数学概念的结层性和侧综性，本文主要内容关键词为：概念论文,数学论文,侧综性论文,结层性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
各门科学和工程技术学总是由形成该门科学和工程技术的概念来说明的。因具体对象（问题）不同，形成概念的科学方法在“方法论”这座空间中也纷呈出五光十色的图景，但究其实质是，由其生成的概念在内涵与外延上的最大特点便是它的结层性和侧综性。正确地认识和应用它，对于把握概念的生成、作用、形成或确立新概念都是极为重要的。
（一）（数学）概念的结层性
所谓“结层性”是指，结构性与层次性。思维是人脑对于客观事物的本质及其内在联系的间接和概括的反映，是科学和工程技术工作者成才的最重要、最基本的心理品质。它是各门科学和工程技术的生命。实践表明，不论是形象直感思维还是抽象逻辑思维，它们都是有结构和层次的。因此，作为思维形式的概念本身，自然也就有结构与层次的问题，并且不同的结构、不同的层次具有不同的特征。所谓“结构”，即是要素之间的有机联系与相互作用的性质，它是一种客体的组织，这一组织说明了客体的带有内在依赖关系的本质；要素间联系的条件、类型与性质，对于结构是最主要的。例如：“在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B丨A)”这个概念的结构是：
，它是由要素P(AB)和P(A)(＞0)之比形成的一种依赖关系。显然，这是《概率论》中的简单概念之一。对于较为复杂的（数学）概念，其结构一般都较为复杂，比如：随机变量X和Y的相关系数ρ[,xy]的结论是：
知道其中特定的三个，可定出第四个，这是该（数学）概念结构的静态稳定性；在一定的条件下，其结构还可能具有动态稳定性。这些都是该概念在其内涵上的表征。
（数学）概念的结构性有时表现为从低（简单）到高（复杂）或者相反：从高（复杂）到低（简单）的层次性结构，即所谓递阶层次结构。例如，各种“复合”型概念均属此种结构。常见的“复合”型概念有：“嵌套”型，“并列”型，以及由它们缠绕在一起的复杂结构；再如，上述的“随机变量X和Y的相关系数ρ[,xy]”这个概念，可视为由五个层次构成，形如图1所示。
图1.相关系数ρ[,xy]的层次结构
这个“结构性”是该概念“ρ[,xy]”在其“内涵”上的表征，这个结构是由“嵌套”型、“并列”型共融而成的。虽然较复杂，但层次分明，意义明确，易于学习和应用。由此可见：1、概念的层次性表现为该概念内部结构的不同等级或水平，且层次性从属于结构性，依赖于结构性而存在；2、正确认识某（类）概念的结构，合理化分它（们）的层次，以把握住认识它（们）的难度梯度，对于“教”与“学”，以及形成新概念等，都是非常必要的。
对于某个概念究竟分为多少层较合适呢？这要对具体的概念进行具体分析。实践表明，同一个概念可化分为不同的层次，且都较合理。例如：关于“函数y=f(x)在点x[,0]处连续”这个概念，可化分为三个层次：
（这是层次之间的联系），则称f(x)在点x[,0]处是连续的。这是以不同的层次给出的关于函数在一点处连续的定义，两者是等价的、可以相互转化的。当然，不同的概念也可能有相同的层次。这如同不同形式的大楼，可能有相同的层次一样。一般的讲，概念的层次的化分是相对的，不是绝对的。但对其分层的原则应是：意义明确，使用方便。对于较为复杂的概念，把握好化分该概念的层次结构就更为重要。例如：典则相关系数（Ⅰ）
这就揭示了“相关系数”这一重要概念所具有的“层次性”，因而在检验问题中的应用是多方面的，可分级或可分层的。意义更加具体明确，应用更加方便。在这里，（Ⅰ）→（Ⅱ）这个“层次性”是概念（Ⅱ）在其“内涵”上的表征；（Ⅱ）→（Ⅲ）这个“层次性”是概念（Ⅱ）在其“外延”－－概念组群（Ⅲ）上的表征。显然，概念组群（Ⅲ）也是概念（Ⅱ）在其“外延”上的“结构性”表征。
（数学）概念的结层性决定了对其采用“分解与合成相结合”这种思维认识方法的必要性与有效性。这里的“分解”是指：在讲授、学习和研究复杂的概念时，最好能将复杂的概念化分为一些简单层次。“合成”是“分解”的反向构成，即通过相对比较简单的各个部分即层次的综合而成，准确地指明层次间的相互联系。在利用这一方法的过程中，应注重两点：第一，使用的各个层次必须正确；第二，须充分而周密地考虑各层次之间相互作用的效果。这样做，能使所要认识的概念简单明了，易于准确地领会、掌握和应用它。
