收入分配差别的量度研究，本文主要内容关键词为：量度论文,收入分配论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
通常，收入分配理论分为功能分配理论和规模分配理论两个方面。收入的功能分配理论主要是解释社会最终产品在各种生产要素中如何分配的问题。收入的规模分配理论的研究重点是说明收入在各个经济主体之间的分配情况。通常，收入的规模分配理论的主要内容是个人分配理论，所以本文就Lorenz曲线及其与Lorenz曲线相关的收入分配的统计描述和规范评价的问题作些理论探讨，就当前收入分配分析中所需注意的一些问题提出一些个人看法。
为便于收入分配的统计描述，假定由N 人组成经济的各成员按收入大小进行排序，第i成员收入为x[,i]时，整个社会的收入分配可以通过向量x＝（x[,1]，x[,2]，…x[,i]，…，x[,N]）表示，与收入分配x相对应的分布函数为F（x）。如果能利用收入分配x的分布函数F（x ）在一元空间上定义相关的收入分配评价函数λ（x）， 则我们可以将收入分配评价函数λ（x）作为衡量收入分配的不平等尺度。 对于两个不同的收入分配x[A]和x[B]，如果λ（x[A]）小于λ（x[B]），则我们认为收入分配x[A]要比收入分配x[B]平等。一般地，我们也可以在收入分配x的分布函数F（x）基础上将收入分配评价函数λ（F）定义在相应的函数空间。此时，对于两个收入分布x[A]和x[B]的分布函数F（x[A]）和F（x[B]），如果λ（F[A]）大于λ（F[B]）的话，就认为收入x[B]要比收入分配x[A]平等。
一般来说，Lorenz曲线是弱价值判断标准下的不平等顺序尺度。在Lorenz曲线不发生相互交叉的情况下，通过Lorenz曲线对收入分配进行价值判断是非常有效的。在两个收入分配所对应的Lorenz曲线相互交叉的情况下，通过Lorenz曲线对两个收入分配状况进行整体的价值判断是非常困难的。当然，在Lorenz曲线发生相互交叉的时候，通过对Lorenz曲线的交叉处进行分割，并对分割后的部分进行评价也是可能的。
现在用连续变量x表示收入，收入低于x 的累计人口百分比与收入x的相关的分布函数F（x）来表示，则Lorenz曲线的坐标可以表示成以下形式。
此时，μ代表与Lorenz曲线所对应的收入分配的平均收入。事实上，Lorenz曲线对横轴成凸状的，作为因变量的收入累计百分比F[,h]（x）是自变量的人口累计百分比F（x）的凸函数。首先，计算收入累积百分比F[,h]（x）对累计收入百分比x的导函数可以得到以下关系式。
dF[,h]（x）xf（x）
───────＝──── （2）
dx
μ
其次，计算收入累积百分比F[,h]（x）对累积人口百分比F（x）的一阶导函数可以获得以下结果。
dF[,h]（x） dF[,h]（x）／dx
xf（x）／μ
x
─────＝────────＝──────＝─＞0 （3）
dF（x） dF（x）／dxf（x） μ
进一步地计算收入累积百分比F[,h]（x）对累积人口百分比F（x）的二阶导函数可以得到以下关系式。
d[2]F[,h]（x） d
dF[,h]（x）
dx1dx
───────＝─（─────）＝─（─）＝─ ────
dF[2]（x）dFdF（x） dF μμ dF（x）
11
＝─ ───＞0 （4）
μ f（x）
根据收入累积百分比F[,h]（x）对累积人口百分比F（x）的一阶导数和二阶导数均为正的结果可知，Lorenz曲线确实是对横轴成凸状的。
需要注意的是， 当全社会成员获得完全相等的收入μ时， 由于Lorenz曲线的横坐标F（x）和其纵坐标F[,h]（x）相同，Lorenz曲线就变成连接点（0，0）和点（1，1）的对角线。理论上，我们将表示收入分配绝对平等的理想状态的对角线形的Lorenz曲线称为均等分布线。一般情况下，当x＝μ时，Lorenz曲线和均等分布线的垂直距离最大。 事实上，可以定义函数φ（x）＝F（x）－F[,h]（x）来证明上述性质。根据函数φ（x）的定义，可以分别求得函数φ（x）对F（x）的一阶和二阶导数。
