小学数学教学也要注重渗透数学思想，本文主要内容关键词为：也要论文,注重论文,思想论文,数学论文,小学数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称为《课标》）中，“双基”被发展为“四基”，这有深刻的意义.“四基”的内涵和外延都十分丰富，怎样把握新增加的“两基”——数学的基本思想和基本活动经验，更是在学习《课标》中大家特别关心的问题.限于篇幅，本文着重谈数学思想.
一、数学的基本思想、数学思想和数学方法
为什么“使学生获得数学的基本思想”应该作为数学课程的一个重要目标呢？笔者以为，数学课程固然应该教会学生许多必要的结论，但绝不仅仅以教会这些概念、公式、计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想.数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓.
《课标》在这里的措辞为数学的“基本思想”，而不是数学的“基本思想方法”，笔者以为，这是明智的、恰当的，因为“思想方法”可能更多地让人联想到具体的“方法”，如图表法、变形法、观察法、对比法，不但层次降低了，而且冲淡了“思想”这个关键词.其实，“双基”中已经含有数学的这些具体方法.
笔者不久前发表了一篇文章，题目是《数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”》，其中关于数学的基本思想，以及由基本思想派生出来的数学思想，有下面的表述.
数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想.人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促进了数学科学的发展；通过数学审美，看到数学“透过现象看本质”“和谐统一众多事物”中美的成分，感受到数学“以简驭繁”“天衣无缝”给我们带来的愉悦，并且从“美”的角度发现和创造新的数学.
当然，由上述数学的“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多.例如由“数学抽象的思想”派生出来的有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等.由“数学推理的思想”派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等.由“数学建模的思想”派生出来的有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等.由“数学审美的思想”派生出来的有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等.
举例说，“分类的思想”和“集合的思想”可以是这样由“数学抽象的思想”派生出来的：人们对客观世界进行观察时，常常从研究需要的某个角度分析联想，排除那些次要的、非本质的因素，保留那些主要的、本质的因素，一种有效的做法就是对事物按照其某种本质进行分类，分类的结果就产生了“集合”把它们上升到思想的层面上，就形成了“分类的思想”和“集合的思想”.
为了进一步阐述数学思想，并且为了理清数学思想与数学方法的区别和联系，该文还有下面的表述.
在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”.
数学方法不同于数学思想.数学思想往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的，而数学方法往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的.数学思想常常通过数学方法去体现，数学方法又常常反映了某种数学思想.数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生了解和体会数学思想，提高学生的数学素养.
以上这些，都是广泛地对各个阶段的基础教育而言的，下面专门围绕小学数学教学展开讨论.
二、小学数学教学可以并应该渗透哪些数学思想
有人可能认为，小学生年龄小、理解能力差，思维正在启蒙阶段，小学数学教学不必关注数学思想，数学思想的教学是初中、高中的事.这种看法是片面的，小学生、中学生和大学生，数学学习的内容虽然不同，但是“通过数学课程，渗透数学思想，提高数学素养”这一点是共同的.数学教学，很重要的是提高学生的思维品质.数学思想的渗透，应该是长期的，应该从小学一年级开始，也完全可以从小学一年级开始.
当然，小学生的年龄、心理特点是必须考虑的，他们的理解能力正在开发中，他们的思维正在启蒙中，小学生的知识基础较薄弱，认知过程不宜太曲折深奥.所以，教师应该结合小学数学课程的内容，研究在不同的学段和年级可以在教学中渗透哪些数学思想，又如何结合具体知识的教学渗透这些数学思想.
笔者近七年参加了义务教育数学课程的教改，听了大量的课，与许多一线教师和教研员座谈，也与研究小学数学教育的学者有过不少接触和讨论，对上面两个问题有一些粗浅的想法，写出来与大家交流，也希望能够抛砖引玉.
先谈谈小学数学教学可以渗透哪些数学思想.
首先，数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想这四个数学的基本思想，都是可以在小学数学教学中渗透的.
