历史上的数学学派——理论初析，本文主要内容关键词为：学派论文,理论论文,数学论文,历史上论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图法分类号 011
一般认为，数学家比其他科学家更倾向于单独工作，但数学的发展仍然表现出某种集体贡献性，体现在两方面：一方面，从纵向来看，每一个数学理论的发展和完善都是在前人工作的基础上实现的，是后来的数学家对前人的思想、方法进行研究、发展的结果，这要经过若干代数学家集体劳动来实现；另一方面，从横向来看，数学的发展是数学家个人与数学家群体相互作用的过程，数学家形式上的独立工作并不代表思想上缺乏沟通。数学家们也许很少象实验科学家们那样，在同一实验室中组成一个真正的有形集体，但他们可以同时在相同的领域内围绕同一主题进行工作，以各种方式互相交流，从而形成一个研究群体，数学学派正是最重要的一类数学家群体。
对一般科学学派的研究兴起于近二三十年，与社会史和社会学的兴起密切相联。国外学者，包括科学史、科学学、科学哲学、社会学等领域的学者从各自的角度对这一主题进行了比较广泛而深入的研究。一般认为，对以实验室为基础的“研究学派”的研究始自J.B.Morrell 1972年发表的"The Chemist Breeders:TheResearchSchools of Liebig and Thomas Thomson"[1]，其后出现了更为广泛意义下的关于研究学派的研究[2]。对于数学学派的研究则是伴随着对数学文化、数学与社会等数学社会史的研究以及对“研究学派”的研究而兴起，是数学史研究由过去只注重数学家个人的成就、思想向科学的社会建制和群体效应转变的一种体现，到80年代越来越引起国际数学史界的重视，出现一些对于数学学派的案例研究，如哥廷根学派、莫斯科学派、波兰学派、布尔巴基学派等，丰富了数学史研究的内容。1992年5月，在德国Oberwolfach还举行过关于数学学派的专题研讨会。但总的来说，对数学学派的研究尚缺乏系统的理论概括，对学派案例的分析也需进一步拓宽和深化。本文在作者们对一系列数学学派的案例研究基础上（注：除已正式发表者外，尚有关于普林斯顿学派、法国函数论学派、意大利学派、剑桥分析学派（后期）、牛顿学派等将陆续另文发表。），试图对数学学派的起源、定义、分类、其形成与衰落的条件、数学学派的特征、功能以及对数学发展的影响等问题提供简要的理论概括。
1 数学学派的起源、定义与类型
1.1 数学学派的起源
“学派”的英文是school，源于希腊文 σχολ′η[skhole]。σχολ′η最初的意义是空闲时间和空闲时间的利用，包括学习以及其他探求知识的活动。在古希腊，σχολ′η这个词又引申出两个意义：一个是孩子们接受教育的地方，这就是学校；另一个是哲学家授业解惑的场所，后来特别用来指学派。
学派的词义发展实质上反映了它的起源。在古代，当社会生产力发展到一定阶段，人类逐渐获得了除埋头直接的物质生产之外的所谓“空闲时间”，使得一部分人能够“利用空闲时间”专门从事探求知识的活动。而在某些地区，这种活动在早期便呈现出某种群体特征，即由一二个学者带一批学生形成一个研究和传播知识的群体，这就是学派的雏形。
这种现象在古希腊表现得比较典型，历史上最早的学派就是出现在古希腊的埃奥尼亚(Ionia)地区，即以泰勒斯（Thales，约公元前625—前547）为首的米利都(Miletus)学派。泰勒斯早年作为商人曾游历巴比伦、埃及等地，学习到那里的数学和天文学知识，以后从事政治和工程活动，并研究数学和天文学，晚年转向哲学。他在埃奥尼亚地区繁盛的著名城邦米利都建立了一个学术中心，传播他的数学知识和哲学思想，吸引了很多追随者，逐渐形成学派。自然科学发展的初期，还没有从哲学中分离出来，因此泰勒斯创立的学派既是哲学学派也是第一个数学学派。他的哲学思想是主张从自然现象中寻找真理，探索自然和宇宙的奥秘，否认神是世界的创造者。泰勒斯重要的数学贡献是试图对巴比伦与埃及的经验几何知识体系作逻辑的处理，最早引入了命题证明的思想，这种研究方式主宰了后来的希腊教学，他的思想对希腊科学和哲学的繁荣起到积极的推动作用。公元前540年以后，随着埃奥尼亚地区被波斯帝国侵占，米利都学派逐渐衰落，但其思想却由学派中的学者传播到希腊各地。后来涌现出来的毕达哥拉斯学派、埃利亚学派、智人学派等重要希腊学派都与米利都学派有着直接或间接的渊源关系。这些学派又影响、派生出其他更重要的希腊学派，如柏拉图学派，极大地推动了希腊数学的发展，其思想影响绵延千年之久。