dφ（x）
x d[2]φ（x）
────＝1－──， ──────＝xf（x）（5）
dF（x）
μ dF[2]（x）
根据函数φ（x）取最大值的必要条件可知，函数φ（x）在x ＝μ时取最大值，并且它的二阶导数为正。因而，当x＝μ时，Lorenz 曲线和均等分布线之间的垂直距离最大。
上述的Lorenz曲线与在收入分配研究中经常利用的Pareto分布和对数正态分布有着密切的关系。
首先，Pareto分布和Lorenz曲线之间存在着以下关系：当收入分配x服从于Pareto（α，x）分布时，与其相对应的Lorenz曲线的纵坐标F[,h]（x）为1－（1－F（x））[（α－1）／α]。对此， 我们可以证明如下。在x≥x[,0]时，将Pareto分布定义如下：
x
F（x）＝1－（───）[－α]
（6）
x[,0]
根据Pareto分布定义可知其密度函数f（x）为αx[α][,0]x[－1－α]。注意到只有在α＞1时才存在平均收入
αx[,0]
μ＝────，
α－1
则Pareto 曲线的纵坐标F[,h]（x）就可以表示成以下形式：
从收入分配的实证结果看，Pareto分布能很好地描述高收入阶层的收入分配状况，但它不能很好地说明低收入阶层的收入分配状况，所以在实际分配中往往将Pareto分布用于描述高收入阶层的收入分配状况。
其次，对数正态分布和Lorenz曲线之间存在着以下关系：收入分配x服从均值和方差分别为μ和σ[2]的对数正态分布，利用对数正态分布的分布函数F[,σ]（x）可以将Lorenz曲线的纵坐标F[,h]（x ）表示成F[,σ]（F[－1][,σ]（F（x））－σ[2]）。对此可以证明如下。现在将与对数正态分布相对应的Lorenz曲线的纵坐标F[,h]（x）用以下公式表示：
和Pareto分布相反，对数正态分布适用于对中低收入阶层的收入分配状况的分析，但不适用于对高收入阶层的收入分配状况的分析。
如果与收入分配x[,A]相对应的Lorenz曲线L[,A]位于与收入分配x[,B]相对应的Lorenz曲线L[,B]之上，则认为收入分配x[,A] 优于收入分配x[,B]。在此，Lorenz曲线L[,x]位于Lorenz曲线L[,y] 之上的含义是指，对于任意的0≤z≤1存在关系式F[X][,h]（z）≥F[Y][,h]（z）。 通常，将Lorenz曲线L[,X]在Lorenz曲线L[,Y]之上表示成L[,x]≥L[,y]。
此外，我们也可以通过转移原理来讨论Lorenz曲线之间的相互关系。一般情况下，我们将转移原理定义为：如果在保持收入高低顺序不变，将相对收入高的阶层的一部分收入转移给相对收入低的阶层，则收入分配的不平等程度得到改善。现在用符号T[,x]≥T[,y]来表示，对于收入分配x和y，通过对收入分配x 运用有限次的转移原理可以使得收入分配x变得与收入分配y相同。Rothschild and Stiglitz[1973 ]证明了在收入分配x和y的平均收入相等时，从T[,x]≥L[,y]的成立可以推出T[,x]≥T[,y]成立的结论。当然，将转移原理运用到根据Lorenz曲线顺序所确定优劣的收入分配，则可以使得有优劣顺序的收入分配变成完全相同的收入分配。
需要注意的是，在两条Lorenz曲线不相交时，我们可以通过转移原理来确定与不同收入分配相对应的Lorenz曲线的优劣，但为说明两条相交Lorenz曲线所对应的收入分配的相互优劣关系，我们需要对Lorenz曲线进行适当的分解处理。
在两条Lorenz曲线的相交处（F（x[,0]），F[,h]（x[,0] ））将Lorenz曲线进行分解意味着将所要研究的收入分配分解成两部分，即下侧部分[0，x[,0]]和上侧部分[x[ ,0] ， ∞]。 现在将分解前的Lorenz曲线定义成以下形式。