一年级小学生入学后就要学习10以内的数，就要学习“0”.数是客观世界中各种具体的数量经过人的大脑抽象后的产物，在人类发展的历史上经历了若干万年的漫长过程.“0”的出现更晚，其抽象经历的过程更长.一年级小学生还要学习长方体、正方体、圆柱和球，还要学习长方形、正方形、三角形和圆.这些几何图形，也是客观世界中各种具体的物体及其表面经过人的大脑抽象后的产物，在人类发展的历史上也经历了若干万年的漫长过程.数和形，是数学研究的两大基本客体，它们都是人类大脑进行数学抽象的产物，所以说，没有数学抽象就没有数学学科.事实上，数学学科的任何一个概念、任何一个法则，都是抽象的结果，数学抽象的思想会贯穿于数学教学的始终.
小学生的数学学习，多半的内容是“数的运算”，运算必定伴随着推理.例如，一年级“20以内的退位减法”的教学，教师往往引导学生逐步找出四种方法：①一个一个地掰着手指头逐次地减；②先用被减数的个位数来减，减过后发现不够减，再从被减数十位上减；③算减想加，再从“减法是加法的逆运算”推出结果；④当个位上的数不够减时，直接退到十位上去，把十位上的1看做个位上的10，减去减数后再加上原来被减数个位上的数.教师此后往往会渗透“解决问题的多种策略”的思想和优化的思想，此时也应该向学生讲解“每一种策略都有各自的道理”（或者启发学生自己说出道理来），从而也就渗透了数学推理的思想，让学生从小就知道“学数学一定要讲道理”.数学推理是数学的根基，没有数学推理，就没有数学学科丰富的结论，就没有数学学科的发展，所以，数学推理的思想会贯穿于数学教学的始终.
教小学生学习数学，不但要从他们熟悉的生活情境引入话题，完成数学授课，而且应该在得出结论后再应用到实际中去，让小学生感到数学有用，从而提高他们学习数学的积极性.这个过程前半段就是数学建模的过程，后半段就是用建立的数学模型解决实际问题的过程.以问题引领展开数学教学的过程，常常就是数学模型思想的应用过程.例如“鸡兔同笼”一类的问题，既可以在小学阶段用四则运算作为模型去解决问题（参见本文中【《课标》例31】），也可以在初中阶段用一元一次方程或者二元一次方程组作为模型去解决问题.数学模型是数学学科的知识和理论联系客观世界的纽带，正是数学模型使数学产生了巨大的社会效益，又同时促进了数学科学的发展，所以，数学模型的思想会贯穿于数学教学的始终.
数学审美，有多个方面、多个层次.小学一年级让学生体会球和圆中的美，二年级让学生体会天安门和蝴蝶“轴对称”的美，还仅是视觉方面的美，感官愉悦产生的美.到了第二学段用圆规画圆，了解圆周率，又认识了“轴对称”的数学本质以及随机现象结果的不稳定性与大量重复以后随机现象结果的相对稳定性，就会让学生感悟数学“透过现象看本质”的美.认识了正比例关系的数量在方格纸上都呈现直线以及结合具体情境用字母表示数，从而可以统一表示众多的等式，再学习了“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”的规律并能解决同类的大量实际问题，就会逐渐让学生体会数学“和谐统一”的美.数学以简驭繁，其中蕴涵着大量美的成分，数学家也往往从“美”的角度发现和创造新的数学，所以，数学审美的思想会贯穿于数学教学的始终.
除这四个数学的基本思想可以在小学数学教学中渗透外，基本思想派生出来的许多数学思想也可以在小学数学教学中渗透.例如前面论及的大量数学思想，除公理化思想以外，均有机会在小学数学教学中渗透.
三、小学数学教学如何渗透数学思想
下面通过一些案例来阐述如何在小学数学课程中结合具体知识的教学去渗透数学思想.
（一）《课标》“附录2”中的实例
（1）【《课标》例10】在图1中，描出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别描出相加等于6、9的格子，你能发现什么规律？
本例在帮助学生熟悉20以内加法的同时，发现“相加等于6”的所有格子呈现直线状态，感悟规律之美、和谐之美，可以渗透数形结合的思想、数学审美的思想、和谐的思想.在“相加等于6”的要求下，1唯一对应5，2唯一对应4，3唯一对应3……可以渗透对应的思想和函数的思想.
（2）【《课标》例17】分别选择三个不同的标准把全班同学分为两类，记录调查结果.
