同一数学规则不同教学处理的有效性分析，本文主要内容关键词为：有效性论文,规则论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学规则也称为数学命题（数学定理），反映的是若干个数学概念间的关系.数学规则学习和掌握的关键是获得数学概念之间关系的理解，而数学概念之间关系的理解又依赖于新规则与原有认知结构中相关知识的联系.
一、数学规则的学与教的基本方法
数学规则的教学有两种基本形式：“例—规法”，“规—例法”.“例—规法”指先呈现数学对象的若干例证，再引导学生从例证中概括出数学对象的共同关键属性.运用“例—规法”进行教学时，学生需要经历：正反例辨别、提出假设、检验假设、进行概括等系列认知过程.这时，学生是在课堂情境中进行有指导的发现学习.“规—例法”则指把要学习的数学规则直接呈现给学生，学生利用已有知识加以理解，然后教师指导学生在具体实例中加深认识.这种教学法往往属于接受式学习，使用的前提条件是学生已经掌握了构成规则的概念，头脑中具有理解概念定义和规则的相关知识经验.当学生认知结构中具备上位规则后，学习与之相关的下位规则时，采用“规—例法”教学，则效果较好.
二、同一数学规则的不同教学过程研究
数学规则在高中数学中俯拾皆是，提升数学规则学与教的有效性是一线教师极其关注的热点问题.下面以函数零点存在性判定定理的学与教为例，分析三种不同教学处理的特点.
（一）函数零点存在性判定定理的学与教的基础
1.相关概念及其关系
函数零点是当函数f（x）的值为零时相应的自变量x的取值，也是函数图象与x轴的交点的横坐标.如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f（a）·f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，这就是函数零点存在性的判定定理，它是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.
需要注意的是，函数零点存在性判定定理只能判断函数在给定区间上是否存在零点，但不能确定零点的个数；若需要进一步确定零点的个数，还必须结合函数的单调性等性质进行进一步的推理.另外，函数零点存在性判定定理的逆命题、否命题均不成立.
2.学生学习的起点知识与技能
函数零点存在性判定定理安排在高中数学必修1模块的第三章《函数的应用》第一节，学生在初中已经学习过一次函数、反比例函数、二次函数，进入高中后又研究了一些基本初等函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数等），具备一定的看图识图能力，这为学生利用图象判断函数零点的存在性提供了相关的知识与方法基础，学生比较容易从具体实例中感知到函数零点存在性的判断方法.
但是，由于尚未学习函数连续性、简单逻辑用语等知识，学生对函数零点存在性判定定理的理解常常不够深入，需要教师引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围.
3.函数零点存在性判定定理在知识网络中的位置
函数零点存在性判定定理是用二分法求方程近似解的理论基础，它借助图象把函数与方程有机地联系起来，开辟了不能用公式法求根的解方程的新途径.因此，该定理的学习属于上位学习，适合采用“例—规法”或“例—规—例法”组织教学.
由于这一判定定理目前尚不能给予严格的证明，学生对该定理的理解深度很大程度上依赖于教师提供的具体例证是否丰富与典型，因此，教师需要在例证方面进行精心挑选与组织.
（二）函数零点存在性判定定理的三种教学处理
下面的三种教学处理均节选自“方程的根与函数的零点（第一课时）”，只是展现函数零点存在性判定定理的习得过程，略去了定理的巩固、应用与迁移等学习环节.
1.第一种教学处理
教学环节1（由特殊到一般搭建研究支架）
例1 画出二次函数f（x）=
-2x-3的图象，根据图象填空：
（1）在区间[-2，1]上有零点________，f（-2）=________，f（1）=________，f（-2）·f（1）________0（填“＜”或“＞”）；
（2）在区间[2，4]上有零点________，f（2）·f（4）________0（填“＜”或“＞”）.
例2 观察函数f（x）的图象（如图1），填空：
（1）f（a）·f（b）________0（填“＜”或“＞”），在区间[a，b]上________（填“有”或“无”）零点；
（2）f（b）·f（c）________0（填“＜”或“＞”），在区间[b，c]上________（填“有”或“无”）零点；
（3）f（c）·f（d）________0（填“＜”或“＞”），在区间[c，d]上________（填“有”或“无”）零点
师生活动：学生在工作纸上填写答案，教师巡堂，检查学生的作答情况.学生很快作答完毕，解答基本无误.
