摘要：从数系的发展来看，分数是数概念的一次大扩展，是以较大的量为标准度量较小的量；从个体知识的发生来看，分数是要解决比较量不足一个标准量的问题，是倍数的突破或延伸。由此出发，分析了现行教材中的分数概念引入方式，并提出改进措施：以线段的测量引入分数概念，测量过程中从倍数(线段是尺子的整数倍)过渡到分数(线段不足尺子的一倍)；然后在两个自然数的比较中进一步建构分数的意义。
关键词：分数；概念引入；比较；度量
一、引言
从问题解决的角度来看，数概念的任何一次扩展，都是要解决某一关键问题。这样的问题，或者是现实中的，或者是有关数学体系的。
分数概念的引入，是数概念的一次扩展，它是对整数的突破。它所要解决的现实问题是，在长度测量(或两个数的比较与度量)过程中，被测量(或被度量)的量不成整数倍的问题。譬如，如果我们用1米长的尺子去量5米物体，一共可量5下，整个测量在整数范围内即可解决。如果量过整数次数之后，仍有“零头”，则只好把尺子自身等分，看“零头”是尺子的几分之几。
与此同时，分数的引入，使得数系从整数扩展到有理数。在整数范围内，除法的实现是有条件的、非封闭的。分数的引入，则使得除法“通行无阻”：有理数除以有理数，其结果还是在有理数范围内。
对不足尺子长的“零头”的测量，只好把尺子等分，看“零头”是尺子的几分之几。分数由此而来，其涵义也体现在其中。它包括如下几个主要方面：其一，是在两个量的比较中；其二，比较量不足一个标准量(“零头”不足尺子长)；其三，把标准量等分，以度量比较量：看比较量(“零头”)是标准量的几分之几。这里，第一、二点是问题情境与要解决的问题，第三点是找到的全新的解决方法。
从问题解决的角度，也是从发生学的角度来看，分数是要解决比较量不足一个标准量的问题，是倍数的突破或延伸。在课堂教学中，分数概念的引入，理应放在两个量的比较与度量的问题情境中进行，并且从倍数自然地过渡到分数。中外的小学数学课本，也基本作这样的处理，但却存在一些需要进一步改进的地方。
二、现行教材分数概念引入方式的分析
从上文的分析可知，分数是要用大的尺子度量小的“零头” ，这种度量过程的首先是比较，然后是把标准量等分以度量“零头”。所以，分数的引入，理应放在两个量的比较之中。然而，现行教材往往将重点放在等分这一点上，弱化了比较的涵义。
在现行的教材中，都创设了一个“等分”的活动。人教版、苏教版、北师大版、沪教版都是将一个物体平均分成2份，每份就是一半。该教法将分数的意义简化为“分”和“取”两个步骤。
例如，将一个蛋糕切成两份，取其中的一份就可以用 
来表示。
经过这样的简化，其重点在于“分”与“取”，也就是将整体等分，取其中的几份与整体相比，看部分是整体的几分之几。这其间，也隐含两个量的比较，是部分反身与整体比。
教材的处理，突出“分”与“取”。但两个量的比较依然隐含其中。这说明，在分数概念中，两个量的比较无法回避。本来就是在两个量的比较中，以大的量为标尺度量小的量。现在放在一个整体中，部分反身与整体相比。这其实反而增加了难度。因为部分既是独立的量，又要和其他量构成整体。在这样的教材安排下，学生一会要将部分独立出来，一会又要将部分在思想上还给整体。
这样的部分与包括部分在内的整体进行比较，反而增加了比较本身的难度。同时，在同一个集合里的子集与全集比较，将注意力集中在全集的“分”与“取”之上，未能充分关注两个量的比较，可能导致对分数的本质理解不透彻。
从正面而言，分数是在两个量的比较中，以较大量为标尺(标准量)来度量较小量。上文已论及，完整的分数图式，包括三个相互关联的环节：其一，是在两个量的比较中；其二，比较量不足一个标准量(“零头”不足尺子长)；其三，把标准量等分，以度量比较量：看比较量(“零头”)是标准量的几分之几。比较是将一个数与标准量进行比较，而等分是将标准量等分来度量另一个数。鉴于此，把分数放在数与数的比较关系中进行教学是有必要的。在两个量之间进行比较，而不是将一个量包含在另一个量之中，可以减轻儿童的思维操作负担，更有利于理解分数的意义。
数与数之间的比较贯穿小学数学的始终，在起始年级，学过加减法，则是比较两个数谁大谁小，这是用差集来表示两个量的相对关系(如：6比2多4)。稍后，学过乘除法之后，则用倍数来表示两个量的相对关系(如：6是2的3倍)。
在倍-份关系里，比较量包含着若干个标准量。而分数表示的是比较量不足一个标准量(只是标准量的几分之几)。
笔者试图从两个量的相互比较与度量中引入分数，且是从倍数过渡到分数：先是整数倍，再是一倍，然后是不足一倍。以线段的直观测量引入，之后，再在两个自然数的比较中进一步建构分数的意义。
三、以线段测量的方式引入分数
【教学示例】
准备：准备一段长10厘米的木棒（无刻度）。分别量取不同
长度的线段a,b,c，三条线段a,b,c分别是木棒的2倍、1倍、 。
演示：用木棒分别量线段a、b。
板书：a是尺子的2倍
b是尺子的1倍
提问：(要求量线段c) 线段c 是木棒长度的多少？
生：线段c没有一棒长。
师：没有“一棒长”，怎样表示?
1倍，2倍，这是我们以前学过的“倍数”。现在，线段c不足木棒的1倍，那么，“线段c 是木棒的＿＿？怎样表示？”
生1：用刻度尺量木棒和线段c，量得木棒长10厘米，线段c长5厘米。
生2：意识到木棒是线段c的2倍。比着线段c将木棒2等分。
生3：最后找到解决办法：将木棒2等分，线段c是2份中的１份。
师：原来木棒和线段c有这样的关系啊，大家发现了吗？将木棒2等分，线段c就是2份中的1份，那么我们就可以说，线段c是木棒的 。
四、在两个自然数的“比较”中进一步建构分数的意义
如果说测量中的线段是连续量，那么自然数则是离散量。如果说测量是直观的，两个自然数的比较则是相对抽象的。在以测量的方式引入分数之后，立即进行自然数的比较，同时也是从倍数向分数过渡。
【教学示例】
师：之前我们学习了倍数，请问6是2的几倍？
生：3倍
师：为什么是3倍？
生：因为3个2加起来就等于6，6包括3个2，所以6是2的3倍。
师：现在，老师这里有一个新问题：2是6的多少？该怎么表示？
生：将“6”三等分，其中的一份就是2，所以2是6的三份中的一份。
师：三份中的一份，用分数来说，怎么说？
生：1/3
注：分数的意义体现在真分数中，带分数与假分数是在真分数的基础上的延伸，且后两者所包含的分数涵义不超过真分数中的涵义。鉴于此，本文只在真分数上讨论分数概念的引入。
作者简介：徐群斐（1994.07-），女，浙江金华人，现供职单位：上海师范大学在读研究生，学位：硕士研究生，研究方向：小学数学。
论文作者:徐群斐 卢盛华
论文发表刊物:《知识-力量》2019年11月50期
论文发表时间:2019/11/12
标签：分数论文; 线段论文; 等分论文; 木棒论文; 尺子论文; 度量论文; 两个论文; 《知识-力量》2019年11月50期论文;