分类了，为什么还漏解，本文主要内容关键词为：还漏解论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分类讨论思想是初中数学中一种重要的数学思想.在教学实践中笔者发现，学生在遇到相关问题时虽有分类的意识但往往考虑不全面，尤其容易忽略特殊情况.下面是某区中考数学模拟卷中的一道题目，很少有学生进行完整的讨论.基于此，笔者进行了深入反思，现与同仁分享.
一、题目呈现
在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，4），C点坐标为（10，0）.
（1）如图1（1），若直线AB//OC，AB上有一动点P，当点P的坐标为________时，有PO=PC；
（2）如图1（2），若直线AB与OC不平行，在过点A的直线y=-x+4上是否存在点P，使∠OPC=90°，若有这样的点P，求出它的坐标，若没有，请简要说明理由；
（3）若点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使∠OPC=90°，试求出此时y=kx+4中k的值是多少？
二、题目解答
1.学生的解答及解答说明
笔者评讲本题时请了部分学生谈自己的解答，并说明理由.
前两问的解答基本都是正确的.其中第（2）问解法较多，但大多数学生都是用相似三角形的性质或反复用勾股定理列方程求解的.本文仅呈现一种解题思路：设P（x，-x+4），如图2，连接OP、PC，过P作PQ⊥OC，垂足为Q，由
所以点P的坐标为（1，3）或（8，-4）.
第（3）问由于点P在直线y=kx+4上移动，所以直线x=0不包含在其中.下面是学生的两种基本解题方法.
方法1：设点P（x，kx+4），显然0＜x＜10，如图3，连接OP、PC，过P作PQ⊥OC，垂足为Q，若∠OPC=90°，则有
要使得只存在一个点P使∠OPC=90°，即这个关于x的一元二次方程有唯一解（两个相等的实数根），此时
，计算得
.
解答说明：本方法考虑了分类讨论，将∠OPC=90°的点P的个数问题转化为关于x的一元二次方程根的情况，若方程无根，点P不存在；若方程有两个相等实数根，点P有且只有1个，若方程有两个不相等的实数根，存在满足要求的两个点P.
方法2：考虑到y=kx+4是过定点（0，4）的一条直线，若要使得∠OPC=90°，那么点P就可以看做是以OC为直径的圆与直线y=kx+4的交点.如图4，直线AB与⊙M有两个交点
（即直线与圆相交），此时
.
若只存在一个点P使∠OPC=90°，自然想到了直线AB与⊙M相切的情形.如图5，直线AB与⊙M相切于点P.求解点P的坐标方法从略.
解答说明：本方法也考虑了分类，将∠OPC=90°的点P的个数问题转化为直线AB与⊙M的位置情况.若直线AB与⊙M相离，点P不存在，若直线AB与⊙M相切，点P有且只有1个，若直线AB与⊙M相交，存在满足要求的两个点P.
2.遗漏的解答及原因分析
学生的两种解法都遗漏了一种特殊情况，即当直线AB在绕着A（0，4）旋转的过程中恰好经过了点C，如图6所示.
当直线AB经过点C，过O点作AB的垂线有且只有一条直线，此时只有一个垂足P，此时直线AB与⊙M相交于P、C两点，但是使∠OPC=90°的点P却是唯一的.将点C（10，0）代入y=kx+4，解得
.
以上两种方法在明确的分类标准下都做到了不遗漏不重复，即满足了分类讨论原则中互斥性和统一性：小范围要互相独立、在一个范围内的讨论必须按统一标准进行.那为什么最后的结果还是漏解了？
原因分析：在试题评讲中，笔者和学生讨论后认为本题分类漏解的主要原因有两个.
（1）未能正确发现问题中诱发分类的因素，所有小范围的和不等于大范围.
题中点P在直线y=kx+4上移动，问∠OPC能否为90°，因为问题中考虑的是∠OPC，P为角的顶点，点O、点C是定点，而直线在绕点A（0，4）旋转的过程可能会经过点O、点C这两个特殊的位置，需要分类讨论.大部分学生的解答是不完整的，所分的类型不等于所有的大范围.
（2）未能分清主次，没有逐级分类.