古代中国是产生早期学派的另一个摇篮地区。在汉语中，与σχολ′η相应的字是“家”，春秋战国时期的“诸子百家”事实上就是以一两个大师（“子”）为核心，传播不同思想的学派（“家”），一些师承关系绵延数代。其中最早的，也是最主要的学派是孔子的儒家学派，发展到战国时期已分有八派，孔子的思想在中国历史上影响深远。墨子曾“学儒者之业，受孔子之术”，后来他的思想发生改变，独创墨家，提倡兼爱、节俭，这一学派后来又分出一些派别。这些学派在思想上互有继承发扬，又有争论，形成春秋战国时期“百家争鸣”的繁荣景象，可与古希腊媲美。但是与古希腊相比，中国古代的学派在数学史上的意义不是很大，所谓的“诸子百家”主要关心哲学、政治、伦理问题，很少涉及自然科学。其中墨家和道家情况略有不同，墨家的著作《墨经》中包含了数学、物理学、逻辑学等丰富内容，其中有关于几何学理论的精辟论述，给出若干概念的确切定义。此外，墨子以后的墨家学者发展起一套辩论的方法与原则，形成初具体系的逻辑学体系。道家著作《庄子》一书中的一些论述包含着与古希腊的某些思想极为类似的极限思想，但墨、道二家的思想未能延续，对抽象数学发展的影响远不如希腊学派。古希腊与中国的学派为何有这样的差异，这是数学史以及数学文化史研究的一个重要课题，值得进一步探讨。
综上所述，对数学发展产生重要影响的数学学派起源于古希腊，是生产力发展到一定阶段，政治、经济、文化、数学家等诸因素相互作用的结果。
1.2 数学学派的定义与类型
从古希腊时代起，学派经历了漫长的发展过程，特别是到了近现代，随着民族国家的形成与界定，经济和文化方面的国际交流的扩展以及教育、出版等交流网络的扩大，已经不能再从以前那种简单的意义上去理解学派的概念了（即一两个大师带一批学生，或称为师生共同体）[3]。
那么究竟什么是学派？《牛津大辞典》中的定义是：
学派(school)：“指受教于同一专门大师（在哲学、科学、艺术等方面）的学者群体。因此在广义上是指在某个理论的或实践的知识领域内具有相同师承关系，或因原理和方法上的普遍相似而联系在一起的学者群体。”[4]
学派的一般定义实际上把学派分成了两大类：一类是有中心人物的，也就是所谓“共同大师”，我们把这类学派简称为M－型（大师中心型）；另一类是以共同的科学原理与方法，也就是共同的科学思想为纽带将学者联系起来的，简称为I－型（思想中心型）。
我们看到，这两种学派类型并非截然对立，从某种意义上可以认为，M－型学派也应该是I－型的，因为领导一个学派的大师主要依靠其成熟的科学理论与方法来吸引和指导学生，如果没有独到的科学思想，一个老师带一批学生最多只能算一个教学或学习小组，不能称其为学派，在科学上的意义不是很大。反之，以共同的原理与方法联系在一起的成熟学者组成的学派可以没有共同的大师。因此，为了概念上的清晰确切，我们给数学学派下一个更为简明的定义：
数学学派是指对数学的本质、原理与方法有共同的群体约定的数学家的集合。
在这个定义中，我们特别强调作为学派核心的“共同的群体约定”，即把不同的数学家个体联系起来的某种共同的数学思想，包括对数学的本质、数学基础、数学原理、数学方法等方面的共同或相似的见解，因为正如华罗庚(1910-1985年)所言：“新的数学方法与观念常常比解决数学问题本身更重要。因为它们有更普遍的作用与意义，并能将数学引向深入发展。”[5]在这种前提下，仍然可以将数学学派分为两大类型：一类是有中心领导人的（仍称之为M－型），如大部分古希腊学派都属于这种类型。此外，牛顿(I.Newton,1643--1727)学派，显然以牛顿为领袖，哥廷根学派，主要是围绕着克莱因(C.F.Klein,1849-1925)，特别是希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)建立起来的。另一类是没有中心领导人（至少没有明显的中心领导人），而主要依靠共同的数学思想或数学目标联系起来的（仍称为I－型）。