教学环节2（正例辨别，提出假设）
问题1-1：根据例1与例2，你可以猜想出函数什么时候存在零点呢？
师生活动：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系.学生结合函数图象，很快就总结归纳出函数若满足f（a）·f（b）＜0，则在区间[a，b]上存在零点.
因此得出假设1：若函数y=f（x）在区间上满足f（a）·f（b）＜0，那么函数在区间[a，b]上存在零点.
教学环节3（反例辨析，完善假设）
问题1-2：请考查函数y=
在区间[-a，a]（a＞0）上是否存在零点？能不能对假设1进行完善？
师生活动：学生发现，函数y=的图象在x=0处断开，且图象分布在第一、三象限，与x轴无交点，因此无零点.而例1与例2中的函数图象在相应区间上都是连续不断的，因此，能够保证f（a）与f（b）异号时，图象与x轴相交.
所以，完善假设1，得到假设2：若函数y=f（x）在区间上的图象是连续不断的曲线，且满足f（a）·f（b）＜0，那么函数在区间[a，b]上存在零点.
教师进一步指出，假设2即为函数零点存在性的判定定理.
教学环节4（定理适用条件与范围的辨析）
问题1-3：若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）＜0，要想函数f（x）在x∈[a，b]上只存在一个零点，是否还需要添加限制条件？为什么？
师生活动：教师提醒学生观察例1与例2的图象，学生很快就发现，只需要再添加“y=f（x）在区间[a，b]上单调”，即可以保证f（x）在x∈[a，b]上只有一个零点.
2.第二种教学处理
教学环节1（激活旧知识，为新知识学习做好铺垫）
例3 请画出下列函数的简易图象，判断其是否存在零点，若存在求出其零点.
师生活动：学生独立完成该问题的过程中，教师巡堂，并邀请四位学生在黑板上分别板演这四个小题，然后，师生共同解决了这四个问题.第（4）题部分学生没有顺利画出图象，在教师和其他学生的帮助下，这一问题也得以顺利解决.这四个图象一直完整保留在黑板上（如图2）.
教学环节2（明确探究方向，由具体到一般展开合理猜想）
师生活动：对于问题，学生由指数函数的性质知y=
的图象始终位于x轴上方，与x轴没有交点，故无零点；而y=的图象也与x轴没有交点.另外两个函数的图象与x轴有交点.因此，函数是否有零点关键看其函数图象是否与x轴相交.
对于问题2-2，学生很快得出当x由0.5增加到2时，函数值由-1增加到1，图象从x轴下方连续地到达x轴上方，自然与x轴有交点；由此直观猜想：区间两个端点的函数值一正一负.
对于问题2-3，学生发现区间两个端点的函数值哪个为正、哪个为负是次要的，只需要满足函数值异号即可，用数学语言进一步概括，就变成了当x∈[a，b]时，必须有f（a）·f（b）＜0.
教学环节3（概括提炼本质属性，完善猜想）
问题2-4：对于函数y=f（x）而言，如果当x∈[a，b]时有f（a）·f（b）＜0，那么f（x）在x∈[a，b]上是否一定存在零点呢？
师生活动：学生观察黑板上四个图象，发现，对于y=，当a＜0且b＞0时，恒有f（a）·f（b）＜0，但y=并没有零点.
问题2-5：对于函数y=f（x）而言，除了当x∈[a，b]时有f（a）·f（b）＜0外，还需要增加什么条件，f（x）才能在x∈[a，b]上一定存在零点呢？
师生活动：学生发现当a＜0且b＞0时y=在x∈[a，b]上的图象不连续，而其他两个有零点的函数在存在零点的区间上图象都连续，因此，学生概括出增加“图象连续”的条件至此，函数零点存在性的判定定理就得出来了，教师进行完整的板书与讲解.