例如：“复合函数”这个概念，可分解或化分为若干个简单层次，每一个层次是一个确定的函数；反过来，这些简单层次可经复合（嵌套）构成原型即原来的那个复合函数。层次间的联系便是这种复合（嵌套）关系。这样，对于复合函数的较为复杂的求导数问题，转化为能利用导数的基本公式、性质和法则，对每一个层次相应的函数施行简单的求导数运算，它们间的联系是相应于复合函数嵌套（层次）关系的所谓求导数的链锁规则。当然，这里是在假定导数存在的条件下来谈的。
把复杂的概念层次化，以便于进行分层认识；又把分解得的各个层次重新组合成原型，以利于进行深入的综合思维认识，即认识所给定的那个复杂概念。需要强调的是：(1)概念能否进行分解，取决于有无相互之间近乎独立的部分，或者说，有无简单的相互作用的部分。(2)概念不是每部分或层次简单的和而是它们的相互联系。将复杂的概念分解为一些简单层次，从而在认识每一个层次根本特征的基础之上，又进一步准确地揭示出它们之间的联系，这是符合人类认识客观事物的认识规律的。当然，层次的选取不是唯一的，不过其选取的原则应该是：所有的层次应是已知的或能利用已知而可求、可证的；所有的层次应能经过一定方式构成原型。这里的“原型”即是整体（概念），所谓“整体”是指各个层次或部分相互联系、相互作用的具有特定功能的有机统一体。没有层次或部分也就无所谓整体；同样，离开了整体也就不成其为层次或部分。实践早已表明，人们只有认识了“部分”，才能更好地认识“整体”；当然，也只有认识了“整体”，才能更好地认识“部分”。因此，对（数学）概念的结构性与层次性的认识，从本质上来讲，又一次揭示了人们认识客体的认识论原则。
（二）（数学）概念的侧综性
“因为在对象中有着许多侧面”，“概念”这个对象也不例外，所以可从不同的侧面去探讨、研究该对象，分别形成所需要的便于应用的（数学）概念。这是（数学）概念的侧面（或侧向、局部）性之一。显然，每一个侧面各有其特点，且它们之间也是互相有联系的。例如：一元函数y=f(x)在点x[,0]处“连续”这个概念，从其“内涵”的三个侧面去讨论，可给出三个不同的定义，但它们又是等价的，可以相互转化的。一个概念犹如一间房子，该房子的各个侧面及其内藏的各个部分即是该概念的侧向性。综合就是在已经认识到的本质的基础之上，将对象的各个方面本质有机地联合成为一个整体。该概念的综合性就如同该房子的整体性，完备性，完美性。比如：思维品质函数是以诸思维品质为自变量的八元函数即
的高级思维品质函数和普通思维品质函数。它综合诸多思维品质，使之最终归结为一个数－－这个数即是思维品质的综合性数量表征。
有些（数学）概念在一定的条件下，还具有逆向性，即反向性。例如：“正”与“负”，“小于”与“大于或等于”，“有限”与“无限”，“函数”与其“反函数”，“微分”与“积分”，“矩阵”与其“逆矩阵”，“线性变换”与其“逆变换”，“必然事件”与“不可能事件”，“离散富氏（正）变换”与其“逆变换”，等等，举不胜举。由此易知，所谓（数学）概念的逆向性，是指与该（数学）概念构成同一的对立面上的特性；从一定的意义上来概括，（数学）概念的逆向性也可视其为一种特殊的侧向性。
由“相关系数ρ[,xy]的层次结构”（图1.）可知，随机变量X和Y的协方差C[,ov](X，Y)与均方差
”在其“内涵”上的表征。因此，（数学）概念的侧向性与综合性也是相对的。再比如：思维数学中，思维的“背景空间”这一概念，相对于“文化背景空间”、“社会背景空间”和“时代背景空间”而言是综合性的。这个“综合性”是该概念“背景空间”在其“外延”上的表征；但其相对于“思维空间”来说却又是侧向性的。这是因为，作为任何思维主体的思维空间大致都可分为四个子空间，即背景空间、知识智能空间、方向目标空间和算子空间，并且它们是相互联系、相互制约的。这个“侧向性”是该概念“背景空间”在“思维空间”这个概念的“外延”上的表征。
从上不难看出，（数学）概念的侧综性就是该概念的侧向性与综合性。它包括两点意思：其一是对某个概念而言的；其二是对多个概念相比较而言的。大量的事实表明，不论是哪种情况，（数学）概念的侧向性与综合性都是相辅相成的，是不能孤立地分开的。