属这类学派的如剑桥数学物理学派，这个学派以格林(G.Green,1793-1841)、斯托克斯(G.G.Stokes,1819-1903)、汤姆森(W.Thompson,1824-1907)和麦克斯韦(J.C.Maxwell,1831-1879)为代表，但他们之间没有直接的师承关系，也就是说没有一个“共同大师”。但是他们在数学思想上显然是一脉相承的，都致力于新分析在电磁理论及其他物理领域中的应用的研究，概括与发展求解重大物理问题的普遍数学方法，他们所利用的有力工具是偏微分方程与位势理论[6]。布尔巴基(N.Bourbaki)学派基本上也属于I－型的学派，这个学派成员依靠用新的形式化的观点来整理、统一现代数学的想法而联系起来，他们的思想后来逐渐发展为成熟的数学结构的观念。此外，意大利代数几何学派、法国函数论学派及波兰学派大都属于I-型。
以上是从学派内部成员的联系动力和形式方面，即学派的内部结构来考察学派，还可以根据其他原则对数学学派进行分类，如按照群体约定的对象又可以分为综合性数学学派和专门性数学学派，莫斯科学派和普林斯顿学派属于综合性数学学派，专门性数学学派有代数学派、分析学派、数论学派、函数论学派、拓扑学派、代数几何学派等。
每个学派都存在于特定时期中的某个国家和地区，这又使得学派带有明显的民族和地域性，从这个角度又可以将学派在一定历史时期范围内按地域分类，如希腊学派、法国学派、莫斯科学派、波兰学派、意大利学派等。
学派还可以从不同层次上来考察。高层次的学派一般对数学思想发展影响重大，有时可分为一些较小的子学派，这方面的例子以莫斯科学派比较典型。这个规模庞大的综合性数学学派是在以鲁金(H.H.ЛУэнн,1883-1950)为首的实函数论学派的基础上发展起来的，它又发展划分成诸多子学派，如拓扑学派、泛函分析学派、概率论学派等[7]。本世纪上半叶形成的美国普林斯顿数学学派也是综合性学派，包括代数拓扑、数学物理等子学派。希尔伯特领导的哥廷根学派后来又分出以诺特(E.Noether,1882-1935)为领导的抽象代数学派等。由于学派的层次不同，它们在数学发展中所起的作用也不同，数学史主要着重研究那些影响深远的高层次学派。西方数学史中的重要学派有：古希腊学派，牛顿学派，巴黎学派，剑桥分析学派（含前、后期），柏林学派，意大利学派，哥廷根学派，波兰学派，法国函数论学派，莫斯科学派，布尔巴基学派，现代美国数学学派（如芝加哥学派、哈佛学派、普林斯顿学派）。
以上我们提到的仅仅是某些已获公认或有代表性的重要学派。在数学发展的进程中，各个阶段都涌现出几个可称为学派的研究群体，如19世纪法国的蒙日(G.Monge,1746-1818)学派，西尔威斯特(J.J.Sylvester,1814-1897)于19世纪70年代在美国约翰斯·霍普金斯(Johns Hopkins)大学建立的美国第一个数学研究学派[8]，19世纪下叶出现的以凯莱(A.Cayley,1821-1895)为代表的英国不变量学派和以哥尔丹(P.A.Gordan,1837-1912)为代表的德国不变量学派，20世纪中期，济格蒙德(A.Zygmund,1900-1992)在美国芝加哥大学建立起来的经典傅里叶分析学派等。中国清代出现了以从事古籍整理和考据为主的乾嘉学派，又称汉学、朴学或考据学派，这一学派对天文、历法、数学等学科古籍进行了细致的校勘，对古籍和史料的整理有较大贡献。当然这些学派在规模与影响上与那些已获公认的或有代表性的重要学派相比要小得多。
2 数学学派的形成
对于数学学派的形成，我们将从两方面考察。一是学派的群体约定，即共同的数学思想的形成与强化；二是考察学派形成的外部环境与条件。
形成数学学派，最本质的就是群体约定，也就是共同的数学思想的形成。这种形成过程一般分为两个阶段，第一阶段是约定的提出，主要依靠少数领头学者或先驱人物来进行，是学派形成的突破性阶段，大抵又可分为三种情形：通过革新，移植以及变异、分化。
第一种情形是某些数学家在学习、研究某一专题时，思想发生突破和飞跃，创造出新的数学观念和方法，这样的数学思想和方法往往是划时代的，对数学发展有重大影响。例如牛顿学派的形成就是如此，牛顿于1665-1667年间在家乡躲避瘟疫时作出他一生中重要的三大发现——制定微积分、发现万有引力、提出光学颜色理论，其中微积分的制定是数学发展史上的一项重大成就。牛顿是在前人工作的基础上作出其发现的，但是到他这里却发生了飞跃。牛顿的后继者在其思想方法的指引下继续工作，牛顿学派的形成是一种知识创新的结果。
