以开放性问题打造高效数学复习课，本文主要内容关键词为：高效论文,性问题论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 1.数学复习课的必要性 心理学告诉我们，学生学过的知识必须在头脑中保持和再现，以便以后的提取和应用.若学习后不复习，则所学知识将随时间逐渐向原有的观念还原而出现遗忘，记忆就不再保持，最终导致永久性遗忘.复习即通过再学习，把遗忘的东西重新建立起来，把没有掌握牢固的知识补上，防止还原过程的出现.因此，数学复习课是数学教学不可或缺的重要组成部分. 2.新课标理念下数学复习课的目标定位 面向全体，巩固所学知识，建立有效的知识系统，形成良好的认知结构，提高发现、提出、分析、综合运用知识解决问题的能力和科学素养，培养交流合作、应用意识、创新精神和实践能力，发展思维能力和个性品质，激发学习兴趣，树立学习自信心，掌握科学的学习方法，养成良好的学习习惯. 一堂优质高效的数学复习课，既能帮助学生回顾并应用所学知识，又能使学生对数学知识的认知深化与提高，更是对方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展. 3.当前数学复习课存在的主要问题 目前中学数学复习课主要包括3个环节：课前编印复习提纲和练习卷、课堂讲解类型题或练习卷、课后模仿性练习.其中最主要、最严重的问题为课堂讲解的知识点过于简单. 罗列大量例题（大多是以前讲过的类型题），讲解面面俱到，且一讲到底.这是一种以单纯应试为目标，为考试而复习的题型复习法——“题型（零碎的一个个题目）+模仿+强化练习+记忆”，试图“穷尽”题型，把所学知识点、技能点用题型加以覆盖，将解题策略规则化，用大量模仿性练习予以强化，以便凭借“面积大”来提升覆盖所考试题，希望学生因更多的“熟面孔”而提高考试成绩.这种题型复习法，强调机械的记忆与模仿，淡化对解题思路策略的成因分析，知识得不到深化整合，势必造成学生思维活动的“短路”，对熟悉的题型产生本能反应，而对不熟悉的新问题便束手无策，虽然问题解决快捷，能促进“双基”的落实，具有高效的“眼前利益”，但无疑会加重学生的课业负担，势必导致“题目泛滥”、高分低能、学生厌恶数学等不良后果. 类型题的训练，越练越熟，导致思维定势，无法提高学生的数学素养和能力，使数学复习课走入“对号入座、机械模仿”的误区.如何走出这个误区？笔者经多年实践探索认为，“设计开放性问题，引导学生探究”是打造优质高效复习课的重要途径. 二、利用开放性问题打造优质高效复习课的实践 1.实施步骤（如图1）
2.教学案例 案例 初三几何“圆”的复习课——“如何测算圆的半径”. 师：同学们，圆具有许多独特的性质，它是最优美、最匀称的图形，在自然界和生活中随处可见.欣赏一组图片（多媒体演示，略）.若一个圆形的物体不知其半径，能否用所学知识测算出来？课前老师已经分发提纲让大家去探索，这节课我们就来交流一下研究成果，探讨和解决存在的有关问题.现在找一名同学介绍一下自己的测算方法，指出所用知识、工具，测算步骤和适用范围.
：测出圆的周长，利用圆的周长公式，算出圆的半径，适用范围是能量出周长的圆. 师：这种方法很简单，你具体是怎样测量圆的周长的？
：用一条长绳绕圆一周，再用刻度尺量出绳长，或者在圆上取一点做上记号，从这点开始在直线上无滑动的滚动一周，量出运动一周的路程（动手演示）. 师：不错，但若无法测出圆的周长呢？有没有其他办法.
：根据90°的圆周角所对的弦是直径，用一块三角板就可以确定一条直径，再量出其长度，适用范围是能用三角板测出90°的圆周角（板演，如图2）.
师：圆周角一定要90°吗？其他度数行吗？如∠A=α，BC=a，能求出半径吗？大家试一试.之后找同学回答.
：作直径，构造直角三角形，用正弦函数就可求出半径（板演，如图3）.
