反函数教学的研究性设计，本文主要内容关键词为：反函数论文,研究性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学给人的印象是深奥莫测，数学发展到现在已是那么地完整严密，看来在数学学科内进行研究性学习是非常困难的。但是，仔细找找，还是存有机会的。例如，如何根据反函数的定义，根据反函数图象对称性的定理，考察有哪些函数，它们的反函数就是原来的函数，就是一个合适的课题。
关于反函数图象对称性的定理是：“函数y＝f（x ）的图象与它的反函数y＝f[－1]（x）的图象是以直线y＝x为对称轴的轴对称图形。”这条定理直观性很强，高一学生比较容易掌握。学习了这条定理后，便可以引导学生通过观察，进行研究。
第一步 提出问题
函数的图象与反函数的图象关于直线y＝x对称，有没有这样的函数，它的反函数的图象就是它的图象？
第二步 学生初探
学生会很容易想到图1和图2这两种图象。然后要引导他们利用初中二次函数中学到过的平移法稍作变化，得到这两种图象的发展图3和图4。
第三步 学生再探
接着引导学生全面考虑问题，不要遗漏其它重要情形，如图5 及其发展图6，还有y＝x本身。
第四步 寻找联系
有了这些图象，那么它们的解析式是什么呢？
与第二、第四象限的角平分线y＝－x平行的直线的解析式已经写出：y＝－x＋b（b∈R）。位于第一、第三象限的反比例函数y＝k/x，（k＞0），及其顶点在直线y＝x上移动后得到的解析式y－a＝k/（x－a）， （k＞0），可整理为y＝（k＋ax－a[2]）/（x－a）＝（ax＋k－a[2]）/（x－a）， （k＞0），位于第二、第四象限的反比例函数y＝（－k）/x，（k＞0），及其对称中心在直线y＝x上移动后得到的解析式y－a＝（－k）/（x－a），（k＞0），可整理为y＝（ax－k－a[2]）/（x－a），（k＞0）。这些解析式，即（1）y＝x，（2）y＝－x＋b，（3）y＝（ax＋k－a[2]）/（x－a），（k＞0），（4）y＝（ax－k－a[2]）/（x－a）（k＞0），之间有什么联系？ 能不能统一起来呢？（3）、（4）两式可统一成y＝（ax＋b）/（x－a），此式与（2）式又可统一成y＝（ax＋b）/（cx－a），其中c＝0时为（2）式，c≠0时可化为y＝（a′x＋b′）/（x－a′）。这个式子和y＝x能否进一步统一呢？看来是不行的。所以到高一为止，我们就得到了两类函数，它们的函数就是它们本身，一类是y＝（ax＋b）/（cx－a），其中c＝0时成了y＝－x＋b′型直线，c≠0时为关于直线y＝x对称的双曲线；另一类是特例，即对称轴y＝x本身。
第五步 深入探索
能不能再深入一步呢？这时要考虑到函数的定义和反函数的定义：“在函数y＝f（x）中，对应法则f使定义域内的每个x，有唯一确定的y与它对应。”“对于函数y＝f（x），设它的定义域为D，值域为A。 如果对于A中任意一个值y，在D中只有唯一确定的x值与之对应，使y＝f（x），这样得到的关于y的函数叫做y＝f（x）的反函数。”
主要的是要考虑到符合下面这种要求，如图7，在新坐标系x′O′y′中，图象要关于第一、第三象限角平分线对称，也就是图象不但关于直线y＝x对称，还要在x′O′y′坐标系中，要么位于x′O′y′的第二、第四象限，要么位于它的第一象限或第三象限，（当然，同时还要符合函数的定义和反函数的定义）。这样又可画出以下类型：
（1）折线型：如图8和图9。
（2）圆型：如图10到图13。
（3）椭圆型：如图14和图15。
至于它们的表达式，有的比较难写，如折线型，有的还没有学过，仅提供给少数学生进一步开展研究性学习。
第六步 检查成效
出示测试题：为什么函数y＝x－2/2x－1的图象上任意两点的连线不平行于x轴？
设想通过这样的教学，加深学生对反函数知识的理解，拓宽学生考虑问题的角度，激发学生学好数学的兴趣，培养学生善于学习和持续学习的良好习惯。
以上设想中不当之处，望同行们指正。
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