则分解后Lorenz曲线的下侧部分L[,L]（x）和上侧部分L[,C]（x）可以分别表示如下。
需要注意的是，分解后的Lorenz曲线有以下性质：如果平均收入相等的两个收入分配x和y的Lorenz曲线在某点相交，则由该交点分割后所得到的收入分配的上侧部分和下侧部分的均值也相等。对上述性质可以通过以下步骤证明。现在假定两条Lorenz曲线在F（x[,0]）＝G（y[,0]）处相交，均值为μ[L][,F]的分布函数F（x）在x＜x[,0] 部分的分布函数表示成F[,L]（x），均值为μ[L][,G]的分布函数G（y）在y＜y[,0] 部分的分布函数表示成G[,L]（y）。此时，与分布函数F[,L]（x）和G[,L]（y）相对应的Lorenz曲线的纵坐标分别表示成以下形式：
由于在Lorenz曲线相交处有F[,h]（x[,0]）＝G[,h]（y[,0]），所以根据上式可知μ[L][,F]＝μ[L][,G]成立。根据同样方法可以证明分割后的收入分配的上侧部分的均值也相等。
从分割后Lorenz曲线的上侧部分和下侧部分的均值相等的关系出发，如果原来收入分配的均值相等，则我们对分解后的各收入分配进行评价是可能的。也就是说，在对Lorenz曲线相交的两个收入分配进行相对评价时，只要将原来的Lorenz曲线重新分成两条Lorenz曲线后就可进行相对评价。需要注意的是根据Lorenz曲线的相交位置，我们不能对分解前的收入分配和分解后的收入分配，处于何种位置关系作出确定性的判断。
在出现负收入时，Lorenz曲线会变成什么样呢？只要注意到即使出现负收入，公式（3）和（4）也应该成立的事实，我们就可以得到下表所示的结果。
包含负收入的Lorenz曲线
x-∞ 0μ∞
F(x)0 F(0) F(μ)
1
F＇(x)
- 0 + +
+
F[,h](x)0 
H(0)<0 
H(μ)
1
由于包含负收入的Lorenz曲线与表示累计人口百分比的横轴相交并保留一般Lorenz曲线所具有的性质，所以包含负收入的Lorenz曲线也能够作为评价收入分配状况的基准。根据Hanoch and Levy[1969 ]的研究， 含有负收入的各种收入分配之间的评价问题只不过是利用了具有F（－∞）＝0和F（∞）＝1性质的非减的右连续分布函数而已。 所以，存在负收入时，我们可以在（F（0 ）， H （0 ））处对收入分配y 的Lorenz曲线进行分割的基础上忽视负收入而仅对Lorenz曲线的上侧部分进行评价。这样，忽视负收入的Lorenz曲线可按以下公式定义：
为更好地对忽视负收入的Lorenz曲线进行考察，我们首先证明以下定理：分布函数在x[,0]∈[0，∞）和y[,0]∈[0， ∞）处满足F （x[,0]）＝G（y[,0]）的话，则等式G[,h(y[,0])≥F[,h(x[,0])成立。为证明上述定理，我们先定义以下函数：
F（y[,0]）－F（0）
F（x[,0]）＝G（y[,0]）＝──────────（13）
1－F（0）
利用上式与分布函数性质F（0）≥0和1－F（x[,0]）≥0 可以得到以下公式：
F（y[,0]）－F（x[,0]）＝F（0）[1－F（x[,0]）]≥0 （14）
根据上式可知，在x[,0]∈[0，∞）时，由于F（y[,0]）≥F（x[,0]）和函数F[,h]（x）是分布函数F（x）的增加函数，所以关系式F[,h]（y[,0]）≥F[,h]（x[,0]）成立。
从分布函数F（x[,0]）得到忽视负收入的分布函数G（x ）时， 对Lorenz曲线而言有关系L[,x]≥L[,y]存在。换言之，对满足F（x[,0]）＝G（y[,0]）的x[,0]和y[,0]，Lorenz曲线的纵坐标之间存在关系式G[,h]（y[,0]）≥F[,h]（x[,0]）。对此可以证明如下。在x[,0]≤0时，F[,h]（x[,0]）≤0成立，因而对于任何y存在F（y）≥0使得F[,h]（x[,0]）≤G[,h]（y[,0]），故能得到所需结论。在x[,0]≥0时， 注意到与分布函数F（x）相对应的收入分配的均值μ和与分布函数G（x）相对应的收入分配均值μG之间存在关系式μG（1－F（0））＝μ， 并且利用性质F[,h]（y[,0]）－F[,h]（x[,0]）＞0和F[,h]（0）＜0可以得到以下关系式：