本题分类应该分为三个层次展开.首先应该考虑∠OPC是否存在.我们清楚当直线y=kx+4经过点O时，点O、点P重合为一点，∠OPC不存在的，所以第一个分类层次为∠OPC存在或者不存在；其次，在∠OPC存在的前提下进行第二个层次分类，因为点C是∠OPC边上的一个点，直线y=kx+4是否经过点C会直接影响图形位置，所以第二个分类层次为直线y=kx+4经过点C和不经过点C；最后一个层次在直线不经过点C和点O的前提下考虑，也即是上述学生的解答情况.
三、解题反思
分类讨论就是将一个大范围问题细分成几个较小范围的问题（以适应基础知识所需的条件），再在每一个较小的范围内把问题解决，即常说的“化整为零，各个击破”.由于数学中的概念、性质、图形、运算等知识中都蕴涵着分类的要求，因此解决数学问题时分类讨论很常见.
分类讨论的一般过程：（1）明确分类诱因、对象及讨论范围；（2）确定分类标准；（3）逐级分类；（4）概括结论.
合理的分类讨论需要符合以下原则：（1）互斥性，即分成的小范围要互相独立；（2）同一性，即所有小范围的总和等于大范围；（3）层次性，即讨论应当逐级进行，不能越级；（4）统一性，即在一个范围内的讨论必须按统一标准进行.用分类思想解决问题时要做到分类的对象确定、标准统一、不遗漏、不重复、分层次、不越级.
1.分类问题重视思维的起点剖析
解题就是要从已有事物、已知量出发，实施有计划、有步骤、有目的的逻辑推理活动，而顺利完成这一过程关键在于思维起点的选择.思维起点选择合理、恰当，就找到了捷径、明确了“桥”的方向.对于分类讨论的数学问题，思维的起点可以认为是找到了诱发分类的因素，明确分类的标准.
上述问题中思维起点就是分清直线y=kx+4的位置，学生出错的原因就在于起点选择错误，他们把起点推后，在起点和终点的中间路上找了个起点，默认为直线y=kx+4不经过点C和点O.
数学中类似的问题不少，例如存在这样一个问题：已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系.
分析：如图7，过点B的直线交边AC于D.现图中有△ABD、△BCD，分别讨论它们的形状即可.本题思维起点可以从一个三角形的形状分类开始，逐层展开.笔者用类似树状图（图8）的形式呈现：
在解题教学中教师要引导学生分清思维起点，全面地分析问题，提高思维的严谨性.
2.分类问题重视解题后的回望
（1）回望分类层次是否分明
在解决一些较为复杂的问题时，当确定某一标准进行分类讨论后，得到的某些类别还需继续分类讨论，这样就有了第二层次的讨论，继而第三层次……我们称之为分类讨论的层次性.层次性要求一次分类讨论按同一标准进行，不同层次可用不同标准，但每个层次也要确保同一性、互斥性等原则.上述问题中关于是否存在唯一点P使得∠OPC=90°就是三个层次的分类.当分出的层次比较多时，可以选用树状图的形式辅助完成，上面图8就是两个层次的分类层次图.
（2）回望分类中的一些特殊点
分类讨论问题中得到同一层次的不同类别，它们的范围大小可能很悬殊，难易程度也不同.有些类别可能是一个值（点），有些类别可能是一个范围（无数个点），就是因为这种悬殊的差异，很多时候往往会“见大丢小”，忽略只有一个值的特例，导致错解或漏解.上述问题中直线y=kx+4经过点O、经过点P就是容易被遗忘的特殊情况.类似问题代数中也常见，例如：若关于x的方程
无解，求a的值.
分析：要把分式方程转化为整式方程就要分成两类：
（1）当x=1或x=2时，分式没有意义，方程无解；
（2）当x≠1且x≠2时，转化为（a-2）x=2a，这时又需分为两种情形：
①当a=2时方程无解；
②当a≠2时
；
在②中又可细分为两种情形：
上述解答过程中，学生最容易忽略当a=2时方程无解的情况.
分类讨论问题还需回望的地方很多，如结果是否合理，对照数学知识中的限制条件、隐含条件合理取舍等.分类讨论是一种逻辑方法，是一种数学思想，它的学习有助于学生逻辑思维的养成和归纳总结能力的提高，有利于培养学生思维的广阔性、严谨性，教师要引导学生把握分类的原则、剖析分类起点、回望特殊情况，让分类思想在学生脑中生根发芽，茁壮成长.