几何画板中的数形结合，本文主要内容关键词为：画板论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
用“几何画板”构思物理课件有鲜明的数学特征，要实现数形结合，就要把物理量间的关系转化为一种图形或图像关系，所以要把一个物理情境制作成课件，首先要提炼出该情境中的几何背景或数学关系。这样情境中的物理量可转化为图形或图像中的点、线、面积、角度、周长等可视化的元素。物理量的变化就对应于这些元素的变化。实现了转抽象思维为形象思维、转静止状态为变化的过程。物理问题难于理解很大程度上是学生难于想像，而数形结合的实现可以大大降低学生理解物理问题的思维台阶。
同一物理问题可以提炼出不同的数学模型，而不同的物理问题也可以对应同一种几何关系，所以可以有不同的方法实现数形结合；另一方面，物理量间的关系不是纯数学化的数量关系，而是有其特定的物理意义，这就要求在提炼物理问题的数学模型的过程中体现出准确的物理意义，以免误导学生对问题的理解。
一、提炼出物理问题中的几何背景或函数关系
例如“光的折射”可以用“单位圆”的方法提炼出它的几何背景。如图1所示，构思方法：
1.作两个同心圆（圆1、圆2），圆心为O， 半径分别表示两种介质的折射率，n[,1]＝OA＝r[,1]、n[,2]＝OB＝r[,2]。
2.连接圆1上的A点与圆心O，作为入射光线，AO 与法线的角度为入射角（最好将入射角设置在第二象限的90°范围内变化），AO的延长线交圆1于E。
3.过E作法线的平行线交圆2于B，连接OB即为折射光线。
证明方法：
在△AOC中，sini＝AC／AO
在△BOD中，sinr＝BD／BO
那么sini／sinr＝AC／AO＊BO／BD
由图中的几何关系可知：AC＝BD
∴sini／sinr＝BO／AO＝r[,2]／r[,1]＝n[,2]／n[,1]
另一种方法是：依据折射定律n＝siri／sinr知，入射角i作为自变量，折射角r作为因变量，那么sinr＝sini／n。
制作方法如图2所示：
1.用两条线段表示两种介质的折射率n[,1]、n[,2]。
2.设入射光线为AO，入射角为i
3.计算sini、sini／（n[,2]／n[,1]）、arcsin[sini／（n[,2]／n[,1]）]。
4.标识折射角r＝arcsin[sini／（n[,2]／n[,1]）]。
5.将法线上的点C绕O点旋转被表示的角r得到一点B。
6.连接OB即为折射光线。
这种方法中折射角r是n[,1]、n[,2]、入射角i按折射定律的规律计算得出的，当n[,1]、n[,2]、入射角i中任何一个发生变化时， 折射角，均会发生相应的变化，当然也始终保持折射定律对折射角r 的物理约束。
在如何利用“几何画板”制作物理课件系列讲座之二——物理问题的几何构造（《山东教育》2001年11月）的内容中曾介绍了“并联电阻算图”的几何构造方法，这一几何背景适合于所有满足1／X＝1／Y＋1／Z这一倒数关系的其他物理问题，像两个电容的串联、两个弹簧的串联等，这就是不同的物理问题可以对应同一种几何关系的例子。
二、利用“轨迹”功能
“轨迹”在“作图”菜单中，它可以在下面两种情况下发挥你的想像力。
1.描述物体的实际运动轨迹：轨迹实际上是符合一定条件的点的集合。
在物体的运动问题中就是物体的位置坐标，很多复杂的运动学生不易理解就是因为不能直观地想像出其运动的轨迹，比如“小船渡河”问题，实际上是两个任意方向上的匀变速直线运动的合运动的轨迹构造问题。制作方法如下：
（1）用坐标系中α[,1]、α[,2]、v[,1]、v[,2] 的坐标值表示加速度、速度，这样可以体现出大小及方向。
（2）运用Y＝v[,船]＊t＋1／2＊α[,船]＊t[2]、X＝v[,水]＊t＋1／2＊α[,水]＊t[2]计算出小船的位置坐标。
（3）利用“图表”菜单下的“绘出X、Y”选项， 在坐标系中作出对应位置点（轨迹描绘点）。
（4）利用“作图”菜单下的“轨迹”选项， 可以得到小船的运动轨迹，图3、图4表示的是其中的两种情况。
2.描绘函数图像
函数图像是函数关系的直观反映，也是实现数形结合的一种方法。对简单的函数其图像也比较简单，比如“光的折射定律”，以sini为自变量、sinr为因变量时，两者的关系是一条直线，如图5所示；如果以i自变量、r为因变量时，其函数图像并不是人人都能一下子看出来。 下面用“轨迹”功能来构造这一函数图像：
（1）测量图2情境中的入射角i、折射角r。
（2）以入射角i为自变量、折射角r为因变最， 利用“图表”菜单下的“绘出X、Y”选项，在坐标系中作出对应位胃点（图中的描绘点）。
（3）利用“作图”菜单下的“轨迹”选项，可以得到图像，如图6所示。
上述两种方法中都首先要构造出一个驱动点（在图3、图4中驱动点是“t”、在图5、图6中的图像是利用图2中的“A ”作为驱动点构造得到的），用驱动点去控制描绘轨迹的运动点（在图3、图4中是“轨迹描绘点”，在图5、图6中是“描绘点”），只有在满足了这样的条件时，“轨迹”功能才能使用，而且一个问题中只能有一个驱动点。
在有些情况下不易构造出驱动点和被驱动点，这时候还有一种方法可以使用，那就是“显示”菜单下的“取踪”选项。
例如，两个简谐运动的合运动是比较复杂的，也就是“李萨如图形”的描绘，这里有两个驱动点“简谐运动1”、“简谐运动2”，为了得到“李萨如图形”，利用“显示”菜单下的“跟踪”选项跟踪图7 中的“李萨如图描绘点”，图中就是跟踪后的实际效果。
三、可视化处理
有的物理量的物理意义比较抽象，比如加速度；有的物理过程涉及到的物理量比较多，比如简谐运动。这时候用可视化的方法来表示，能使抽象的意义被直观地感受到，复杂的过程被条理化，这时课件所传达的物理信息源于真实、又高于真实，制作的过程是对物理情境纯化的过程，由于几何画板软件特有的功能，使得这种虚拟的真实为学习提供了另一个世界。
这里以水平方向的弹簧振子为例说明。水平方向的弹簧振于是简谐运动，其位移、速度、回复力、加速度等均随时间发生变化，规律比较复杂，也是学生理解上的困难之处。这些物理量在图8 中的界面中均以线段清楚、直观地表达出来，而且可以根据需要有选择地显示、隐藏。
