数学综合实践课的设计与思考，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“综合与实践”是以问题为载体，以学生个体积极参与为主的学习活动.在学习活动中，学生将综合运用已有的知识经验、活动经验以及思维惯性经验，经历实验操作、类比归纳、探究猜想、验证结论并运用结论解释现实问题合理性的过程，实现累积活动经验和获取生命感悟的个性化目标，从而提升学生的问题意识、应用意识、创新意识以及解决现实问题的能力.它具有浓郁的趣味性、缓慢的过程性、多元的关联性及多维的开放性等个性化色彩，基于趣味性，必须关注素材选取的匹配性；基于过程性，必须关注课堂容量的适切性；基于关联性，必须关注问题设置的得体性；基于开放性，必须关注摄取方法的顺应性.
本文提供的设计是笔者在听了一节综合实践课的基础上的一次再设计，并由此引发思考.
一、“综合与实践课”的设计示例
（一）问题引动
选材视点：挑选“在矩形荒地上建造符合特定条件的四边形花园”作为实践活动素材，使原本单调乏味的数学变得有声有色，能唤醒学生探究的欲望，倾注人文关怀；同时，它又具有铺路架桥的作用，使生活走向数学，数学依托于生活，显得自然而然、水到渠成，没有突兀之感，让学生感受数学的亲和力；它还具有降低学生心理预期难度的作用，源于数学来自身边，自然生成一种谐和的安全心理，使数学不再可怕.没有生活的参与，数学是冷色的、生硬的、刻板的和难以下咽的，往往会产生望而生畏的感觉，当我们把看不见、摸不着的数学赋予一定的生活色彩，感觉就相当的亲近、自然，让人产生欲发现、想探究、思创造的愿望.
（二）问题展开
如图1，四边形ABCD是一块不规则的四边形荒地.问能否在此荒地上作出一个四边形使其面积为四边形ABCD荒地面积的
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、
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立意视角：该模块运行的目的是让学生在直观操作中感受数量关系的存在性，及时由感性认识上升到理性认识，由合情推理逐步迈向演绎推理的边缘，为学生后续问题解决提供一种实质性的经验支撑.作出面积为荒地的的四边形，预想大部分学生会作其中点四边形，也有部分同学会找一组对边中点构造符合条件的四边形；作出面积为荒地的的四边形，一般同学能联想到找一组对边的三等分点，构造符合条件的四边形（可能构造经过两个等分点和两个顶点的四边形，也可能构造经过四个等分点的四边形），此时有部分同学仅凭感觉画图，未必能找到画图的理论依据；作出面积为荒地的的四边形，学生会依据不成熟的操作经验，类比找一组对边的五等分点，构造符合条件的四边形，未必能解释操作的合理性.正确感觉的产生不是从天而降，是感性认识的缓慢萌动和生长，有其合理性的一面，能转化成理性思维的生长点.尽管不明不了，仍不失为一种成功，可以说是一种天然的不经意的留白，能延伸学生思维的时空.
（三）问题解决
（2011连云港市）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论.（S表示面积）
（四）小结内化
以“本节实践课”为话题，写一篇学习随想，可以是活动感受，可以是知识生长，可以是操作表现，可以是知识的再发现或再创造……追求真情实感！（优秀的作品将在校报“闪光的足迹”上发表）
设计理念：“综合与实践”的悟化与接纳，不是同类问题的反复操练，也不是生成性结论的回归，更不是问题延伸的再纠缠；而是整合零零散散、星星点点知识经验并使其系统化、规范化，将新累积的活动经验顺利纳入到已有的知识经验体系，并在一定思维层面上转化为挑战现实问题的能力，而无缝对接的最好抓手莫过于学习随想的撰写，因为它承载着反思与再反思、想象和再想象、创造与再创造的功能.
二、“综合与实践课”的思考
（一）综合实践的素材选取需要匹配性，基于浓郁的趣味性
综合实践复习课的预设与常态的理论课相差甚远，不是例题、习题的堆砌，不是操作场景的连续刷新，不是五颜六色的问题背景，也不是模型的不断变更（原设计中选择了5种操作素材），在短短的一节课内，仅理解素材，内化题意都难以完成，何况还要经历操作探究的过程.