师：很好，同学们请继续交流讨论.
：根据三角形全等的判定定理，测出圆的一个内接△ABC的两边和夹角、两角和一边或三边，这个三角形就确定，其外接圆就确定. 师：这样如何求出半径？
：已知两角和一边求出第三个角后就转化为前面的问题；已知两边和夹角用勾股定理求出第三边后也可以转化为刚才的问题，但已知三边怎样求出半径，我还没有想好. 师：为简便起见我们令AB=15，BC=14，AC=13，请大家探讨如何求出外接圆半径.
：作直径AE和高AD，连接CE，先用勾股定理算出高AD，再利用相似三角形求出直径（如图4）.
师：还有没有其他不同的办法？
：我的方法更简单，把圆片对折，折痕就是直径，但适用范围较小，因为许多圆形物体都无法进行对折；也可以画一条弦，再作其中垂线，得到一条直径，量出其长度（如图5）.
师：如果这个圆很大，或者只是圆的一部分，无法作出直径，怎么办？
：（板演）作弦AB，取中点M，作MC⊥AB交弧AB于点C，量出AB和MC的长度，用勾股定理或相交弦定理都可求出半径（如图6）.
师：点M一定要取中点吗？若点M不是中点，如MA=6，MB=4，MC=2，能求出半径吗？大家试一试.
：（板演）用相交弦定理、垂径定理、勾股定理可求出半径（如图7）.
师：刚才这些方法都需要作圆的弦或圆周角，若无法作圆的弦和圆周角呢？比如，有的圆柱形物体（如图8），人不能进入内部，一部分又被其他物体遮住，在圆形物体外部能测算它的半径吗？
（学生陷入沉思.） 师：在圆的外部与半径有关的知识是什么？
：在圆的外部与半径有关的知识是圆的切线，只要作圆的2条互相垂直的切线，就可直接量出半径（板演，如图9.）
师：若两条切线不垂直，设∠BAC=α，AB=AC=a，能求出半径吗？先思考再交流（如图10）.
：（板演，略.） 师：（教具演示）有一种叫“曲尺”的工具，两边成直角且有刻度，可直接看出圆的半径.但如果这个圆很大，只能一边AC和圆相切，另一边BC和圆相交（如图11），设BC=a，AC=b，∠C=90°，这样能算出半径吗？大家试着画出图形求解.
师：能把这个问题改变一下吗？
：若这个角不是90°呢？比如60°（如图15），能求出半径吗？
师：很好，为简便起见，令∠C=60°，BC=3，AC=8，请大家想一想，怎样求出半径？
：作BD⊥AC于点D，求出BD和AD，就转化为刚才的情况. 师：还有其他问题吗？
：刚才有画两条切线的、一切线一割线的，若两条都是割线（如图16），怎样求出半径？
师：这个圆确定吗？能求出半径吗？因时间关系，这个问题留给大家课后去思考. 师：（小结）数学来源于生活，又应用于生活，数学不但可以创造美，而且可以解决许多实际问题.测量圆的半径主要是根据圆的对称性、垂径定理、圆周角的性质、切线的性质，构造相似三角形、直角三角形，再利用勾股定理、三角函数等知识进行计算，每种方法都各有优缺点和适用范围，应根据实际情况灵活选用.大家还有没有什么问题和想法？
：对于无法到达的圆形物体，如太阳、月亮等的半径如何测量？ 师：说实话，老师也不太清楚科学家是怎样测算出地球、太阳、月亮的半径的，建议大家共同探索，并借助网络查询相关资料.