第二种情形是指一些数学家在学习、对比其他学派或国家的数学思想和数学成果时，观念得到更新，工作取得重大进展，形成若干自己的观点和方法，从而形成自己的学派。莫斯科学派的形成就是如此，这个学派的主要创始人鲁金在莫斯科大学毕业后，1910-1914年间到哥廷根和巴黎进修实函数论，1911-1913年间发表10篇研究函数论中重要问题的论文。1915年完成著名的博士论文《积分与三角级数》，在这一领域中作出了创造性的贡献。他首先发现了全体可测函数的基本性质，即所谓的鲁金－C性质，这个著名的连续性质成为研究可测函数的有力工具。凭借C性质，鲁金解决了实变函数论积分学的基本问题，并进而发展了可测函数的三角级数论，这些成为现代函数论的基础。鲁金的成果和教学活动吸引了一批优秀青年，他们沿着鲁金的思想路线，对现代实函数论的发展作出了奠基性贡献[7]。因此，鲁金等人是在当时数学的前沿领域实函数论方兴未艾之时将之引入俄国，边学习边提高，做出了一流的工作，并形成了高水平的学派，又以此为出发点，跻身其他领域，在拓扑、泛函、概率论、数论等学科中踏入世界先进行列，使莫斯科大学发展成为综合性的现代数学学派。无独有偶，中国数论学派创始人与领导人华罗庚1936年去当时世界解析数论研究中心剑桥大学进修，学习到分析和解析数论前沿的知识，写成十多篇文章，得到关于完整三角和估计、华林问题与塔内(G.Tarry)问题的一些重要结果，比他在清华时的工作产生了飞跃。华罗庚还将研究领域扩展到自守函数、矩阵几何、体论、群论、多复变函数论以及应用数学分支。新中国成立后，在中国科学院数学研究所，他的周围形成了一个以数论、多复变函数和代数为代表的多学科的活跃的研究集体[5]。
第三种情形是通过变异和分化，这是学派内部运动的结果。学派成员之间有时会存在观点的不同而产生争鸣，在一定条件下，这种争鸣会产生突破学派原来群体约定的新的理论或学说，甚至分出新的学派。这种异化过程实际上是对原来学派传统的否定，但却推动了整个数学思想的发展。古希腊亚里士多德的逍遥学派就是从柏拉图学派中分化出来的。而19世纪初的剑桥数学物理学派是对牛顿学派传统的异化，结果带来了英国数学的复兴。20世纪剑桥分析学派是对19世纪英国纯粹数学中的代数分析和几何倾向的异化，他们引入和利用新的分析方法，将20世纪的英国数学发展引向新的方向。
学派形成的第二个阶段是约定的培养与强化，并使之成为传统，这是学派成熟与稳定发展的阶段。这个阶段主要通过以下几方面实现：第一，传播和强化学派的数学思想和方法，这主要通过教学和讨论班等途径来完成，许多情况下，教育中心成为数学学派形成的起点，尤其是早期一些学派的形成过程中，教学是重要因素之一，在学派领导人或代表人物的领导下定期开设讨论班，导师指导学生完成学位论文等等。在这种情况下，学派成员直接发生精神和思想上的联系，有利于激发创造性。即使学派成员后来离开原先的群体，他们所保有的学派思想和精神传统也可以继续传布下去，莫斯科学派鲁金开设的函数论讨论班，剑桥分析学派的哈代－利特尔伍德讨论班，哥廷根学派的希尔伯特讨论班都是学派活动的重要方式和场所。几乎所有以大学和研究所为载体形成的学派都有这样的讨论班。与此同时，学派可以通过学术杂志和学术机关刊物等来强化和传布学派思想。第二，建立一种民主、和谐而又活跃的研究氛围和合作精神，师生及学派成员之间的学术讨论或亲密的个人关系有助于这种氛围的形成，这种气氛也有助于一些萌芽思想的发展和成熟及非课本知识的研究技巧和研究品格的传授。第三，某些学派的形成和发展依赖于具体的机构载体，大学及研究院、所更容易集结一群志同道合的数学家形成学派，并提供方便的活动场所。普林斯顿学派就是以普林斯顿大学和高等研究院为依托形成的，莫斯科学派后来的扩展得益于莫斯科大学和国家科学院数学研究所的共同发展。第四，保持一个相对稳定的研究队伍，不断补充新的力量。学派成员主要由成熟数学家及其学生组成，由于种种原因，会有一些人离开，这就需要有多个畅通的渠道来补充人员。布尔巴基学派有成员年龄超过50岁就自动退出的传统，年轻的新人不断补充进来，使得学派继续向前发展。
以上是学派形成过程中智力方面因素的考察，下面我们从社会方面的因素来进行分析。