教学环节4（定理适用条件与范围的辨析）
问题2-6：若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）＜0，要想f（x）在x∈[a，b]上只有一个零点，是否还需要添加限制条件？为什么？
师生活动：教师提醒学生观察例的四个图象，学生很快就发现，只需要再添加“y=f（x）在区间[a，b]上单调”，即可以保证f（x）在x∈[a，b]上只有一个零点
3.第三种教学处理
教学环节1（创设问题情境，激发认知冲突）
问题3-1：解方程lnx+2x-6=0可以转化为求函数f（x）=lnx+2x-6的零点.那么怎样判定函数f（x）=lnx+2x-6是否存在零点？若存在零点，零点有几个？怎么求出函数零点的个数呢？
师生活动：教师引导学生思考，函数零点就是函数图象与x轴交点的横坐标，可以从图象的角度寻找解决问题的突破口.不妨将问题缩小到在区间[a，b]上来探索.自变量在区间端点取值时，若相应的函数值均不为0，则可以分为四类情况，如下面的问题3-2.
教学环节2（构建图象案例，进行辨析与归类）
问题3-2：已知函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且过点A（a，f（a）），B（b，f（b）），请在下列四个坐标系中分别作出函数y=f（x）的一个可能图象.然后思考：哪种情况，函数y=f（x）在区间（a，b）上一定有零点？为什么？
师生活动：学生在教师发的工作纸上动手画图，教师巡堂，然后挑选出具有典型性与代表性的四个学生的工作纸，把它们的图象用实物投影机放出来，引领全班学生进行对比分析.在图3（1）中，两位学生画出的图象与x轴无交点，一位学生画出的图象与x轴有两个交点，还有一位学生画出的图象与x轴有多个交点（如图4）；图3（2）的情况与图3（1）类似；图3（3）的则出现了画出的图象与x轴有一个交点、多个交点的情况（如图5）；图3（4）的情况与图3（3）类似.
经过对比与分析，学生提炼出图3（1）和图3（2）的条件下可能有零点也可能无零点，但图3（3）图3（4）的条件下一定有零点，但零点的个数可能是1个，也可能是多个，这是因为A、B两点分布在x轴的上、下方，图象必须穿过x轴.
教学环节3（基于正反例，概括提炼本质属性）
问题3-3：对于函数y=f（x）而言，如果在x∈[a，b]时图象是一条连续不断的曲线，那么还需要添加什么条件，f（x）在x∈[a，b]上才一定存在零点呢？
师生活动：学生经过讨论，很快得出f（a）与f（b）必须异号，进一步用f（a）·f（b）＜0来刻画.
问题3-4：如果去掉“在x∈[a，b]时图象是一条连续不断的曲线”，仅仅根据f（a）·f（b）＜0，能不能判定y=f（x）在区间x∈[a，b]上一定存在零点呢？
师生活动：学生很快发现，图象只需要在与x轴的交点处断开，结论就不成立了.然后，教师又补充了反比例函数y=的例子.这样学生对“函数连续”这一条件有了深刻的认识.
至此，判定函数零点存在性的两个条件“图象连续”“（区间）端点（的函数值）异号”（简称端点异号）就全部概括出来了，教师再进行完整的板书与解释.
教学环节4（定理适用条件与范围的辨析）
问题3-5：若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）＜0，要想f（x）在x∈[a，b]上只有一个零点，是否还需要添加限制条件？为什么？
师生活动：教师提醒学生观察图5（1），学生很快发现，只需再添加“f（x）在区间[a，b]上单调”，即可以保证f（x）在x∈[a，b]上只有一个零点.
（三）三种教学处理的对比与分析
在组织教师进行观课与议课研讨时，上述三种教学处理都取得了良好的教学效果，也得到观课教师们的一致肯定.
1.三种教学处理均采用“例—规法”组织学生开展规则学习
教学处理1从学生在初中较熟悉的二次函数入手，采用填空的方式明确问题探究的方向，即图象与x轴的交点、交点横坐标所在区间端点的函数值符号，二者之间可能存在的联系；在此基础上，从图象的角度把二次函数拓展到一般函数，再次检验用二次函数得出的猜想是否仍旧成立；然后用反例说明先前猜想中存在的不足，完善猜想；从而概括出判断方法的本质特征得出判定定理.这种研究思路借助从具体到一般的正面实例突出判断函数零点存在性的关键因素，利用反例凸显判定条件的不可或缺，完善学生对判定条件的认知，学与教的思路自然流畅.