因此，在选材的匹配性方面是失缺的，这里的匹配性是指要和学生的兴趣匹配、要和课时匹配、要和问题匹配、要和学生现有的思维层面匹配……一般情况下，是生活化的同类操作素材（由于活动的主体是学生，因此必须关注学生的参与度，以及与同伴交流的程度.学生具体做了哪些事，表达了哪些观点，处理了哪些问题，做了哪些再归纳和再创造……而这些视点都依赖于操作素材选取的匹配性和趣味性，只有匹配和有趣才能惊醒学生探究的感觉，也才能实现活动课承载的个性化功能），在变式的视角下，不断的经历问题的细化、分离、整合、变换、展延等达成提出问题、生长问题、解决问题、提炼问题、解释问题、再解决问题的过程，进而实质性的获取解决某类问题的方法经验，提升内在的问题意识和一定层面的数学素养.因此，实践活动素材的选取需要匹配性，利于在短暂的课时内，让学生汲取深刻的活动体验，高效的悟化接纳基本知识经验以及在此基础上衍生的真切的生命感悟.例如：本节课为学生选择了画四边形花园和玩三角形纸板的操作素材，具有浓郁的生活气息.不论是画图还是玩纸板，这都是孩子们的最爱，能够惊醒学生的周身兴趣和激起解决问题的强烈愿望.因为玩是孩子们的天性，凡是好玩的实物都会让孩子们走向沉迷，到达“追蝴蝶”的境界；拥有了浓厚的兴趣，为问题的顺利解决创设了良好的开端.因此，活动素材的选择一定要富有生趣，一定要和问题恰当匹配，能调动生命个体的非智力因素的辅助作用，实现活动目标的理想达成.
（二）综合实践的课堂容量需要适切性，基于缓慢的过程性
综合与实践活动课的设置，使数学学习方式发生质的飞跃，经历由“学数学”到“做数学”再到“玩数学”这一高品质发展过程.活动必须是一个过程而且又是一个极为缓慢的过程，需要耗时耗力，需要足够的期待.不像语文那样一目十行，不像外语那样流畅婉转，不像物理那样加速行驶，不像化学那样瞬时燃烧……含蓄、冷艳是天生的个性，总要经历山重水复的困扰，才可见柳暗花明.因此，不论是新授课还是复习课都不可以追风于“大容量、快节奏、高密度”所谓奔跑式课堂，素材要有联系（有利于学生阅读、悟化题意、获取有效信息以及节省时间），问题要变式（一方面，有利于不同层面的学生都有“吃饱喝足”的机会；另一方面，可以引领学生的思维呈梯度生长，多方位获得生命的感悟和累积活动经验），容量要适切（关注短暂的45分钟能解决多少问题，能解决哪些问题，能走到哪些思维层面；更要关注给学生足够的时空慢慢去说、慢慢去做、慢慢去质疑与批判、慢慢去悟化与接纳）.美国儿童给成人忠告的第一句话是：我的手很小，请不要往上面放太多的东西！因此，课堂容量一定要适切，没有缓慢的操作过程，没有适切的容量，活动只能是一种过场，无实质性的基本活动经验的累积，毕竟教师的体验和学优生的感受不能取代每一位学生的体验与感受.例如：原设计中选择了5个活动课题，短暂的1个课时内无法圆满完成，纵使学生很优秀，结果依然如此.几乎是4个压轴题的堆砌，课堂容量严重超载，未操作足以让学生望而却步，即使通过内延外迁的方式也需要3个课时.因此，在定位适切的课堂容量方面是走失的，没有关注活动过程的缓慢性，是传统的标签课设计模式.
本节课笔者重新设计了3个关联的活动，同材同质.更多的关注学生的参与过程、承受能力、生命感悟，尽管容量不大、见识似乎单薄，但感受理应是真切的，知识生成应该是踏实的，累积的活动经验也应该是丰富实在的；圆满完成一个课题获得的数学内在素养远远超过走马观花式地滑过5个课题，因为每个学生只有真的都做了，才能达成活动的个性化目标.因此，课堂容量要适切，这里的适切指切合课时、切合学生的思维现实、切合学生知识的发展区、切合学生的数学能力.
（三）综合实践的问题设置需要得体性，基于多元的关联性
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“四基”，其中“基本活动经验”作为一项新目标，学生从事数学与综合实践活动的过程也渐趋走进命题者视野，颇受命题者青睐.往往通过设计一个“做数学”或“玩数学”的活动，让学生通过观察、操作、实验、归纳、类比等系列活动获得数学猜想，寻求解释猜想的合理性并运用提炼的结论解决现实问题，从而实现综合实践活动的考查功能.