数学学派的发展需要适宜的社会环境。一般而言，一个重要的数学学派的形成是与所在国家或地区经济的繁荣、政治的稳定、思想的自由、科学文化的普遍高涨以及国家实行重视鼓励学术的政策分不开的，而这些条件往往是社会变革的结果。古希腊学派林立的局面发生在希腊奴隶制上升与城邦政权的民主化时期；牛顿学派是伴随着英国资产阶级革命而诞生的；哥廷根学派的形成过程恰好与德国的统一与发展过程相一致；意大利学派在意大利国家重新统一之后复兴并获得极大发展。波兰学派虽然不是形成于经济上升时期，却是发生在社会变革之后，在这样的历史时期，政治的独立和经济的发展更容易带来发展民族科学的高涨情绪，学派更容易获得其发展所必须的人员来源和经费支持。
此外，对于M-型的学派来说，领头数学家是形成学派的必要条件。这样的数学家除了本身有第一流的学术成就并对数学各个领域有广博的了解外，还应有高度的组织才能和影响力，一个有着丰富个人魅力，愿意传播自己的思想、方法、技巧的数学大师更易鼓舞和吸引一批有志数学的年轻人走上研究之路。有的大数学家虽然个人成就卓著，但他们主要独自工作，没有形成自己的学派而影响更多的数学家。
数学学派的形成有自然形成和有目的建立两种情况。前者是学派形成的各方面条件均已成熟，自然而然地就在一位大师周围或一些领头数学家的带领下形成学派，如哥廷根学派、法国函数论学派、后期剑桥分析学派、莫斯科学派等即是如此；后者则是一些有代表性的数学家在一定的既定纲领的指引下，有意识、有计划地组织建立起来的学派，如上述的波兰学派是这种情形的典型代表。第一次世界大战后，为振兴波兰数学，使波兰数学在世界上取得独立地位，一批有共同兴趣的数学家自觉地组织起来，以亚尼谢夫斯基(Z.Janiszewski,1888-1920)为代表提出了发展波兰数学学派的计划和指导思想及方针。此后，波兰数学学派在既定的正确方针的指导下迅速地成长，国内出现了华沙、利沃夫等研究中心，在两次世界大战间的20年中，波兰数学学派在研究、出版和组织方面都取得了巨大成功，使波兰数学在集合论、泛函分析等领域跃居世界前列[9]。普林斯顿学派则是由范因(H.B.Fine,1858-1928)和韦布伦(O.Veblen,1880-1960)有计划、有目的缔造的。19世纪剑桥分析学派是巴贝奇(C.Babbage,1792-1871)等人为引进新分析自觉建立起来的，学派的最初依托是“分析学会”。有些情况下，数学家还将有意识地建立学派视为一项个人成就和工作目标。
3 数学学派的特征、功能及对数学发展的影响
3.1 数学学派的特征
数学学派不同于单个的数学家，也不同于一般的研究团体，作为数学研究的一种有效形式，它有自身的特性。
第一，数学学派具有群体性特征。因为数学学派是一种具有共同的群体约定的数学家集合，这就决定了它必然要有一定的人数，一定的规模。它的活动也体现了一定的群体性，如举行讨论班、会议等，唯有如此，才有别于单个数学家的活动。同时，数学学派也有别于一般的数学团体，其群体成员间的整合程度比一般的数学团体弱，主要为一种统计学上的群体。
第二，数学学派具有内聚性特征。学派成员往往聚集在某一位数学大师周围或由共同的数学思想联系起来，这表明学派内部存在一种吸引力和保守力，使得学派成员团结在一起，为共同的事业或目标而奋斗。
第三，数学学派具有思想方法的传统继承性。每个学派都具有群体约定的思想、方法以及研究主题，这些方面会逐渐形成一定的传统，表现出一脉相承的特征，这也是数学思想思想、方法的连续性的一种方式。
第四，数学学派具有动态性。数学学派在数学发展的某些特定时期出现在某个国家或地区，在一定时期内会保持相对稳定地发展，但它并不象一所大学或研究所那样持久地存在，在时间和空间上，它都不是一成不变的。学派的成员有去留的自由，成员队伍会发生变化，学派自身也会由于内部或外在的因素逐渐解体。
此外，不同国家和地区、不同民族的学派事实上还存在风格上的差异，这主要由学派的思想体系、研究方法、研究主题、认识事物的角度和工作作风、组织形式等因素所决定。这种风格逐渐形成传统后则化为一种学派精神，实际上数学学派的风格与数学研究中的民族风格是相辅相成的。
3.2 数学学派的功能与对数学发展的影响