教学处理2从学生在高一学习的指数函数、对数函数、幂函数与分段函数等知识入手，创设问题情境，构建正例与反例，提炼出问题“函数什么条件下有零点”，引导学生展开探索；教师通过问题变式指导学生围绕函数零点存在性从多个角度研究四个具体实例，不断归纳概括函数零点存在的条件，做出猜想，又不断修正、完善猜想，直至得出判定定理.这种学与教的处理找准学生认知的“最近发展区”，较好地沟通了新旧知识间的联系.
教学处理2从求解超越方程无公式可依入手，引发学生认知冲突，激起学生学习新知的欲望；然后将解方程问题转化为判断函数图象与x轴是否相交问题，指明研究问题的方向；接下来师生共同设计研究方案，学生动手画出丰富多样的函数图象，教师精选典型且多样的正面实例，引导学生展开观察，分析同一条件下各种图象的共同特点，不同条件下各种图象间的内在联系，再抽象概括出“端点异号”共同本质属性；然后借助反例加深对条件“图象连续”的认知，从而归纳得出函数零点存在性的判定方法.这种学与教的处理体现了上位学习的关键要素，很好地激发了学生的学习潜力.
2.三种教学处理从不同角度体现出教师在教学艺术上的创造性
数学规则的学习体现出数学思维的特点，其中蕴含的数学思想方法孕伏于从实例中分析、抽象、概括、归纳出规则的系列研究过程中.虽然函数零点存在性的判定定理是确定的，但是条条道路通罗马，学生可以在教师的帮助下从各种途径获得对这一判定定理的认知，而且这些认知途径与过程的沿途可以处处都是风景、景观处处入胜，这样的课堂才体现出教师高超的教学技术与迷人的教学艺术.
本文中对于函数零点存在性的判定方法的三种教学处理体现出执教者对教学内容的深刻理解、对教学素材的精心挑选、对教学规律的准确把握、对教学程序的精心组织，也体现出教师对学生学习规律的深入钻研.三种教学处理都是从学生学习有效性的角度，遵循上位学习的特点，既从知识结构的角度清晰体现数学规则内在的逻辑关系，揭示数学学科的特点，又关注学生学到什么数学知识，更关注学生学习的这些知识在其发展过程中所起的作用.这样的教学才能培养出真正热爱数学的人.
三、数学规则的学与教应注意的几点问题
数学规则的学与教一般都要经过规则的引入、规则的建立、规则的巩固与运用等三个阶段，研究规则的教与学时，以下问题仍需要给予高度关注.
（一）规则的发现法学习与规则的接受法学习都很重要
虽然本文给出的三个案例都采用发现法组织数学规则的学与教，但这并不表明发现法比接受法优越.具体采用哪种教学方法，与学习内容有关.例如，在研究交集的性质时，可以采用“例—规法”组织学生用发现法开展学习；而学习并集的性质时，由于属于并列学习，完全可以采用“规—例法”组织教学.
教师在组织数学规则学习的具体实践中往往将上述“例—规法”与“规—例法”进行整合，比如，用“例—规—例法”、“规—例—规法”设计并组织教学活动.“例—规—例法”通常包含以下四个教学环节：首先提供大量的正反例子，接着对学生的反应做出反馈，并抽象出适合一切正例的共同特征或规则，最后分析例子是如何说明概念或规则的.这种方法在掌握一些具体的概念和规则时比较常用，适合于学习探索问题的方法.“规—例—规法”通常包含以下三个教学环节：首先直接呈现规则的描述，接着提供规则的正反例子，然后分析例子如何说明规则.这种方法在高年级教学中经常使用，适用于系统性、组织性较强的抽象知识，容易形成知识体系.
（二）有效运用规则的技能训练应主要安排在课堂进行
本文节选的三个案例限于篇幅仅呈现了规则的引入与建立这两个阶段，而规则的巩固与运用正是学习规则的目的，也是广大教师非常关注、花费很多精力钻研并很擅长的内容，虽然本文没有展开，但这一部分的教学研究也非常重要.要避免学生机械运用程序规则，减少简单重复的、单纯的技能性训练，就必须加强练习的目的性，保证一定分量的训练量，还要注意练习的层次性与弹性，而这些内容若大部分能够在课堂上完成，就可以为学生提供充分的活动机会，也可以保障教师对学生的有效指导，学与教的有效性就能够得以提升.