本例在学生进行分类的活动过程中，教师可以因势利导地让学生了解“分类前必须设定标准”，然后引导学生讨论不同的标准.例如，性别、身高、家到学校的距离、出生年月、左右手写字等，都可以作为分类的标准.分类的结果就产生集合.这里可以渗透分类的思想、集合的思想.比较、分类等活动是对数据进行初步的整理，是学生进行数据分析的开始，从而也就可以渗透统计的思想以及从数据出发的观念.
（3）【《课标》例18】新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案.
本例可以使学生体会数据调查、数据分析对于决策的作用，渗透数据分析的思想.学生可以按照不同的方法收集并表示数据，并且参照事先的约定决定购买水果的方案.决定的方案没有“对”“错”之分，但要符合最初制订的原则.这里可以渗透统计的思想，看到统计的结论往往只有“好”“坏”之分，不像数学演绎推理的结论有“对”“错”之分.
（4）【《课标》例22】上学时间.
本例题让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息.如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性.更进一步让学生感悟，虽然数据是随机的，但数据较多时又具有某种稳定性，可以从中得到很多信息.这里可以渗透随机的思想、数据分析的思想.
（5）【《课标》例26】李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元.请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？
这是在第二学段中关于“估算”的例题.《课标》对“估算”的表述与实验稿有所不同.现在，教师不应再说“估算就是凑零为整”了.《课标》的表述是：第一学段的估算，重点在于让学生学会“结合具体情境选择合适的单位”，第二学段的估算，还要让学生学会结合具体情境“选择合适的方法”.本例题首先选择合适单位“1元”，不要认为这是在“凑零为整”.估算离不开情境，例如，《课标》例6中选择的合适单位是“1000人”.然后在此基础上再选择合适的方法.题中的第一问“她带的钱够不够买小鱼”，用适当放大的方法取过剩近似值估算已买物品至多花去的金额，得到结论“够”；第二问“她带的钱能不能买大鱼”，用适当缩小的方法取不足近似值估算已买物品至少花去的金额，得到结论“不能”.这里可以渗透简化的思想、估算的思想、数学推理的思想.
（6）【《课标》例30】联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室.你知道第16个气球是什么颜色吗？
本例题希望学生通过所给条件发现规律，进一步了解规律可以借助各种符号来表示.在解决这个问题时，学生可以给出多种方法.例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，则按照题意气球的排列顺序可以写成：
AAABBCAAABBC…
从中找出第16个字母是B，由此推出第16个气球的颜色是黄的.这里，气球的颜色在变化，但是变化中总是按照“3红、2黄、1绿”的顺序，这就是“变中有不变”.这里除可以渗透“变中有不变”的思想外，还可以渗透用符号表示的思想和推理的思想.
（7）【《课标》例31】一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几个椅子和几个凳子？
本例可以引导学生运用尝试和归纳的办法探索规律.如果全是椅子将有64条腿，然后每减少1个椅子就要增加1个凳子，腿的总数就要减少4-3=1.也可以这样考虑：如果全是凳子将有48条腿，然后每减少1个凳子就要增加1个椅子，腿的总数就要增加4-3=1.这里可以渗透数学推理的思想、归纳的思想.椅子的腿数比凳子的腿数仅多1，这使初学“归纳思维”的小学生更加容易尝试和猜测，比“鸡兔同笼”问题好上手.如果再由4×16-60=凳子数，推得“4×（椅子数+凳子数）-腿的总数=凳子数”这样的公式，就用四则运算的方法建立了数学模型去解决该问题，从而渗透了数学模型的思想.
对于学有余力的学生，教师可以鼓励他们讨论“鸡兔同笼”问题，还可以进一步用字母表示椅子数、凳子数及腿的总数，得到计算的模型，从而进一步渗透数学模型的思想、符号表示的思想.
（二）笔者在各地听课、评课的实例
（1）9的乘法口诀（二年级）.
教师在引出9的乘法口诀并用各种方式训练后，指着黑板上所有关于9的一位数乘法的算式问：“谁找到了其中的规律？”几个学生回答后，师生共同总结出三条规律.此段启发式探究，提高了学生的思维品质，效果不错.其中有一条规律是“从‘一九得九’起按照顺序背口诀时，得数个位上的数依次比前一次少1”，然后教师敷给学生一个小窍门：伸出双手，一个一个地弯曲手指，“几九”，乘积的个位数就是弯曲后剩下的手指数.笔者在课后点评时说了下面一段话：这里借助学生自己的手作为工具，通过具体的形象来记忆口诀，值得提倡.但是这里的形象思维还可以进一步与逻辑思维相结合——因为每次加一个9，9比10少1，所以每次要在十位上增加1，而在个位上减少1.这样，不但用逻辑推理说明了9的乘法口诀中乘积个位上的规律，也说明了乘积十位上的规律，而且更好地渗透了数学推理的思想.
