（南京机电职业技术学院，210037）
摘要：分段函数不仅是学习高等数学的重要工具，同时也是数学学习中的重点和难点问题。尤其是分段函数中的定积分，对于学生来说具有比较大难度，如果只是按照单一的解题方式，很容易就会对学生的学习思维造成不利的影响。通过一题多解的方式，可以帮助学生进行思维发散，提高知识理解的能力。
关键词：分段函数；定积分解法；高等数学；一题多解
引言
在高等教学课程中，分段函数指的就是在定义域的不同部分有不同解析式的函数，通过这样的定义可以知道，分段函数在定义域不同的解析式可以视为是初等函数。一题多解是初等数学教学的重点内容，通过这样的方式可以将学生的思维能力进行扩大，同时的还可以加强培养学生的创新能力，进一步的提高学生对知识掌握的熟练度。从教学内容上看，高等数学比初等数学更加多了一些对抽闲个概念和定理的理解，具有更强的枯燥感，因此将一题多解的的理念融入其中，可以更好的提高学生对于数学学习的兴趣性。
一、分段函数的定积分解法
（一）定义
分段函数的定积分就是将f（x）作为一个自变量，x对应的就是是取值的范围，对于每个范围来说，都要用不同的方式来对函数进行表达，比如说分界点是x0，区间是［a，b］，就可以得到这样的表达式：f（x）=f1（x），x∈［a，x0），f（x）=f2（x），（x0，b］。通过这样的表达式引出的面积定积分就是f（x）（大于等于0），在设定区间内的曲线，以及在x轴以上的面积，这个面积就是曲边梯形的具体面积，设定的条件是 y=0，x=a，x=b，y=f（x），它们共同围成一个曲边梯形，进而对其进行计算。
（二）计算分析
1、分段连续函数的分析
对于分段函数来说，它的计算方式主要有两种，一种是日常计算比较经常使用的方法，一种就是牛顿-布莱尼茨公式。对于分段函数的日常计算方法来说，具有分段可加性，它的主要定理是：如果函数有多个表达式：f1（x），x∈［a，x1），f2（x），x ∈［x1，x2）……fn（x），x∈［n-1，b］，它的区间是［a，b］，其i 的取值是从1 到 n-1，让每个数字都成为分界点，得到的表达是 f（x）与∫baf（x）dx对应，然后就可以按照数字来进行类推，变为 x1、x2、x3、x4、x5……xn-1，区间就是各自的取值范围。这种计算方式就是在对每个分段函数的结果进行明确之后，将结果进行相加就可以得到最终的结果。
选择一道题目作为例子进行一定的分析。该题的表达式是是ex，x∈［0，+∞）与2x-1，x ∈（-∞，0］，求出∫baf（x）dx的结果，根据上述的普通计算方式的定理可以得到一定的结果就是，ex在区间x∈［0，+∞）时是呈现出连续的特征的，而2x-1 在区间x∈（-∞，0］中也是连续的，因此可以将三个区间进行一定的整合，这样就可以得到三个临界点，分别是-2、0、1，然后再完成计算之后将结果进行相加，进而可以得到最终的结果是e-7。
使用牛顿-布莱尼茨公式进行计算的定理主要是：如果f（x）在区间［a，b］上痴线连续，原函数 F（x）就可以推理出表达式∫baf（x）dx=F（b）-F（a），它与前面普通计算方式的定理进行结合之后，最后给定的表达式是 Fi（xi）=Fi+1（xi），其中i的取值范围就是1、2……n-1。由此就可以得出f（x）在［a，b］的范围内连续，其i的取值是从1到n-1，让每个数字成为分界点，就可以得到 f（x）是 f（x）dx，经过一定的类推之后可以得到∫baf（x）dx=Fn（b）-F1（a）。
2、分段不连续的计算
分段不连续计算的计算方式主要也有两种，一种是有限个间断点的算法，一种是无限个间断点的算法。有限个间断点的算法就是要对不联系间断点的数量进行析，即如果 f（x）在区间［a，b］上有多个有限间断点，判断其为可积，而如果是单调的，给出的判断相同，通过这样的计算是可以对函数的单调性进行判断。使用第二中无限个加断点的算法就需要涉及到很多的计算技巧，是定积分计算的难点问题。
