情况是我们并不要求分片多项式在公共剖分线上处处光滑,而只要求在指定的几个点上光滑即可,我们将这类样条称为多元弱样条。 本文给出了星型域上多元弱样条函数空间最小确定集的一种新的构造方法,对W_κ~μ(St(V))(κ≥2μ+1)的情况作了总结;对较为复杂的W_κ~μ(St(V))(κ≤2μ)的情况进行了讨论,给出了实例。把比较难的维数问题直观化,形象化。从而对弱样条函数的发展起一定的促进作用。
参考文献：
[1]. 某些样条空间奇异性和插值适定性问题研究[D]. 陈丽娟. 大连理工大学. 2007
[2]. 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性[D]. 王丹. 大连理工大学. 2004
[3]. 某些叁角剖分上样条函数空间的奇异性及插值适定性[D]. 邓勇. 大连理工大学. 2005
[4]. 样条插值适定性与插值逼近问题研究[D]. 王晶昕. 大连理工大学. 2004
[5]. 多元样条、分片代数曲线及线性丢番图方程组[D]. 许志强. 大连理工大学. 2003
[6]. 特殊叁角剖分上的多元样条及其应用[D]. 李崇君. 大连理工大学. 2004
[7]. 分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究[D]. 朱春钢. 大连理工大学. 2005
[8]. 非协调有限元和射影不变量的若干研究[D]. 周歆辰. 大连理工大学. 2017
[9]. 叁角剖分上的多元有理样条及其应用[D]. 彭兴璇. 大连理工大学. 2006
[10]. 多元弱样条函数空间维数问题的研究[D]. 孟庆九. 大连理工大学. 2005