（2）长方形的周长（三年级）.
教师首先展示两位小朋友赛跑的情境，其中一位沿6×4的长方形跑，另一位沿9×2的长方形跑，后者输了但是不服气.教师问：“谁想说什么？”学生发言：“可以算一算两个长方形的周长.”这样就引出了“长方形周长”的概念，同时渗透了量化的思想.然后让学生计算，“说说你们的好办法”.学生先后给出“四边相加”“长×2+宽×2”“（长+宽）×2”三种方法.教师又问：“哪种方法比较简单？”这里就渗透了简化的思想、优化的思想.
教师板书“长方形的周长=（长+宽）×2”，之后让学生记忆公式并围绕该公式展开训练，又做了应用题，还让其他学生评价上台板串的学生的答案，处理得不错.但是教师自始至终都没有说明该公式成立的道理，是一个缺陷.笔者在课后点评时说：“长方形的周长=（长+宽）×2”是本节课的重点，教师在引出、记忆和训练上都比较到位，但是还应该引导学生说出它成立的道理，即“长方形的两组对边分别相等”，然后认真推导出该公式，并且说明这三种方法的一致性，这样就渗透了数学推理的思想、统一的思想和“透过现象看本质”的思想.这样的做法日积月累，也能让学生知道“一切数学结论都是需要证明的”，虽然这时尚未在教学中出现“证明”一词.
（3）速度、时间和路程的关系（四年级）.
这节课教给学生三个公式：速度=路程÷时间，路程=速度×时间，时间=路程÷速度.公式也是一类符号，或者说是符号的组合，所以这里也渗透了符号表示的思想.对于具体问题，把特殊的已知条件代入一般的公式就得出结果，由此也渗透了特殊与一般的思想、统一的思想.而这三个公式是可以互相转换的，只要知道其中一个公式，就能够推知另外两个公式，也说明速度、时间、路程三者，只要知道其中的两个，就可推出另一个.因此这里还可以渗透转换的思想、普遍联系的思想、数学推理的思想、演绎的思想.
（4）组合图形的面积（五年级）.
教师首先复习且板书若干基本图形的面积公式，然后给出“组合图形”的定义：由基本图形组合而成的图形叫做组合图形.接着教师展示了一个房间的平面图，说打算铺地板，准备用5分钟分组探讨，想出计算该组合图形面积的方法，让学生“八仙过海，各显神通”.学生陆续展示自己的方法时，教师适时地引导学生一一分析每个基本图形面积的计算方法，条件是否都已经具备，课堂的研讨气氛很好.教师准备了许多该组合图形，现场根据不同学生的叙述裁剪，陆续贴在黑板上，并暗暗地把方法类似的贴在一起.接着说“我们把这些方法归归类”，蒋在相应位置板书“分割法”“添补法”“割补法”，这样就水到渠成了.这里渗透了分类的思想和集合的思想.然后分三个小组，各用一种方法计算该组合图形的面积，每组出一个代表上黑板演算，现场说出计算的依据，再由学生讨论、评价、打分.课堂气氛很好，并且在计算时不忘推理，也渗透了数学推理的思想.之后教师总结，还用彩色粉笔在黑板上添加“求和”“求差”“转化”六个字，成为“分割法求和”“添补法求差”“割补法转化”，并让学生朗读两遍.之后再给出两个新的组合图形，一易一难，让学生选择方法计算其面积.
笔者在课后点评时说，这节课有许多亮点，相当精彩，如果再设计一个得当的小结，就锦上添花了：在黑板的上沿横写“组合图形的面积”，用彩色粉笔从当中的“形”字竖直往下画一个大箭头，箭头下面横着写上“基本图形的面积”，接着在箭头的左侧写上“化繁为简”，在箭头的右侧写上“化难为易”，然后用另一醒目的彩色粉笔在大箭头上叠加写上“转化”二字（参见图2），嘴里同时说“这就是转化的思路，我们今天不但学会了组合图形面积的计算，而且见识了转化的思路”.这节课的重点，就是把组合图形的面积转化为若干基本图形的面积去计算，所以这里在渗透转化思想的同时，还强化了该节课的知识重点.同时，这里也渗透了以简驭繁的思想.