数学学派的群体性决定了一种群体的优势，这种优势绝非单个数学家所能比拟。而这种优势并不是人多势众，不是各位成员能力的简单的代数加和，而是由学派内部不同成员之间、学派与外界社会，特别是其他学派或同行之间的相互作用带来的，这就是科学共同体内部或之间的所谓“互动”，学派的群体优势由此而得到积累。下面我们从四个方面来分析数学学派的这种互动功能。
(1)自由讨论。学派是一种不定型的群体结构，这种结构往往比正式的学术组织更有利于内部的自由讨论。许多著名的数学学派也以其独特的自由讨论形式而闻名，例如哥廷根学派的“数学散步”，布尔巴基学派的集会，波兰学派的咖啡馆讨论等。这些学派自由讨论的方式是学派所具有的良性学术气氛的一种标志，在这种充分而自由的讨论中，科学信息得到迅速传播，成员之间的思想相互交流、碰撞、激发，是学派创造性思想的温床。同时，每个成员都获得了丰富自己知识的机会，激发他们对各种数学问题的兴趣，互相学习，共同提高，形成一种富于集体感和友谊感的工作气氛。
(2)互补合作。也就是学派成员之间智能与知识结构的相互补充。组成一个数学学派的数学家具有不同的科学兴趣与素质，即学派内部存在着个体差异，这种个体差异在建立共同的学说或理论的前提下，通过取长补短，产生高度的合作效益，成为学派前进的杠杆。哥廷根学派的两位主要领头数学家克莱因和希尔伯特在科学素质和风格上就是互补的。克莱因是一位善于纵观全局，一统伟业的数学家，他的工作促成了哥廷根的学术繁荣。但他身上亦存在某些弱点，如在学术上他综合能力很强而分析能力则不足。风格上，他过于威严，妨碍了年轻人无拘无束地同他接近等等。因此，他将哥廷根建成欧洲数学中心的理想很大程度上得益于希尔伯特的工作才获得成功[10]。希尔伯特在领导建设哥廷根学派的过程中，也树立了招贤纳士、科学合作的典范。剑桥分析学派两位领导人哈代和利特尔伍德有共同的研究兴趣，但工作和处世的风格却有很大不同。利特尔伍德长于提出问题的主旨和框架，而哈代善于总体性的构想和组织完善。哈代在科学组织、管理方面做了很多有益的工作，通过他的研究和声望促进了剑桥与国际数学界的交流，而利特尔伍德对此不感兴趣。哈代反对应用数学，是一个极端的纯粹数学的倡导者，而利特尔伍德有很强的物理观念和兴趣，他后来在微分方程领域从事的研究直接来源于物理问题。他们两人长期的互补合作不仅促成了双方事业的成功，更推动了剑桥分析的发展，形成了一个一度繁荣的学派。因此，任何学者无论多么伟大，都不可避免地有不足之处，而在学派中有利于克服这种不足。学派所具有的这种互补合作功能是任何个体的数学家所难以比拟的，这使数学学派能够成为协作多产的高效科学集体。
(3)变异分化。学派中的个体差异主要促使成员间的互补合作，但也可以从另一个方向产生杠杆作用，这就是促使学派成员之间不同观点的争鸣，一般情况下，学派内部的争鸣最终会服从学派的全局利益，但是在某些阶段和条件下，会进而发生变异分化，例如，蒙日学派的庞赛列(J.V.Poncelet,1788-1867)和热尔岗(J.D.Gergonne,1771-1859)因各自坚持综合几何与解析几何的优越性，由最初的友好竞争演化为公开的论争而形成观点相左的两派[11]。这是学派的变异现象，这一点在学派的形成一节中已提到，不再详述。
(4)群体竞争。学派作为一个整体，其成员是以“群体约定”，即共同的数学信念为粘合剂而聚集起来的，学派成员为了维护学派的传统和信念，会千方百计为本派学说获得承认和成功而奋斗，并尽力去证明和修正本派的数学理论与学术观点。这种群体竞争的意识，不仅使数学家的创造力得到最佳发挥，同时极大地加速了数学思想的进化过程。18世纪牛顿学派与莱布尼茨学派的争论，推动了微积分理论的发展；19世纪70年代，实数三大派理论的争鸣，把分析的严格化推进到新的阶段；20世纪初，逻辑主义、形式主义和直觉主义三大派的抗争，极大地推动了数学基础的发展，也加深了人们对数学基础的认识等等。
由于数学学派具有上述重要功能，它对数学发展的影响往往是最伟大的个体数学家所不能代替的。最明显的例子便是高斯(C.F.Gauss,1777-1855)与19世纪下半叶德国数学学派对德国数学发展的影响。高斯是个人才能极高的整个数学史上少数几个最伟大的数学家之一，他的数学思想对现代数学发展的影响不容忽视，但另一方面，高斯不喜欢科学交往与组织活动，不善于教书育徒，他的一些自认为不完善的结果基本上密而不宣，这使他在当时的德国成为一个“孤立的奇异点”。他在世时，德国数学的总体水平落后于法国。而19世纪七八十年代，由于两大学派——以魏尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815-1897)为首的柏林学派和以克莱因、希尔伯特为首的哥廷根学派的工作，使得德国数学跻身于世界前列。纵观古今的重要数学学派，我们看到，它们都是当时公认的数学研究中心，这些学派的数学思想和数学活动不仅把本地区、本国的数学推向世界领先地位，而且对整个数学的进化和发展产生了重要影响，这种影响主要通过下述方式实现：
