《情境数学》的内容及其特点——案例十一则，本文主要内容关键词为：情境论文,案例论文,数学论文,内容论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《情境数学》(Mathematics in Context)是1998年由美国Encyclopaedia Britannica出版公司出版的一套供五年级至八年级学生（10～14岁）使用的数学教材。这是一套出版时间不长，却非常有特色的教材。本文将结合五年级的具体内容对这套教材的特色进行说明。
一、《情境数学》的整体结构
《情境数学》是供五年级至八年级学生使用的，包含4个领域：数、代数、几何和统计。每个年级有10个单元，每个单元1册，4个年级共40个单元40册。下表呈现了五年级10个单元的内容。
数代数 几何统计
分数运算 模式与符号
视图图形与信息机会和可能性
五年级
小数 正数和负数
坐标与方法
比百分比
二、《情境数学》（五年级）的基本内容
1.数
这一领域包括4个单元：分数运算、小数、百分比、比。通过分数运算这一单元5个部分内容的学习，学生可以理解分数的意义，学会比较分数的大小，会进行分数的加、减、乘、除四种运算。小数这一单元是让学生学习和小数有关的一些概念，体会小数与分数之间的关系，会进行小数的加、减法运算，并培养学生对于小数的数感。百分比这一单元则让学生理解百分比是用来表示部分与整体之间的关系，理解分数、百分数与比例之间的关系，学会计算百分比的一些策略。通过学习比这一单元，学生可以对比例这个概念有所感知，能够估计或计算出比例扩大或缩小之后的结果。
案例一（摘自分数运算）：
Juan和朋友想做一些甜点。然而按照食谱（如图1所示）所提供的分量做，仅仅够4人享用。因此，Juan列了一张表，以得到当人数不是4人时每一种配料所需的分量。
(1)完成图2的表格。
(2)要做10杯酸奶酪，每种配料各需多少？请写出两种方法。
图1
图2
食谱在我们的现实生活中是比较常见的，而用食谱来学做菜也是人们常用的一种方法。在运用食谱时，最重要的就是每一种配料的分量不能有偏差，而如何根据具体的人数来确定每一种配料的分量就是我们要解决的一个实际问题，这就引出了分数的乘、除法运算。图2这种形式的表格是进行分数运算的一种工具，它给学生提供了一种开放的结构，因为在完成这张表格的过程中并没有限制顺序，学生可通过将某列数翻倍（或减半），将一列数同时乘以（或除以）同一个数，或将两列数相加（或相减）而得到另一列所需求的数的方式来完成图2。这一案例发展了学生运用不同策略进行分数运算的能力。
案例二（摘自小数）：
1992年的夏季奥林匹克运动会在西班牙的巴塞罗那举行。图3的表格给出了女干200米和400米决赛的部分成绩。图4展示了其中一种比赛冲刺阶段的画面。
(1)图4所进行的比赛是200长比赛还是400米比赛？说明你的理由。
(2)你认为女子100米的决赛成绩应是多少？说明你的理由。
200米
400米
Torrence
21.81秒
Perec
48.83秒
Cuthbert
22.02秒
Bryzgina49.05秒
Ottey 22.09秒
Caviria 49.64秒
图3
图4
运动成绩（如跳高、短跑的成绩等）中包含了许多小数，它们都是学习小数的好素材。案例二考查了学生对于位值以及位值在小数排序和比较大小时的作用的理解，还考查了学生能否选择适当的策略解决涉及小数问题的能力。
案例三（摘自小数）：
少年歌手进行决赛时，几乎所有选手的得分都在9分以上。Grace是第一个参赛的选手，他的最后得分是9.9分。Fernando是第二位参赛的选手，评委们认为他的表现比Grace稍好一些，但又不想给他10分，
(1)你认为评委们会给Fertando多少分？
(2)评委们认为Robert的得分恰好介于Grnce和Fernando正中间，Robert的得分是多少？
(3)Miwa的得分是8.9分，将这四个人的得分按大小排列，谁将赢得这场比赛？
这个场景的设计很自然地引入了小数点后有三位数的小数的学习（当Fernando的得分是9.91、9.93……时），并且是层层递进的,预赛时出现的小数，小数点后只有一位小数，半决赛时小数点后则出现两位小数，而决赛时则更进一步。另外，这些小数的出现都是出于实际的需要，学生通过自己的思考而得出的。
案例四（摘自百分比）：
第一到第六停车场都属于同一家公司。公司经理想知道哪些停车场经常是满的或几乎是满的，由此扩建一些停车场，关闭那些经常接近于空的停车场。他比较了这六个停车场某天同一时刻的停车记录，结果如图5所示。
图5
(1)运用有阴影的条形图写出每一个停车场停车数与总的车位数之比。
(2)运用有阴影的条形图表示出每一个停车场停车数占总的卑位数的百分比。
(3)①基于以上信息，你将扩建（关闭）哪些停车场？
②（略）
③这样一种用来决定是否扩建或关闭停车场的方法是好的方法吗？
