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摘要:数学教学中，反例和证明同样重要。因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以教学中注重反例的运用，适时地引进一些反例或引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们理解数学概念、巩固和掌握定理、公式和法则，纠正一些习惯性错误，培养思维的创新性。
关键字：数学教学 反例 证明 数学概念
要说明一个命题的正确性，必须经过严密的逻辑推理论证，而要否定一个命题，则只需举出一个符合题设而与结论相矛盾的例子就行了。这种与结论相矛盾的例子叫做反例。在数学教学中，反例和证明同样重要。因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以教学中注重反例的运用，不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，从而提高思维的灵活性。
一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念
概念是数学教学中最为基础的知识。教学概念时，不但要让学生弄清“是什么”，还要搞懂“不是什么”。一般来讲，教材叙述概念总是采用正面阐述的形式，而学生常常对一些概念的关键词缺乏深刻的认识，对概念所要求的条件理解不全面，巧用典型、生动、直观的反例，对易于模糊的概念进行比较、辨析，才能形成清晰的认识。教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了辨别的信息。
循环小数概念中的“依次不断，重复出现”这两个关键的词语缺一不可。帮助学生正确理解这两个关键词语，可以举出类似下面的反例子：
200820082008,3.14159265358979……。
经过辨析学生认识到，第一个小数虽然“2008”重复出现，但并没有“依次不断”；第二个小数位虽然“依次不断”，但并没有“重复出现”一个或几个数字，因此都不是循环小数。通过这样的反例，往往可以加深学生对循环小数概念内涵的理解，使学生清晰知道“依次不断，重复出现”这两个条件必须同时满足。
二、巧用反例，深化理解
反例能从另一个角度去理解问题，使你对所学的知识分析得更加清晰，理解得更加深刻，掌握得更加牢固。如在学习三角形全等时，有定理“两条边及这两条边的夹角对应相等的两三角形全等”（命题1）。教师在强调全等的条件必须是“两边夹角”时，学生自然而然会想：用两条边和一个角来证明三角形全等时，能不能“两边不夹角”呢？这时，教师就会给出学生的猜想的反例。
如图1：
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在△ABC和△ABD中，有AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但两个三角形显然不重合（即不全等）。通过这个反例，学生就能更加深刻的理解这个定理。
三、巧用反例，证明猜测
例：1640年，法国数学家费尔玛发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n＝0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537都是素数。由于F5太大，他没有再进行验证就直接猜测，对于一切自然数n，Fn都是素数。此命题若直接验证很繁杂，但到1732年，欧拉举出反例，当n＝5时，F5＝225＋1＝429497297=641×6700417是合数，这样，便说明了费尔玛猜想不成立。常有这样的情况，一个数学家的重要猜想，用了很长时间不能证明猜想，若干年后，却有人举出反例否定这样的猜想，使得问题得到了解决。
四、 恰当构建反例，培养学生思维的创新性
反例的运用、构建，是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以反例构建不能就事论事，而要把问题的产生过程、如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的创新性。
如在学完正多边形以后,学生们都知道了正多边形的一些性质,例如:正多边形的所有的边都相等,所有的内角都相等。为了加深对这一性质的理解,教师可以从反面进行巩固。
判断:(1)所有边都相等的多边形一定是正多边形
(2)所有角都相等的多边形一定是正多边形。
(1)和(2)都是错误的,例如菱形和矩形。这两个反例学生都比较容易能想到。但是,除此之外,还有没有其余的反例呢?教师还可以做进一步的提问。显然这时难度就增加了。其实,所有边都相等的多边形都是正多边形的反例有无数多个,例如我们可以先做一个正多边形(不是正三角形),利用这些正多边形具有的不稳定性,它们的内角在变化的过程中就会出现边都保持相等,但是角度却会出现不等的情形。对于所有角都相等的多边形是正多边形的反例,其实也是有无数个。
总之，在数学教学中，适时地引进一些反例或引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们理解数学概念、巩固和掌握定理、公式和法则，纠正一些习惯性错误，培养思维的创新性。
参考文献：
【1】《反例在数学教学中的运用》杨昌海 《考试周刊》,2012(17):53-53
【2】《反例在数学教学中的作用》许彩莲，齐鹏里《中学数学》,1992(06)
【3】《高职数学教学中反例教学法的运用探析》蔡桂荣《黄冈职业技术学院学报》,2010,12(5):47-49
【4】《反例在数学课堂教学中的作用》秦勇《科技文汇》2014.11
【5】《反例教学法在初中数学教学中的应用探究》熊少杰《中学时代》2014(11)
论文作者:张建明
论文发表刊物:《知识－力量》2017年8月中
论文发表时间:2017/9/30
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