第一，数学学派对数学思想和知识的传播。数学中最重要的发现往往属于少数大师，他们的创造性思想需要向各个方向深化和传播，学派是完成这一使命的极佳形式，尤其对非书本知识的传授提供了一种潜移默化产生影响的机会，是保持和传播数学传统和风格的重要途径。
第二，数学学派对有潜力的数学家的培养。许多青年数学家正是得益于学派所特有的氛围和所提供的机会而迅速成长和成熟起来，进而以他们的创造性工作又推动数学的进展。
第三，数学学派对数学合作与交流的促进。学派间成员的互访，学派刊物的国际性都能加强这种交流。哥廷根学派在20世纪初成为科学的圣地，吸引了世界各地的知名学者前去访问、讲学，吸引众多的学生前去深造，不仅加强了哥廷根同这些国家和地区数学家的交流与合作，也加强了这些数学家之间的联系。普林斯顿学派是现代数学国际性的典范，它的访问学者计划促进了世界范围内数学家的交流与合作，并通过他们对世界数学的发展起到重要的推动作用。
另一方面，应当指出，在数学的发展进程中，学派并不是在任何情况下都产生正面作用，譬如中世纪欧洲的经院学派，对数学发展起到一定的阻碍作用。这种情形往往要具体情况具体分析，一般来说，主要由以下几方面的原因造成。
第一，过分推崇权威，固守传统，抑制了创造性思想的出现。如后期牛顿学派固守牛顿思想和方法的传统而阻碍了18世纪英国数学的健康发展。实际上，学派所培养出来的学者应该不仅是领导人思想、方法的模仿者和传播者，更要成为具有独创性的研究者。
第二，学派间的竞争和争鸣演化到极端，造成狭隘的民族主义和个人崇拜，对数学发展产生消极影响。这种情况在牛顿学派与莱布尼茨学派关于微积分发明优先权的争论而导致英国18世纪数学发展落后的例子中可见一斑。
第三，学派限于刚开始研究的领域，忽视与其它分支的联系，不利于其它数学分支同步发展。波兰学派和20世纪剑桥分析学派都存在这样的问题。
第四，过于限于师生相传，不注意吸收外来力量和新的思想，造成近亲繁殖，使得学派发展失去活力。美国芝加哥学派在本世纪20年代由于任命原则的“世袭性”导致了这种状况，40年代中期，这种情况得到改善，芝加哥学派重新赶上世界先进水平[12]。
此外，古代和中世纪的某些学派组织纪律严格，保守发明的秘密，不利于数学新发现的传播。古希腊毕达哥拉斯学派是集数学、哲学、宗教于一体的组织，纪律严明，对新的发现密而不宣。中世纪意大利各学派有所发现并不公布，而作为数学解题竞赛中战胜对手的“秘密武器”，这在一定程度上延迟了数学新发现的公开问世。
由此，有人对学派提出质疑，指出如果学者长期限于某一个学派，会抑制创造力，学派作为一个相对封闭的系统，会使其成员不愿接受外界影响，造成工作缺乏想象力和独创性。我们认为这种情况并不具有普遍性，一旦认识到学派可能造成的消极影响，学派内部或外部的相关机制会有意识地进行预防或调整。我们上面提到的例子一般都有其特定历史条件下的特殊性，应客观地加以分析、评价。
3.3 数学学派的衰落分析
数学学派的形成、发展乃至最终取得成功，必须具备一定的条件，在“数学学派的形成”一节中，我们已对这些条件进行了阐述。当这些条件中的某一些不再具备，或学派的负面作用表现严重时，学派就会难以维持下去，下面我们由此并联系其它因素来分析数学学派的结束或衰落，这也是数学学派的动态性的一种表现。
学派的衰落与学派的形成一样，有内外两方面的原因，我们首先考察内部因素。
第一，学派形成和发展的重要方面是群体约定，即共同数学思想的形成、强化与保持，如果这种群体约定自身存在某些方面的缺欠，那么学派的纲领就难以实现，这时学派就不能算取得成功。布尔巴基学派用数学结构统一数学的目的没有达到，因为有些学科无法归入他们的三种基本结构中。古希腊数学学派着重推理、证明，坚持清晰的定义、严格的论证。他们的演绎体系促进了几何的发展，但同时也束缚了人们的思想，给代数也披上几何的外衣。新思想、新概念的出现往往带来逻辑上的困难，他们又拒绝解决这一种困难，这就势必堵塞创造之路，这也是最终导致希腊数学衰落的内在原因之一[13]。