F[,h]（y[,0]）－F[,h]（0）
G[,h]（y[,0]）－F[,h]（x[,0]）＝─────────────
1－F（0）
μ
·───－F[,h]（x[,0]）
μG
＝F[,h]（y[,0]）－F[,h]（x[,0]）－F[,h]（0）＞0（15）
需要注意的问题是利用忽视负收入的Lorenz曲线来分析收入分配时存在夸大收入不平等度的倾向。所以，利用Lorenz曲线对收入分配不平等度进行分析时需要特别注意负收入的问题。
通常，收入分配分析往往不假定收入分配服从何种分布而直接利用Lorenz曲线。这个做法的合理性不仅在于通过转移原理可以将Lorenz曲线正当化，而且在于可以从社会福利函数角度对Lorenz曲线进行正当化。Atkinson[1970]指出，如果f（x）和g（y ）分别表示与收入分配x和y所对应的密度函数，在收入分配x和y的平均收入相等， 并且效用函数U为凹函数时，存在以下关系式：
上述结果也被称为Atkinson命题。 根据Atkinson命题可知， 如果Lorenz曲线不相交，在非常一般的条件下，根据社会福利函数对收入分配进行优劣评价和根据Lorenz曲线对收入分配进行优劣评价所得到的结论是一致的。虽然以Atkinson的命题为契机，我们能就社会福利函数和Lorenz曲线的关联性问题进行一般讨论，但在现实生活中，往往是需要对平均收入不同的两个收入分配状况进行比较分析。
在理论上，由于Lorenz曲线的纵轴为收入累计百分率，如果社会成员的收入按照同等比例发生变化的话，Lorenz曲线的形状也不应该发生变化；所以可将两个收入分配中的一个收入分配状态中的所有成员的收入转化为另一个收入分配状态中的所有成员的收入的常数倍而进行分析。需要指出的是，在绝对收入型的社会福利函数的基础上，利用Lorenz曲线可以对平均收入不同的收入分配进行评价。
根据Lorenz曲线来分析收入分配的优劣时，如果不同的Lorenz曲线发生相交，则可能出现不能判定各收入分配优劣的情况。由于人们通常对优劣的判断是模糊的，同时偏好关系也不一定能如终保持完备性，所以对收入不平等进行价值判断是必要和不可避免的，这也意味着Lorenz曲线的相互位置关系包含着严格的价值判断成份。
尽管根据Lorenz曲线的相互位置关系对收入分配进行评价在某种程度上具有可取之处，但通过Lorenz曲线对收入分配进行评价也存在着一些不足之处。为消除Lorenz曲线的不足之处，通过测算Lorenz曲线和均等分布线所围面积或最大距离来对收入分配进行评价。此外也可以考虑用Lorenz曲线的长度作为测算收入分配不平等的尺度。以下从收入转移原理的角度对以上提到的各种收入分配的不平等尺度进行简单的探讨。
在收入分配的不平等尺度中最常使用的是Gini系数，而且Gini系数是以Lorenz曲线和均等分布线所围面积作为收入分配的不平等尺度。一般情况下，收入为连续变量的Gini系数G可以定义成以下形式：
如果存在负收入，只要平均收入μ大于零，则可以根据上式将Gini系数G定义成以下形式。
与通常的Gini系数相比，允许负收入存在的Gini系数G不一定满足0≤G≤1的条件，存在G大于1的可能性。
直观上，也可以将Lorenz曲线和均等分布线的纵向距离作为收入分配的不平等尺度。通常与平均收入μ相对应的Lorenz曲线和均等分布线的纵向距离定义成Schutz系数S，它可以表示成以下形式：
S＝F（μ）－F[,h]（μ）
（19）
尽管收入分配的不平等尺度的Schutz系数S 也适用于包含负收入的情形，但和Gini系数一样，它也有可能不满足条件0≥S≥1。