这一场景引出了有阴影的条形图这一模型，这种模型可以帮助学生更好地理解百分数的相对性，同时发展了学生利用一定信息作出决策的能力。
案例五（摘自百分比）：
图6显示了比赛前、比赛中、比赛后两队各自的球迷到场人数占各队比赛时在场球迷总人数的百分比情况。
(1)哪一幅图表示的是Dodgers队球迷的到场情况？哪一幅图表示的是Giants队球迷的到场情况？你为什么这样认为？
（注：Dodgets队的在场球迷多，Giants队的在场球迷少）
图6
(2)比赛是在Dodgers的体育馆进行的，Giars队的球迷与Dodgers的球迷人数之比是2:23，所以两队在场的球迷人数差别是非常大的。然而，这两幅图看起来却非常相似，为什么？
以上问题考查了学生从图表中读取数据、获得信息的能力，还体现了百分数表达的相对性。
（注释：图6中横轴表示时间，以分为单位，其中横轴上的0表示比赛前半小时，相应的横轴上的30表示比赛前1小时，依此类推；纵轴表示体育馆中两队各自的球迷到场人数占各队比赛时在场球迷总人数的百分比）
案例六（摘自百分比）：
Mr.Buder是Elbonian政府的一名官员，他的工作是将援助基金送到发展中国家，他因此可以得到援助基金1%的佣全。而现在Elbonian政府的资金去向出了问题。Mr.Butler被控告拿走了30亿美元的佣金， 而他所应得的佣全应该是6000万美元。
一个秘密侦探成功地邀请到了Mr.Butler共进晚餐。
他们的餐费是20美元，Mr.Butler声称要给服务员餐费的15%作为小费。首先他给服务员1美元，并说这是他所付的5%的小费，然后，他又掏出1角硬币.并解释说：“这是另外的10%的小费，总共是15%的小费。”
服务员目瞪口呆，Mr.Butler则得意地看着服务员。突然，侦探跳起来说：“哈哈，现在我知道钱到哪里去了！你等着被捕吧！”
(1)侦探凭什么断定Mr.Butler有罪？在你的笔记本上写下你的答案，答案要尽可能完整，以便在审讯Mr.Butler的案件时检察官可以应用。答案包括你所知道的关于百分数的重要信息，以便于检察官能够说服陪审团。
(2)Mr.Butler可以通过什么样的方式为自己辩护？
学生通过阅读教科书上所提供的侦探故事，运用他们已有的知识和对百分数的理解，可以解释故事中的侦探为什么控告Mr.Butler窃取厂用于国际援助的基金。这一情境考查学生能否正确使用百分数以及对于百分数相对性的理解，并了解百分数、分数、比例都是用作比较的一种工具，同时，还培养了学生书面表达的能力。
2.代数
这一领域包含2个单元：模式与符号、正数和负数。模式与符号这一单元可以让学生接触到各种模式，并学会用符号去表征这些模式，使其具有一般性。正数和负数这一单元让学生在实际情境中认识负数，了解负数的意义，会在正数和负数之间做加法运算，会表示正数和负数并加以解释。
案例七（摘自模式与符号）：
蛇的尾部有许多相互间隔的彩色的环，最简单的模式是“黑——红——黑”（用BRB表示）。这些环会随着蛇的年龄的增大而不断扩展。其中，黑色的环保持不变（即B→B），而在红色的环的中间会生出一个黑色的环来（即R→KBR）（如图7所示），如此循环不断。（书中注明：所提到的蛇并非真的，但它们看起来像一些真的蛇，如有毒的银环蛇。学这样一种模式是有用的，因为能够学会识别一些毒蛇）
(1)①观察图8所示的表格，并完成它。
②观察你完成的表格，每一行中红色环的数量与黑色环的数量之间有什么关系？
③你能预测经过6次扩展后环的数量吗？
(2)当然，任何一种蛇身上的环的数量都是有限的。但是，如果没有长度的限制，有可能找到一条蛇，它身上的环的数量是偶数吗？
(3)一条蛇有128个红色的环，那么这条蛇身上一共有多少个环？
(4)另一条蛇有255个黑色的环，那么这条蛇身上一共有多少个环？
(5)这种蛇身上可能有499个环吗？为什么？
为了完成上面的表格，有些学生可能通过画图或列举的方式来探索，而有些学生则可能通过寻找表中所提供数据之间的关系来解决，即通过寻找规律来完成。事实上，蛇身上红色环的数量构成等比数列，黑色环的数量则比红色环的数量少1，但此处并不要求学生知道等比数列这个概念，也不要求用公式表达，只要学生能用自己的语言来描述这种规律即可。
图7
图8
3.几何
这一领域包含2个单元：视图、坐标与方位。通过视图这一单元的学习，学生能够辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置，探索三维空间的物体与其平面图之间的关系，会画一些几何体的三视图。在坐标与方位这一单元，学生将学会用东、南、西、北等方位词来描述物体的位置，通过城市地图和雷达屏幕等初步接触直角坐标系和极坐标系，并学习各种确定物体位置的方法，通过飞机航向学习角度的表示和测量，这些都为解决几何问题打下了基础。
案例八（摘自坐标与方位）：