第二，一些专攻数学中某些分支或以某个方法为主导的学派发展到一定阶段，如果不引进新的工具和方法，扩大研究领域，多学科齐头并进，势必逐渐失去活力。有些数学理论在取得重大成就后，由于缺乏新的课题和方法而失去活力，以这些理论为主题的学派就会退出研究舞台，如不变量学派。现代数学发展越来越需要各分支间思想、方法的相互渗透，一个数学中心或学派要保持长久领头的地位，必须不断在方法及研究力量上自我更新，联系最新进展，并加强各学科、分支的共同发展，要具有综合性。
第三，每一个业已形成的重要数学学派都有其最为繁荣发展的一段时期，在这样的时期中，它们表现出高度的创造性，当既定纲领完成后，将开始下一阶段的发展，对于前一阶段而言，其历史使命已完成，在这样的交替时期，由于各种因素的作用，也容易导致学派的衰落，波兰学派即是如此。
第四，对于M-型学派，比较容易因为中心领导人的退休、逝世等原因而失去研究的核心领导人，后继的学派成员的研究活动无法做到象以前那样集中，这就造成这种类型的学派因过于依赖于单个大师的领导而只能是一度繁荣。普林斯顿学派避免了这种情况，它主要依赖于高水平的整体研究队伍和访问者计划所形成的内聚力和外在广泛联络来保持健康发展。
促使学派衰落的外部原因不仅非常重要，有时甚至起到决定性作用。如果说学派的形成发展得益于经济的繁荣，社会环境的稳定的话，那么政府不支持、经济衰退、社会动荡则是促成其衰落的重要因素。基础数学研究虽不需要实验室和除计算机外的各种复杂的辅助设备，但与其它科学研究一样，需要政府在政策和经费上的支持，需要一定的教席保证教师和研究人员队伍的稳定，当社会的政治、经济条件不能满足这些时，各种数学活动，包括学派的发展就无法得到保证。20世纪30年代，德国实行法西斯统治，并发动了第二次世界大战，几乎毁灭了一切科学活动。欧洲各国的学术研究都不同程度地受到损害，而哥廷根学派和波兰学派受到更大的损失。由于战前的条件和战争本身的危险性，大批波兰数学家移居国外，许多哥廷根的犹太数学家遭受迫害，被迫出走，这两个学派由于战争而中断了发展。法国函数论学派受到第一次世界大战的冲击，许多年轻数学家走上战场，有的成了战争的牺牲品，数学研究后继无人。这些重要数学学派的衰落往往标志着学派所在国家和地区的整体数学水平的下降。
另一方面，学派的兴衰又有互补性。当欧洲科学研究受到创伤之时，美国接纳了大量来自欧洲的优秀人才。许多著名的欧洲数学家就是在二战期间移居美国，与美国数学家一道创建和发展了现代美国数学学派，使美国成为新的世界数学中心。古代希腊学派也有这种特点，当一个地区的学派受到战争影响而衰落后，迁移后的学派成员会在新的地区重新建立起学派，致使希腊科学文化绵延千余年，多次出现繁荣景象。
以上是笔者对于数学学派进行的理论探讨。由于学派的数学思想对于数学的进展在某种意义上有比个人更为深广的影响，因此，对学派的探讨对阐明数学的发展规律有特殊意义。同时，对学派的成败经验进行考察对现实的数学研究，政策的制定等有重要的指导意义和借鉴作用。而且，数学学派的发展与社会政治、经济及一般文化的发展有密切关系，对学派进行论述，需将数学家个人的活动与他们的群体行为、数学思想本身的发展及社会环境的影响等融为一体，从数学家个人传记、学科发展史、大学或科学机构史、思想传统直至数学的民族风格等方面进行综合论述，也就是将组成学派的个体与他们相互作用的网络结合起来考察，这就从内史与外史相结合的角度对数学发展的历史提供更深刻的理解。此外，学派的研究还涉及学派成员之间以及学派与学派之间的互动关系，这方面的讨论既不同于内在论，又不同于外在论，而是通过科学内部的社会因素来解释数学发展的动力，这是数学史研究中一个重要的分析方向。当然，我们应该看到，对这一专题的研究也存在着某些困难和局限，对其中一些问题的讨论容易引起争议，我们这里的论述仅代表作者的一家之言。但是，学派研究作为全面深刻地理解数学的历史的一种途径，是数学史研究中的一个重要方面，对它的探讨值得进一步深化。
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