：由周长可联想到面积，刚才说可以通过量出圆的周长再用圆的周长公式求出半径，那么能否通过求出圆的面积再用圆的面积公式求出半径呢？ 师：我们已经知道可以通过量出球的体积再用球的体积公式求出半径，但能否通过求出圆的面积再用圆的面积公式求出半径，还是一个新问题，有待你们去探究. 课后作业：总结本节课研究成果，以“测算圆的半径的方法”为题目，写一篇小论文，一周后交上. 3.案例分析 （1）设计理念 本节课围绕一个主题，以生活素材为载体，以问题研究和学生活动为中心，通过创设思维情境启发学生自然地联想到圆的有关知识，独立发现解题的思路；一题多解和一题多变；师生合作交流；鼓励学生提问题；让学生总结和反思.撰写小论文把圆的有关知识融入一个开放性问题的解决过程中，为学生的发展搭建了一个广阔的舞台，学生善于发现并提出问题，能突破思维定势，从不同角度进行大胆探索，使课堂焕发生命活力，体现学生是学习的主人，教师是引导者、合作者、激励者的理念. （2）数学开放性问题在复习课中的独特作用 ①激活认知内驱力，促进学生自主学习. 认知内驱力是学习动机的重要组成部分，它直接指向学习活动本身，是一种了解和理解的需要，即要求掌握知识、系统地阐述问题并解决问题的需要.它派生于探求、操作、领会及应付等心理素质，但在学习活动中受到激活、增强和系统培养.在数学学习中，认知内驱力是最重要的内部动机，且随学生年龄增大而表现得越发明显.初中生常把自己当做是或希望自己是一个探究者和发现者，有较强的好奇心，而好奇心是对不确定性或模棱两可情况的一种反映，具有适度不确定性的开放性问题是激起学生探究欲望最好的素材，它能满足学生成为探究者、发现者的愿望. ②提高认知水平，培养探究习惯和思维品质. 认知心理学告诉我们，有意义学习的深入，依赖于学生对认知对象理解的加深、认知程度的提高，而学生学习的重要目的之一乃是本身理解能力与认知水平的提高.恰当的开放性问题是实现这一目标的有效途径. 对一个开放性问题，学生会积极发表自己的独特见解，从而表现出不同的认知水平.在教师的启发引导下，经过辩论、探讨，学生从模糊到清晰，明显提高了对问题理解的深度及认知水平. ③体验探究数学问题的思想方法，促进良好认知结构的形成. 认知心理学的核心论点是：学习是对认知结构的组织和再组织.学生有效学习的最终结果必然是在自己的头脑里构建富有成效的认知结构，这个结构具有稳定性、清晰性和可利用性.研究表明，大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能促进这3种特征的形成，而具有功能性较强的思想方法、具有发现意义的思维活动过程和富有条理性的认知策略的开放性问题则对这3种特征的形成具有积极的意义. 对“如何测算圆的半径”这个问题，学生需要经过观察、比较、发现、操作、联想等探究性活动，符合学生的认识规律，有利于学生体会数学知识之间的有机联系，形成良好的认知结构，从而体验研究数学问题的思想和方法. ④利于因材施教，使每位学生都能得到发展. 每一种教育理论对教学活动都提出了“量力性原则”——根据学生现有水平从事教学，即根据每位学生的现有基础水平提出教学要求，在每位学生思维的“现有发展区”进行教学.可是，学生的个体差异是客观存在的，每位学生都有其独特的个性和特长，一个教学班的学生的基础水平往往参差不齐，甚至相差甚远.因此，对一个正常班级而言，要实施“量力性原则”，其难度是很大的.但是，数学开放性问题却可以显示出意想不到的教学功能.由于条件、结论、解法开放，没有硬性规定和统一要求，学生大可根据自己的实际情况、放开手脚进行作答，给各类学生提供获得成功的机会. 对“如何测算圆的半径”这个问题，学困生可想出三四种方法，中等生可想出六七种方法，优等生甚至可以想出10多种方法.在教学时，可先让学困生展示，再由中等生补充，最后让优等生完善.这样，全体学生各尽所能，都能得到应有的发展. ⑤提供更多交流与合作的机会，提高课堂教学活动效率. 