在图9中，任意两个相邻圆周之间的距离都是5英里，例如，飞机G离监控中心的距离是25英里，飞行方向是70°，则用记号70°/25英里来描述飞机G的位置。
观察图9的雷达屏幕。
(1)哪些飞机到机场的距离相等？（其中圆心表示机场）
(2)哪些飞机的飞行方向一致？
(3)在你的笔记本上画一张表格（如图10所示），将所有飞机的位置在表格中表示出来。
过了不久，一些飞机改变了它们的所在位置。
飞机A 向机场所在方向飞行了10英里
飞机B 向机场所在位置的相反方向飞行了5英里
……
(4)将这些飞机现在的位置在图中表示出来。
图9
图10
在传统教材中，到高中阶段才接触到极坐标，而上述案例通过空中交通管制员所观测的雷达屏幕，很直观地引入了极坐标系这一内容，让学生对极坐标有一个初步的感性认识。
案例九（摘自坐标与方位）：
一架飞机在某森林上空消失了。一个护林员说他在位置1处看见飞机消失前的飞行方向是200°。而飞行员在消失前报告说有一小镇（位置2）在飞机的正西方。
你认为营救人员应去哪个位置搜寻这架飞机？在图11中标出来。
图11
在平面上确定物体位置的方法有很多种，如通过距离和距离（直角坐标系）、距离和方向：（极坐标系）。而上述案例则提供了确定物体位置的另一种方法，那就是当两个固定点的位置已确定，而且已知物体相对于这两个固定点的方向，那么就可以通过这两个已知的方向来确定物体位置。它考查了学生综合运用方向、角等知识解决问题的能力。
4.统计
统计这一领域包含2个单元：图形与信息、机会和可能性。在图形与信息这一单元，学生将接触到几种统计图表：条形统计图、折线统计图、扇形统计图、象形统计图，学会用表格或图画的形式描述数据，在交流时能用数据来说明白己的观点。在机会和可能性这一单元，学生将通过抛硬币、掷骰子等游戏了解可能性、公平的意义，能够计算简单事件发生的概率，通过大量重复的实验估计事件发生可能性的大小，能用树状图表示简单事件所有可能发生的结果。
案例十（摘自机会和可能性）：
Hillary掷一个均匀的骰子很多次（骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），各个数宇朝上的次数如图11所示。
(1)不巧的是，Hillary的钢笔漏墨水，弄脏了这张表格，你能够估计数字“6”朝上的次数吗？请解释你的理由。
(注释：图11中第一行表示骰子上的数宇，第二行人示各个数字朝上的次数)
掷骰子本身并非一个新颖的题材，但通过上题的设计，考查了学生对于可能性和概率意义的理解，使学生对于基于理论所得的结果和试验所得结果之间的差异有了进一步的认识。当经过大量实验之后，所得的结果就会越来越接近理论值。
案例十一（摘自机会和可能性）：
Hillary、Robert、Kevin通过玩出拳的游戏来决定胜负，胜负情况如图12所示：
(1)请描述另一种没有赢家的情形。
(2)在这个游戏中一共会出现多少种情形？请列出尽可能多的组合。
(3)你认为这种决定胜负的方法是公平的吗？为什么？
图12
这一场景我们并不陌生，尤其当人数较多而又只能挑选出一人时，我们通常采取出手掌的方式决出胜负，只不过我们采用的是手心和手背的方式。要作出一个公平的决定，方式有很多，比如，抛硬币、转转盘等，而利用手却是一种最方便、最迅速的方式。
三、《情境数学》的特点及可供借鉴之处
由上述有限的几个案例，我们可以发现，《情境数学》的呈现方式非常简单，那就是“情境+问题串”，即将情境作为学习新知识的切入点，通过对一连串问题的探讨，逐步展开相应内容的学习。
《情境数学》中的案例都是以现实生活为基础的，涉及现实生活的方方面面，并且都是学生所熟悉的。通过这些情境的展现，不仅让学生充分感受数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的，是学生兴趣产生的源泉，而且可以使学生对数学、对生活、对世界有一个科学的认识。
《情境数学》中的素材在生活中很常见，甚至有时是非常普通的，普通到你会习以为常、视而不见，但是它们却跟要学习的数学内容非常切合，而且其中包含着大量真实、有说服力的数据，如上述案例中的食谱、短跑比赛成绩等。这就提示我们，数学课并不缺少素材，素材其实就蕴涵于我们所生活的世界中，无处不在，关键是我们要有敏锐的数学直觉，善于用数学的眼光去看待周围的世界，将这些虽然普通但却与数学密切相关的东西挖掘出来。
《情境数学》是以问题串的形式展开对数学的学习。教材中没有严格的定义、定理、公式，除了情境之外，紧接着就是一连串的问题。学生通过问题的解决去认识、理解和发现数学关系，学习如何使用数学语言，发现蕴涵在丰富情境中的一些基本数学模型，体会知识的形成和应用过程。也就是说，学生解决问题的过程就是数学学习、数学应用的过程。这种问题串的形式有助于学生从自己的已有经验出发，运用自己的方式和策略，通过交流和讨论的学习方式使问题得以解决，并建立起符合自身认知特点的知识结构。