基于此，一节课通常创设一个活动载体，多角度、全方位挖掘已选素材的潜力，实现各个问题的承载功能，因此，问题创设要具有得体性和关联性，便于学生在活动过程中，汲取多层面的外在显性知识（如学会某种运算、能画出符合特定条件的图形、获得某种数量关系、获得某种数学猜想……）和潜滋暗长的多元生命感悟以及起着统领全局作用的内隐知识（主要指数学思想方法，这里指数形结合思想和转化思想）.同时得体性和关联性还指问题设置由浅入深，呈梯度推进，便于学生的思维够得着、可实验，前面的问题为后续思维提供必备的基础，待猜想问题一旦得到验证，即可解释前问题操作的合理性.例如：本节课给学生提供了在矩形荒地上建造四边形花园的作图问题和拼三角形纸板在等分点的参与下探究四边形面积之间的数量关系问题，系列问题设置非常得体且相互关联，得体指问题易操作和可操作，也指问题符合学生的思维生长线，还指问题呈坡度性，便于不同层面的学生获取个性的知识、技能、经验以及思想方法.具体体现在以下方面：第一个活动着眼于在规则图形上画出符合条件的四边形，答案不唯一，几乎每个同学都有能力顺利作答；第二个活动立足于在不规则图形上作出符合一定数量关系的四边形，答案开放，大部分学生能够给出确定或不确定答案，区分度不太明显，但难度系数在提升；第三个活动的问题1是一种指向明确的演绎推理，是一种传统题型，大部分学生都能在指向标的引领下给出证明，问题2是利用范式在割补法的参与下获取问题猜想，应是本活动的核心，为后面问题的解决与再猜想提供了蓝本，也为前面的画图作出合理的解释.由此可见，几个问题设置既得体又多角度关联，也是综合实践问题设置的导向和示范.
（四）综合实践的摄取方法需要顺应性，基于多维的开放性
综合实践活动的摄取方法是有一定的指向，而指向信息的获取依赖于课题的选择.适合综合实践活动的课题，大致可归为三类，其一是操作思考型（建立在实物模拟下的数学思考，这里改进后的课题就属于操作思考型）；其二是实物验证型（建立在实物直观下的数学理解，原设计中的2.2训练题的第1题就属于实物验证型）；其三是探索发现型（建立在思维实验层面的数学猜想，原设计中的2.2训练题的第2题就属于探索发现型）.三者是相辅相成关系，交互作用.在一次课题活动中不是单纯的一类，而是相互参与，只是依问题有所侧重而已.一个课题往往要经历画图操作，寻找某种数量关系的存在性，验证数量关系的合理性，这必然仰赖于思维实验的参与，而获得猜想又需要实物直观下的数学理解.
因此，在活动过程中要依据问题灵活选择摄取方法，体现运作手段顺应个性问题.针对思维实验可以从直观入手、可以从算理分析入手，也可以从演绎推理入手，尽可能用多维方法，获取待猜想的结论；针对问题或方法的开放性，要引领学生多角度尝试，实现建构知识的优化方略以及经验累积的简捷性，进而实现综合实践活动展开的初衷，培养学生的问题意识和再创造能力，提升学生的数学素养和解决现实问题的能力，让不同层面的学生获取个性的生命感悟.
三、两点随想
第一，随着中考选拔功能的渐趋增强，综合与实践活动的内涵逐步走进命题者视野，承载着选拔的功能.因为它是一个课题，一般由问题情境（直观实物）、问题探究（问题解决）、拓展延伸（拓展应用）几个板块，要学生经历观察、操作、实验、归纳、类比获得数学猜想，验证猜想，解释现实问题，因此，能全方位考查学生的数学综合素养，具有强烈的选拔功能.在平时的教学中不可以用量代质，不在于做多少题，而在于学生感受的深刻度，获得的体验是否真实到位，毕竟活动是一个过程，需要时间的支持和空间的承载，需要全体学生的积极参与，才能达成课堂的实效.由于综合与实践活动课是逸出的“旁支”，不被一线教师重视；随着新课改理念的张扬，它会回归应有的位置，走进教育者视界并得到应有的认可.
第二，综合实践是一种过程，“慢”是与生俱来的秉性.唯有慢才能让操作过程步步留痕；唯有慢，才能让猜想验证踏踏实实；唯有慢，才能让现实问题合理演绎；也只有慢才能让学生真正积淀活动经验，生长实实在在的生命感悟……慢不是为慢而慢，是为了不再重复，是为生成快的效果；只有先慢下来，才可能快起来，“磨刀不误砍柴工”就是这个道理吧！相信“慢”将会被教育者接纳，因为它能让学生做得踏实，学得实在，能真正跟上、真正搞懂、真正生成，能让教师获得一定层面的解放感，期待“慢”能给综合实践课带来新的生机和注入新的活力！