——用“三角形分析”模型解决《打折销售》问题
李 松 广东省深圳市南山区松坪学校中学部 518057
摘 要：在数学教材中，模型无处不在。模型思想是“问题解决”的重要形式，有利于培养学生的创新能力，也是培养学生“用数学”的重要途径。学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型理解、把握的过程。本文以义务教育教科书（北师大版）七年级数学上册第五章《一元一次方程》中《打折销售》一节的内容阐述了“模型”在解决数学问题中的作用。
关键词：模型思想 三角形分析法 打折销售
北师大版七年级数学上册第五章《一元一次方程》安排有《打折销售》一节内容的教学。打折问题，学生在小学阶段已有所接触和认识，学生已知“几折”所表示的意义，而且学过用算术方法计算一些简单的打折销售问题。教材再次安排本内容的学习也体现了新课标提出的“螺旋式上升”的编排原则。通过前两节课的学习，学生已经经历了运用方程解决实际问题的过程，知道寻找等量关系是解决问题的关键。
本节课以“打折销售问题”为例展开探索，关键在于理解成本、售价、标价、利润、利润率等术语的含义，分析“打折销售问题”中的数量关系，建立数学模型，并用方程最终解决实际问题，使学生进一步领悟到方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，让学生在解决问题的过程中体验数学与周围世界的联系，以及数学在社会生活中的作用和意义，逐步领会学数学、用数学的思想，感受成功，增强自信。
打折销售虽然是生活中常见的一个问题，但学生缺少丰富的生活体验，所以对打折销售问题中各种数量关系、等量关系的分析和理解是教学中的难点。为有效地突破此难点，我尝试着让学生建立“三角形分析”模型来解决这类问题，效果较为理想。现将这种模型及其应用简要阐述如下：
一、方法解析
1.打折销售问题中常用的几个基本数量有：（1）成本：通常是商家购进商品的价格，也称为进价、批发价。（2）标价：是在进价的基础上适当提高之后形成的价格，也称为定价。（3）成交价：是指在销售过程中实际成交的价格，通常是在标价的基础上适当降低之后形成的价格，也称为售价。（4）利润：是相对于成本而言，售价比成本多出的部分，也称为盈利。（5）利润率：是利润相对于成本的百分比（率），也称为回报率、收益率。
2.在课本安排的这一节内容中，涉及到上述几个基本量之间的关系大致有以下几种：（1）进价＋提价＝标价；（2）标价×折扣数＝售价；（3）售价-成本＝利润；（4）（售价－成本）÷成本×100%=利润率。
基于上述分析，在实际教学中我引导学生总结了如图所示的“三角形分析”模型：“成本”“标价”“售价”三个数量分别处于三角形三个顶点位置；“成本”与“标价”之间用“提价（或提价百分比）”联接，“标价”与“售价”之间用“折扣数（或降价数量）”来联接，“售价”与“成本”之间用“利润（或利润率）”来联接。从图中可知，简单的“打折销售”问题中所涉及到的六个元素之间的数量关系、等量关系一目了然，清晰直观，而且根据不在同一边的三个元素（至少有一个元素是已知的），就可以求出其它三个元素。
二、应用举例
例1．某商品按成本价提高60%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠销售，结果仍获利1.4元，这种商品每件成本是多少元？
分析：此题中已知的三个元素分别是：1.提价60%；2.折扣数为80%；3.实际利润为1.4元。在“三角形分析”模型中处于不同边，依据它们之间的关系可得出本题的等量关系：成本价×（1+提价百分比）×折扣数－成本价＝利润。再设出未知数（成本价），即可按题意列出方程并求解。
例2．某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是28%。此商品的进价为5元，那么商品的原价是多少？
分析：此题中已知的三个元素分别是：1.成本价5元；2.折扣数为80%；3.实际利润率为28%。与上题类似，这三个元素在“三角形分析”模型中也处于不同边，依据它们之间的关系可得出本题的等量关系：（原价×80%－进价）÷进价×100%＝利润率。再设出未知数（原价），亦可按题意列出方程并求解。
例3.利用今天所学知识，借助右图中的有关数据，自编一道可以用一元一次方程来解决的打折销售问题，并作出解答。
分析：在利用“三角形分析”模型解决了前面两个简单问题之后，让学生尝试着自编应用题，对学生理解知识、运用知识的能力都提出了较高的要求。但学生只要掌握了这种模型的分析方法，就具备了一定的再造能力。
数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。我们数学教师要做教学有心人，以教材为载体，有意点拨。通过对教材内容的科学加工、处理和再创造，达到在应用中学，在学中应用，引导学生把数学知识运用到生活实际中以解决实际问题。
论文作者:李松
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第315期
论文发表时间:2018/3/28
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