浅析模型思想在“数学实践”教学中的应用
朱 琴
摘 要： 本文首先阐明模型思想和“数学实践”的含义，提出用模型思想指导“数学实践”活动；然后以购物费用估算模型的建立为案例，展示了活动的完整过程。建模思想体现在了问题的提出、模型的建立及求解、模型的验证这一建模过程中。最后通过反思整个活动过程，指出模型思想指导下的“数学实践”活动确实能提高学生的数学能力，提高老师的教学水平。
关键词： 模型思想；数学实践；购物；费用估算
数学模型同数学应用、问题解决紧密地联系在一起，对于数学教学具有十分重要的意义。模型思想是学生体会和理解数学和外部世界联系的基本途径，主要体现在建模过程中，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义，必要时还需要拿到现实问题中去检验，这是一个对数学进行科学探究的过程。
“数学实践”是一类以问题为载体、师生共同参与的数学学习活动。针对问题情景，学生借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程。
二是适应消费需求变化抢抓新型供给。随着社会主要矛盾变化，人民群众消费需求呈现多层次、个性化、体验式等新特征，对安全环保、便利快捷、文化价值、精神享受需求扩张。要抓住机遇培育新动能，重点发展新能源、新材料、新技术、新业态，在绿色农业、生物医药、海洋科技、人工智能、洁净能源、大数据科技、现代服务等未来型先导型产业进行产业链式精准布局，促进园区规模化生产。
模型思想和“数学实践”都是从问题出发，都要经历一个相对完整的问题解决过程，在解决问题的过程中往往需要综合应用各种知识和技能，需要与他人协作，两者具有内在的契合性。用模型思想指导“数学实践”活动，将数学建模过程作为“数学实践”活动的主线，能够提高“数学实践”活动的数学价值，有效实现数学教学目标；同时“数学实践”活动由于时间和空间上的灵活性，为模型思想的完整展现提供了良机，有利于模型思想的培养。
对于小学数学教学而言，数学建模和“数学实践”活动本身就具有一定的难度，而将二者有机结合并达到较好教学效果可谓难上加难，相关的案例也不多见，本文以“购物费用估算”为例，展现了一个模型思想指导下的“数学实践”学习活动的完整过程。
一、活动的起点：问题
巴基斯坦年度安全报告中主要总结分析本年度的恐怖主义态势，发生的总的恐怖事件、死亡人数，以及各个省部落区、重点城市的数据统计。从各个方面来研究恐怖袭击的规律和变化趋势，为国家的反恐策略的调整做一定的参考。
为了准确描述反应动力学过程，最常用的方法是通过多升温速率等转化率求得的活化能与几个可能的动力学模型的结果进行比较，从而确定最可几动力学模型函数。
选择恰当的问题是搞好“数学实践”活动的起点，也是关键。建模思想强调从日常生活或具体情境中发现问题，“购物费用估算”是日常生活中常见的数学活动，将估算与日常购物相结合，能培养学生估算意识和估算应用能力。在以往的估算教学中，笔者采用了“创设情境、探索交流、总结归纳、应用拓展”的教学思路，感觉良好，但有一次学生提出的一个问题引起了笔者的深思，即“课堂上学到的估算方法在实际购物时为什么用不上？”。为什么会用不上？这需要对实际购物及费用估算进行深入细致地分析，才能得到答案。
显然这是一个实际的、富有挑战性的问题，那它是否适合作为“数学实践”活动的主题呢？这需要进行评估。经过进一步的分析和研究，笔者认为可以一试。一方面是因为笔者对问题的解决有了初步的构思和把握，涉及的知识和方法基本不超过小学五年级学生的知识水平；另一方面是与部分同学交流后，同学们表示出了对该问题的兴趣，愿意在老师的带领下研究这一问题，而且问题的解决需要收集大量的数据和计算，确实需要学生的参与。
二、活动的过程：建模
县委组织部的一个副部长专程来小镇看望我，很热情，还说了一大堆让年轻人很受用的话。这让我热情澎湃，心里立马许下了扎根农村大干一番的雄心壮志。
在模型思想指导下，“数学实践”活动的过程，既是探究学习的过程，也是建模的过程，超市购物费用估算模型的建立基本经过以下步骤：
(一)提出问题
考虑到绝大部分学生都有超市购物的经历，而且组织全体学生实际购物费时费力，所以充分利用学生已有的购物经验，请同学回忆购物过程，直接提出问题：“如何找到一个简单有效地购物费用估算方法？”
(二)构建和求解估算模型
本文中提出的互联网+背景下的精品资源共享课程建设方法探讨，通过分析目前资源共享平台建设的意义和缺陷，提出如何在互联网+背景下，利用互联网优势，将最优质的师资和资源进行共享的方法。在下一步工作中，继续将互联网+的共享资源方法应用到计算机专业相关课程体系中。
解决这样的问题，常用的估算方法有：(1)忽略小数位法，将每个数的小数部分忽略，然后累加整数部分，可以得到实际数的下限估计部分；(2)进1法，去掉小数位后，将个位加1，累加得到实际数的上限估计部分；(3)四舍五入法，将小数点后的尾数四舍五入，然后累加，计算出的数是实际数的一个更为精确的估计。
选修课作为核心课程的必要补充，也起着相当重要的作用，参考《高等学校商务英语专业本科教学要求》，适合在独立学院开设的商务英语专业选修课如表3所示。