此外，以Lorenz曲线的长度l 作为收入分配不平等尺度也是可能的。一般情况下，Lorenz曲线的长度l可通过以下公式计算得到。
可以证明，Lorenz曲线的长度l的最小值为
，最大值为2。为使收入分配的不平等尺度能处于0和1之间， 我们将收入分配不平等尺度L 定义成以下形式，使其满足条件0≤L≤1。
这样，根据Lorenz曲线的长度来定义的不平等尺度L 可表示成以下形式。
在存在负收入时，上述的收入分配的不平等尺度L 可以相应地表示成以下形式。
在Lorenz曲线不相交时，上述的三个收入分配不平等尺度互不矛盾，但各种收入分配不平等尺度所包含的价值判断是互不相同的。具体地说，各种不平等尺度的着重点是不同的收入阶层，根据对不同收入阶层分别重视程度的差异，我们定义了上述各种不同的收入分配的不平等尺度。为了更好地通过收入转移对各种不平等尺度的影响来说明上述各种不平等尺度间的差异，首先将加法分离型尺度函数θ（x）定义成
∑V（x[,i]）
。根据尺度函数θ（x）的定义，经济主体的收入x[,i]和x[,j] 之间的收入转移所导致的尺度函数θ（x）的变化可通过以下公式表示：
由于经济主体间的收入转移而导致的不平等尺度的变化可通过尺度函数θ（x）来衡量，故利用尺度函数θ（x）又可得到以下结论。如果收入分配的不平等尺度θ（x）定义成
时，由于收入分配从x变化到x－h而引起的收入分配不平等的变化T（x）可通过函数V（x）表示为V＇（x ）－V＇（x－h）。
利用以上所定义的尺度函数θ（x ）并考虑收入转移对收入分配不平等尺度的影响，可对上述三个不平等尺度的价值判断问题表述如下。首先，根据Gini系数的定义可得到以下公式。
这样，与Gini系数相对应的函数V（x）可定义为以下形式。
21
V（x）＝──x[F（x）－──]
（26）
μ2
根据转移原理，不同收入阶层之间的收入转移不改变收入高低的顺序，所以累计人口百分比F（x）不受收入转移的影响，这样我们可得到以下公式。
2
1
V＇（x）＝──[F（x）－──]（27）
μ
2
因而与Gini系数相对应的收入转移效果就可通过下式所示的函数T[,G]（x）来评价。
2
T[,G]（x）＝──[F（x）－F（x－h）] （28）
μ
由上式可知，Gini系数的变动程度对发生收入转移对象间的分布密度有很强的依存性，这也就是所谓Gini系数只能反映在最常见值附近的收入转移效果。
其次，根据Schutz系数的定认可以得到以下公式。
同样地，也可以将与Schutz系数相对应的函数V（x）定义如下。
┌ μ－x
│──， x≤μ
V（x）＝│ μ （30）
└0， x＞μ
因此，与Schutz系数相对应的收入转移效果也就可以通过下式所示的T[,S]（x）来评价。
┌ 1
T[,s]（x）＝│──， μ≤x≤μ+h
│ μ （31）
└0，
其他
从上式所示的T[,s]（x）可知，收入转移并不一定导致Schutz系数的下降，只有在平均收入附近的收入转移才会影响到Schutz系数的变化。因此，Schutz系数可以理解为完全忽视平均收入附近以外的收入转移的收入分配不平等尺度。
根据以上分析方法，同样可以得到与不平等尺度L 相对应的衡量收入转移效果的指标T[,L]（x）。如果将与不平等尺度L所对应的函数V（X）定义成以下形式。
则，和与不平等尺度L相对应的衡量收入转移效果的评价函数T[,L]（x）就表示成以下形式。
对上述评价函数T[,L]（x）中的变量x求导后可以得到以下结果。
根据上式可知在x＞0时有T＇（x）＜0。 这就意味着：在不平等尺度L中， 正的收入转移在很大程度上受到来自低收入阶层间的收入转移的影响，但这种影响随着总体收入水平的提高而减小。
根据以上分析可知，基于Lorenz曲线的三种收入分配不平等尺度蕴涵着究竟重视哪个收入阶层的价值判断问题，所以，在使用某种收入分配不平等尺度来分析具体收入分配问题时需要注意其指标所蕴涵的价值判断标准。