二、分段函数定积分法在高等数学一题多解中的应用
对于数学学习来说，一题多解是非常重要的一种学习方式，通过对其进行中是可以对学生的思维进行有效的发散，同时还可以对枯燥的课堂进行改善，引导学生发现解题的其趣味性。在分段函数定积分上进行一题多解的应用是其中比较常见的内容。
（一）具体的应用
例题1：∫2-2 max（1，x2）dx，求出答案。
第一种解题方法具体可以如下：
∵f（x）是1和x2，｜x｜的范围是≥1和＜1，所以它是偶函数。
∴f（x）为max（1，x2）dx，在经过一定的计算之后可以得到算式2∫20max（1，x2）dx，最后得到结果20/3。
第二种解题方法就是根据已经得出的算式，对有效数字进行提取，即1和x2，其中1对应的范围是≥-1＜1，x2对应的范围是x＜-1与x≥1，所以∫1max（1，x2）dx在经过计算之后可以得出三个算式，分别是x3/3+C1，x+C2，
x3/3+C3，在经过一定的推演之后就可以得出C1 是 -2/3+C2，C3 是2/3+C2，把两个算式带入上一步算式内，是把式中的C1 和 C3 变为 C2，用定理完成计算，为（23/3+2/3++C2）-（（-2）3/3-2/3+C2），随后可以得到计算的结果20/3。
第三种解题方法就是根据第二种方法中的算式设定来进行计算的。将f（x）设定为 x3/3+C1，x+C2，x3/3+C3，根据分别对应的取值范围，推演出F2（-1+0）为-1，F1（-1-0）为-1/3，F3（1+0）为1/3，F2（1-0）为1，随后把算式整合，求出ΔF1的结果是-2/3，ΔF2 是-2/3，把ΔF1ΔF2 进行相加后，结果就是是-3/4，将其带入到最初的算式，最后的结果是20/3。
在三种解题方法中，第一种方法是基于函数性质进行计算的，主要是对函数的特征进行具体把握来进行解题；第二种方法和第三种方法就是使用牛顿-布莱尼茨公式进行解题，将题目的难度进行降低，然后将使用的知识放入到知识框架之内进行计算。
（二）应用的效果
基于分段函数的定积分解题方式进行一题多解，可以对学生的知识理解能力进行深化和加深，进而对思维进行有效拓展。使用一题多解的方式进行解题，可以让答题者对分段函数的定积分法进行更加全面的了解，对其定义、计算方式都有极为充分的认知，能够在对题目进行解读之后，就对解题方式进行明确。在进行解题的过程中，通过发散性的思维，从不同的角度对解题方案进行分析，对解题步骤进行明确，找到问题的关键。对于高等数学的一题多解来说就是给出一个知识点，让其从知识点错包含的内容中对可以使用的定理和理论进行寻找，在现有的思路基础上对新的思路进行有效的挖掘，进而拓宽解题的思路。
结语
综上所述，在分段函数定积分的基础上进行一题多解可以让高等数学的学习变得更加简单，可以让解题者通过思考等方式拓宽解题的思路，对思维进行强化，同时还是夯实知识基础，完成对思维的锻炼，对教学质量的提高和学生解题质量的提高具有重要的意义。
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参考文献
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[3]郎丽丽,张喜红,康育慧,刘雁灵,赵娜.浅谈一题多解在高等数学教学中的应用——以分段函数定积分解法为例[J].数理医药学杂志,2015,28(04):631-632.
论文作者:马小雪
论文发表刊物:《知识-力量》2019年9月36期
论文发表时间:2019/8/8
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