日常超市购物一般会在经历一段购物时间后，排队结账，估算(主要是口算)实际发生在结账前(购物过程中或排队等待时)，结账后根据发票主要是检查物品的数量、价格和发票上的是否一致，一般不会怀疑价格计算的准确性。结账前估算的依据是物品单价和数量，这里就需要记忆物品的单价(数量可以通过清点物品得到、现场称量并贴上金额标签的物品价格无须记忆)，当物品较多时，如何有效记住物品单价是估算要解决的第一个问题。在实际估算时，人们大多是估算到元，而具体的估算方法则是多种多样的，如何找到一个便于记忆、计算快捷、精度适当的估算方法，就成为一个值得探索的问题。而在以往教学中，“创设情境”的时候，过于简化，没有反映出超市购物估算的上述特点，在探索交流时则侧重于估算策略的选择和计算，最终没能提出一个简单有效的可以实际使用的估算模型。
在实际操作中，请学生收集一张超市购物发票(要求商品数3-15项，总金额1000以内)，将发票上总金额信息部分去掉，另外记下总金额。在课上，学生互相交换发票，根据发票各项商品数据口算估算总金额，将口算结果记下，然后与实际总金额比较，一般会与总金额有差异，老师借机引导学生讨论、交流后，一般可以归结出以上估算方法。
为了进一步弄清上述3种估算方法之间的数量关系，老师提问：“知道了实际数的下限估计部分，能不能很快算出上限估计部分？”，并通过实际数据计算演示，引导学生观察、推理：假设有3个商品金额：25.12、6.88、10.60，下限估计数(X )为25+6+10，上限估计数(S )为26+7+11，那么S =25+1+6+1+10+1=25+6+10+3=X +3，通过归纳可以得到上下限估计数之间的关系式：X =S +n (n 是商品数)，类似的四舍五入法估算的金额数(Z )为：25+7+11，那么Z =25+6+10+2=L +i (i 是五入的商品数)，也就是说只要知道下限金额数，上限金额数和四舍五入法估计的金额数，就可以方便地计算出来，反之亦然。
经过大家的初步讨论，发现问题并不是那么容易解决，需要综合考虑各种因素，笔者引导学生需要将问题简化，有学生提出可以先根据发票上的数据来估算费用，进一步讨论后，问题转化为根据发票金额列(商品单价×数量的结果)的数据估算总费用(商品金额估算到元)，这可以抽象出更一般的数学问题：给定一列数，估算数相加的和(估算到整数个位)。
要求学生在实际购物中，使用上述方法估算，将估算结果记在发票上带回课堂，在课堂上统计计算出实际金额与估计金额的最大、最小差值，以及最大、最小相对误差，相对误差计算式是：(实际值-估计值)/估计值。通过切身经历以及广泛比较，同学们普遍反映估算方法简单易行，估算结果比较准确。
(三)实际检验估算模型
至此，学生对于上述简化的问题已经有了较为深入地认识，能够确定总金额的范围，并估算出一个较精确的值。
但也有同学提出了异议：“上面的方法是根据已打出的发票进行估算的，而结账前，没有发票，估算时，首先需要知道每个商品的单价和数量，而有些商品的单价，只在货架上标示，只有记住才能计算”。老师顺势问道：“确实，超市购物时间一般较长，如果需要记的商品单价较多，就容易记错，大家有什么好的办法吗？”，同学们经过讨论，提出了各种方法，大致可归结为以下两个方面：一是借助工具记忆，如用笔记下价格、让一同购物的人帮着记、将价格写在手机里，甚至提出用手机扫描商品条形码获取价格；二是尽量减少记忆量，如只记价格的整数部分、边购物边估算，记住中间结果。但在实际购物中，工具虽有助于记忆，却并不常用，人们主要还是靠自己的大脑来记忆和运算，所以应探索如何减少记忆和运算量负担，同时较准确地估算出总金额？
还有同学提出疑问：“上述模型方法是基于商品金额(商品单价×数量)计算的，而商品金额本身有时并不容易计算，例如单价12.7元，数量13，需要计算12.7×13，这个如何简便计算？”。
这些问题的提出，为下一次活动的展开埋下了伏笔。
三、活动的终点：反思
建模活动结束后，师生的反思很有必要，一方面总结反思是活动的一个重要环节，有利于培养反思意识；另一方面通过反思学生可以进一步理解所用的知识和方法，体会建模过程，积累数学活动经验，老师则可以反思整个教学活动，积累教学经验，进一步提高自己的教学水平。
购物费用估算问题源于日常生活，在师生的共同努力下，发现和提出了“如何简单有效估算超市购物费用？”这样一个富有挑战性的问题。然后师生共同经历了将实际问题简化抽象、采集数据建模求解、再实际检验模型的建模过程。在这一过程中，综合运用了多种知识，多种技能、多种思维方法，培养了学生的问题意识，运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，活动充分体现出了综合性、实践性和过程性，学生的数学能力、解决现实问题的能力得到锻炼和提高。不少同学反映虽然在活动中遇到一些问题和困难，但在老师的指导下，同学们的互相帮助下，克服了困难，当看到在购物中，运用自己参与研究出来的估算方法得到较好的结果时，体验到了成功的喜悦，也增加了自信。
笔者在这次探究活动中也体会到要想将建模思想有效融入“数学实践”活动中，教师需要不断学习、思考、实践，努力成为一个好的数学建模者。要能够提出一个好的问题，初步规划后，应大胆尝试。要相信学生，依靠学生，让学生参与进来，师生的共同努力是活动成功的关键。对这次活动而言，虽然已经走到了终点，但对下一次活动而言，这将是一个新的起点。
参考文献：
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[4]陈丽兰，刘鸣，曹景明.儿童估算策略选择研究述评及展望[J].数学教育学报，2009(6)：83-86.
作者简介：
朱琴，江苏省南京市，南京市诚信小学。