教学过程是师生之间、生生之间相互合作和多边交流活动的过程，可以说，合作学习是教学过程本身的客观要求，它对学生良好性格的形成、集体观念的建立、合作意识的培养等都有重要的意义.数学开放性问题往往需要学生共同合作、相互交流才能获得圆满解决. 对“如何测算圆的半径”这个问题，没有限定所用知识、测算方法及使用工具，各小组必须共同出谋献策、设计方案.在解决问题的过程中，师与生、生与生共同探究，相互启发和鼓舞，教学活动效率很高. ⑥有利于培养学生的创新思维能力，提高创新素质. 创新型人才的培养在数学教学中表现为培养学生对数学科学知识、方法的重新发现，对这种能力的培养要借助于学生在学习数学中的归纳、类比、联想、猜想、构造等能力的提高.由于开放性问题的题设和结论部分仅指出一个探索方向，需要在解题时更多地独立思考和探索，无疑对培养学生良好的创新思维品质大有裨益. “如何测算圆的半径”引出的一个个问题，对学生具有强烈刺激，启发学生进行多种思考、诱导其创新意识的因素，能使学生产生解题的紧迫感，具有连续进行探讨的特点，为学生的发展提供了广阔的思维空间，通过解题的过程及结果可发现问题的一般性规律. ⑦利于课堂开展研究性学习，培养学生探究能力，增强学生数学应用意识. 在数学课堂中开展研究性学习是一个难点.“如何测算圆的半径”是一道开放性较强的问题，情境自然真实，学生解决这个问题的过程是一个研究的过程，不但需要联想到与圆有关的知识（圆的周长公式、直径的性质与判定、垂径定理及其推论、切线的性质与判定、三角函数、勾股定理等），还需要动手操作、构造图形、进行数学实验的活动过程，不仅需要传统意义上的数学推理能力，而且更需要有分析和解决问题策略层面的素养，有利于对学生进行过程性评价. ⑧为学生创设问题情境，诱导学生提出新问题. “发明千千万，起点是一问.”数学的发展过程是一个不断提出问题、解决问题的过程，从培养学生创新能力的角度看，提出问题比解决问题更重要.目前的中学数学课堂教学绝大多数教师重视向学生提问，普遍忽视启发学生自己去发现问题、提出问题，导致学生缺乏提问题的意识和能力.而条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的数学开放性问题则具有很强的疑问性，能诱导学生猜测各种不同的条件、结论、思路，促使学生提出各种不同的问题. ⑨有效促进智力因素与非智力因素的协同发展. 数学开放性问题的内容、形式具有新颖性和探究性，能激发学生的兴趣，且在解决问题的过程中需要有一定的意志和毅力，从而有利于培养学生良好的个性品质，促进智力因素和非智力因素的协同发展. ⑩消除学生模仿解题的习惯，克服被动学习的弊端，改进学习方法. （3）问题探讨 一个适于复习课的好的开放性问题有何特点？应怎样设计？ “如何测算圆的半径”是一个适于复习课的好的开放性问题，它具有：“多”（解决方法多、涉及知识多——几乎覆盖圆的所有知识）、“广”（适应所有层次的学生）、“变”（可引申出许多问题）等特点.它犹如一棵树的树干，分出的树枝就像数学知识、技能、思想和方法，在师生的辛勤劳作下，一个个美丽的果实挂满枝头，长成一棵可爱的“数学树”（如下页图17）. 到底应该怎样设计这样的问题？首先，要善于发现、挖掘一些题目的教学功能.如，有一道中考填空题：如图18，∠1=∠2，为使△ABC≌△ABD，必须补充一个条件，试补上这个条件.我们发现这是一道功能强大、适宜复习课使用的开放性问题.这个条件可以是：角、边、中线、角平分线或高对应相等，可以是周长、面积、外接圆或内切圆半径相等，也可以是相似，对称等；其次，要充分发挥教研组集体的力量，合作交流，博采众长，相信一定会发现、创造出许多精彩的适宜复习课的开放性问题.
（4）注意事项 在进行数学开放性问题教学时，教师应精心创设思维情境，启导学生独立探究，即使学生一时难以发现也不“和盘托出”，而是要深入了解学生的思维动态，从困难所在处进行诱导，只有这样才能充分发挥数学开放性问题的教育功能，从而真正达到全面提高学生数学素养的目的.
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