（5）百分数的认识（六年级）.
百分数是分母为100的分数，自然要讨论它与一般的分数、小数的联系和区别，以及它们之间的互化.这样就可以渗透普遍联系的思想、转换的思想、特殊与一般的思想.这里特别要强调百分数写法和用法的特殊性.它仅用来表示比率，而一般的分数既能表示“比率”，也能表示“数量大小”.说到百分数简单、好用，又看到其在日常生活中广泛的应用，也就渗透了符号表示的思想.
像“认识分数”的教学一样，这里在课堂上也要强调“1”是什么，才能揭示所说的“比率”是谁跟谁比，才能直达事物的本质，也渗透了“透过现象看本质”的思想.特别在教学中如果涉及大于100%的百分数，更要再次强调所比较的“1”是什么.在这一过程中如果启发学生联系“认识分数”那节课的类似情况，那么也就渗透了联想类比的思想.
四、课堂教学中渗透数学思想的语言，不同于讲解数学思想的语言
以上阐述了数学思想是数学教学的精髓，在教学中应该注重数学思想的渗透.但是还应该注意的是，渗透数学思想，与传授数学知识不是分离的，更不是对立的，而是统一的、融合的.数学思想不是单独地、空洞地被传授的，而一定是以知识为载体传授的.基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间；渗透数学思想，则不必占用太多的时间.而且，数学思想不是在讲授知识时生拉硬扯、牵强附会地阐述的，而是融入其中，因势利导、水到渠成地渗透的，也不是摆开架势、长篇大论地传授的，而是潜移默化、画龙点睛地渗透的.
在小学阶段，我们强调“渗透”数学思想，而不是“传授”数学思想，分寸的把握要恰当，这对于教师的课堂语言就必然有较高的要求.教师应该具体情况具体分析，根据不同的情境采用不同的措辞，组织不同的语言，既要想方设法出现与所渗透的数学思想相关的词，又不能离开知识载体单独讲解该数学思想，既要提及相关的词，又要以积极的态度提及这些词，这样才能让学生以积极的态度感悟这些词，体会它们的含义，喜爱其中的内容，日积月累，就能够逐渐接受和理解相关的数学思想.
举例来说，“数学抽象的思想”本来是数学的特点、数学的优势、数学的武器，但是如果没有得当的教学、正确的引导，有些学生就可能觉得“抽象”使数学枯燥，使数学难懂难学，从而排斥“抽象”，当有什么内容不容易理解时，就说它“太抽象了”.这是对“抽象”的误解.
如果小学教师在一年级时对刚入学的学生说“3个梨、3条鱼、3块石头、3朵花，都是自然界具体的事物，远古的人通过长期的观察、实践和思考，逐渐从中抽象出‘3’来”，小学生可能还难以准确理解，但是他们由此第一次听说了“抽象”这个词，而且是在积极的情感中听说的.如果教师此后的某个单元跟学生说“3个梨加5个梨是8个梨，3条鱼加5条鱼是8条鱼，3朵花加5朵花是8朵花，古代的人们逐渐从中抽象出‘3+5=8’来”，然后再讲加法在生活中的应用，小学生就可能不同程度地了解“抽象”一词，并且由于看到了加法有用，所以他们是在积极的情感下了解“抽象”一词的，虽然也许还不能完全理解，但是他们已经比前面讲“3的抽象”时多了一些了解.再往后学习“圆”时，如果教师继续用类似的语句说“人们逐渐从太阳、月亮、车轮中抽象出‘圆’来”，学生就可能多少明白“抽象”一词的含义，并且不同程度地感悟到“数学抽象”的作用.以后如果教师凡是遇到这种学习新概念、新法则的时机，都能够用类似的、积极的话语渗透“数学抽象”，小学生就会逐渐接受、理解和领悟到“数学抽象”的作用.小学阶段没有必要对学生说出“数学抽象的思想”一词，但是当学生自己在某节课中找到某种规律时，教师可以表扬——“很好，你也学会数学抽象了”，这样潜移默化、日积月累，效果一定不错.
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