（数学）概念的侧综性决定了对其进行“侧向思维认识与综合思维认识”的辩证性和重要性。显然，每一个侧向认识也各有其特点，这是特殊性；但它们之间也是互相有联系的。当人们认识概念或事物时，如果认为可以先进行纯粹的侧向思维认识，然后再进行综合思维认识，这样的想法是不符合实际的，是不对的。因为当人们动手对概念进行侧向思维认识时，他们就已经对作为一个整体（概念）的认识对象有了某些想象。这样，我们看到，侧向思维认识从认识的一开始就同综合思维认识一起进行了。当得到认识对象（概念或事物）的某些方面的最初侧向认识的结果后，人们就可以总结它们，即进行综合思维认识。例如，为引出定积分概念而计算变速直线运动的路程和变力所作的功，常分为四步（即“分割”、“近似”、“求和”和“取极限”）来解决。为使每一部分实用化，给出了相应的数学表达式，创立了新的概念－－定积分，继而是二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等等。概念就是在侧向与综合相交错的复杂思维认识中结晶出来，并随着科学、技术的发展而不断向前发展，以致于达到规范化、定量化和精确化。认识各个侧面，更重要的是为了认识综合后的整体或另外的新的侧面；反之，对综合后的整体或另外的新的侧面的认识，又有助于加深对原来那个概念的各个侧面的认识，起到使认识深化、发生飞跃的作用。下面我们来举一些这方面的例子。
众所周知，数学基础实际上包含了数学概念、数学理论的构成，数学证明的方法和依据，数学理论的真理性等内容。对其认识也不是一帆风顺的，而是观点林立，直到20世纪初才出现了认识上的“飞跃”局面。数学基础三大学派－－以克罗内克和布劳威尔为代表的直观派，由罗素和怀特海创立的逻辑派和以希尔伯特为领导人的形式派，鼎立于世，影响深远！
欧拉曾系统地研究了初等函数的性质，并把它们展开为无穷级数，还把牛顿求极小值的技巧推广到依赖于整条曲线或整张曲面形状的量上去，从而创建了新的思维方法－－变分学的方法。
19世纪中期，黎曼引入了一种新的非欧几何学－－黎曼几何学，在他引入了微分流形的概念以后，由黎曼几何又发展出一般的微分流形的几何学，促成了在新的条件下微分几何学的发展。黎曼开创的几何学，在20世纪初应用于爱因斯坦的相对论中，对现代科学的发展起到了巨大的推进作用。20世纪初，闵可夫斯基将格和凸集等几何概念引进了数论，因而开创了几何数论。群、环、域、格等是最基本、最原始的代数系，其中起基本作用的是同构和同态的概念。将同一种代数系以及它们之间的同态映射合在一起来考虑就产生了范畴概念……后来，发展成为范畴理论。也是在20世纪初，由豪斯道夫等人向集合论中引进了拓朴空间的概念，开创了一般拓朴学。还是在20世纪初，康托尔的集合论给分析数学带来了重大的变革，人们建立起严格的“解析表示”和“测度”、“积分”等概念后，又促进了实变函数论的飞速发展。到20世纪30年代，前苏联的柯尔莫戈罗夫引进了测度概念，完成了概率论的公理化，建立了概率论的形式公理体系。在20世纪40年代，向组合拓朴学引进代数方法形成代数拓朴学，后来发展成为现代拓朴学的主流方向。分形几何学的主要概念是分形维数。1973年，法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)正式宣告创立了这个概念，提出了分形几何思想。他把分形维数概念成功地用于研究许多物理现象，处理那些极不规则的形状，它像雨露滋润禾苗一般，滋润着多门学科。
20世纪50年代，柯尔莫戈罗夫和维纳等人，由平稳过程中发展并开创成了一门新理论－－预报理论，在现代电工、通讯等各门科学领域里得到相当广泛的应用。为适应于人类实践和科学活动的要求，需把几何表述手段进一步精确化，在本世纪70年代，产生了分形几何学这一分支理论。此外，托姆在研究形态发生学时还巧妙地引出了震憾世界的突变理论。
波利亚等创立的计数的群论方法，现在不仅与数论、代数、函数论、概率统计等有着密切的关系，尤其重要的是在计算机科学中得到应用，并且在国防工业、物理、化学、实验设计、管理科学、人工智能等20几个领域内发挥了异常重要的作用，推动了组合数学迅猛的发展。
还值得一提的是，把多元微积分应用于空间曲线和曲面研究时，就发展成了新的学科－－微分几何。我国西北工业大学孟凯韬教授潜心研究数学、哲学、心理学等数门学科，引入“自然集合”、“系统套”、“分级数”、“广义距离”、“思维链”等概念，定义了一批新概念，导出了一系列从不同的侧面衡量思维品质优劣的量，并给出相应的计算方法。从而创设了用数学方法研究思维的品质与规律的学科－－“思维数学”这门新的交叉学科的基础。
综上所述，认识各门科学和工程技术之根基－－概念及其结层性和侧综性特点，不仅具有实践意义，而且还具有一定的哲学意义，利于人们创设新观点、新方法、新学科。它们的应用促进了新观点、新方法、新学科的完善与发展；反过来，新观念、新概念、新理论、新方法、新学科的完善与发展又扩展了它们的应用范围。“创设－－应用－－完善、发展－－扩展应用－－再创设”，循环往复，以至于无穷，每循环一次对确立的新概念的结层性、侧综性的认识都将进入更高级更广阔的科技新领域。