数形结合思想在小学数学教学中的应用，本文主要内容关键词为：小学数学论文,思想论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
小学数学教学研究的对象，概括起来就是数和形两个方面。“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，更是解决问题的重要方法。数形结合的思想方法体现了代数和几何中最精彩的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程机械化、可操作性强，便于把握，因此数形结合的思想方法是学好小学数学的重要思想方法之一，承载了为中学数学打好基础的任务。然而，目前小学数学课堂教学中，渗透数形结合的思想方法落实得怎样呢？
为此，我们对40名数学教师就数形结合的涵义、在解决问题中的表现，进行了问卷调查。
教师调查问卷
(1)您最早在______时候接触到“数形结合”这个词，当时与之相关的数学内容是______。
(2)你是怎样理解“数形结合”一词中，“数”代表的涵义是______，“形”代表的涵义是______，“结合”代表的涵义是______。
(3)“数形结合”的涵义是______。
(4)列举与“数形结合”思想方法相关的数学知识：______。
(5)简述“数形结合”思想方法在数学教育中的作用。
(6)举例简述你在日常教学中如何进行“数形结合”思想方法教学的。
1.调查结果统计。
(1)100%的调查对象接触过“数形结合”这个词。根据其自身回忆，10%的人（4人）最初在小学接触到该词，当时与之相关的数学内容主要集中在：用线段表示应用题中的数量关系，关于路程、行程的应用题；65%的人（26人）在初中，其中近一半的人（13人）认为数轴与“数形结合”相关，此外一次函数也有很多人认同；28%（11人）的人在高中接触，相关的主要内容是函数；10%（4人）的人在大专接触；3%（1人）的人无准确回忆。
(2)对“数”的涵义绝大多数人回答为：数量关系。有一部分人列举数量关系的外延来代替，例如数字和代数的字母、表达式及其之间的运算。也有一小部分的人望文生义认为“数”指代数、数据、函数等。
(3)对“形”的涵义绝大多数人回答为：空间形式。有一部分人列举空间形式的外延来代替，例如图形、图象、实物等。基本上没有太离谱的答案。
(4)对“结合”的涵义答案相当多。大多数人认为“结合”就是：相互转化（换）、相互反映、相互表达、建立对应关系等等。另外有3名调查对象没有填写。
(5)全部调查对象均能列举出与“数形结合”相关的数学知识，除有些过于简略之外，没有明显错误。
(6)对于“数形结合”的作用。14人（占全体老师的35%）直接引用或间接引用这句话：“数无形时少直觉，形少数时难入微”。35人（占全体老师的87.5%）认为“数形结合”的主要作用在于将“数”转化为“形”，化抽象为形象，使学习者建立直观的认识，或使解题者便于发现问题的隐含条件，即以“形”助“数”。但没有人将借“数”解“形”及其同义词名单独地作为答案。
2.结合与个别教师访谈分析。
(1)“数形结合”一词在小学数学界传播甚广。
(2)半数的人了解“数形结合”的基本涵义，但对其理解多集中于对象性上，对功能性涵义关注不够。
(3)通过对“数形结合”作用的调查发现，多数人对将数转化形比较关注，但是觉得数学思想方法在教学目标中不像知识目标那样显性，是隐性的，想渗透但不知怎样渗透、怎样培养。同时还可以发现对借“数”解“形”重视不足，这一点从本调查中似乎还不能找到确切的答案，有待进一步发现。
通过上述分析，我们认为数形结合的思想方法还没有真正落实到小学数学课堂教学中，老师们普遍重视不够，数学思想方法的教学是很不到位的。部分教师仍然过分重视知识的传授或是进行大量的习题训练，而一些数学思想往往会被忽视，被理解成数学中最常见的、最基本、较浅显的内容，一带而过，有名无实。这种对数学思想方法理解偏颇的教学也导致了学生对数学本质理解的肤浅，不完整，也造成学生只能停留在解题方法的一招一式的模仿上，不易形成数学意识，因此学生对问题的审视不能站在一定的高度，对问题的解决缺乏灵活驾驭的能力。
为此，我们结合京版小学数学实验教材，首先对“数与代数”领域的数学知识按数的认识、数的运算、常见的量、探索规律、解决问题等进行梳理，确定哪些知识可以作为渗透数形结合思想方法的载体，同时从“以形助数、以数助形”两条线索进行了初步的探索与实践，力求形成具体的、可操作的研究框架和范例。
一、结合数的认识教学，渗透数形结合思想方法
数的产生源于计数，是对具体物体的计数，而产生数的概念之后，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”，在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表示抽象的数。生动、形象的图形能将枯燥的数学知识趣味化，让学生从中获得“学习有趣”的情感体验，进而引导学生进行探索，将兴趣逐渐转化为动力。
如在教学《千以内的数的认识》时，我们利用几何形体直观地将计数单位及相互间的“十进制关系”呈现出来。
孩子们结合立方体点、线、面、体的变化，直观地认识计数单位“一”“十”“百”“千”，理解它们之间的十进关系。学生很有兴趣，其效果比抽象地讲计数单位要好很多，计数单位以这种形式在孩子们脑海中建立了表象，为后面的数的大小比较、数的计算的学习打下了良好的基础。
又如在《倒数》的教学中，在拓展练习环节我们借助几何直观，首先利用线段图，数形结合，突出一个数与它的倒数的相互依存关系及真分数、假分数的倒数和“1”的关系，并且体会到“1”的重要地位。
在小学阶段所学习的整数、小数和分数中，除“零”以外，其他任何数都有所对应的“倒数”，这是它们的共性。这些数因此与“1”建立了联系。在这里，“1”这个数比以往学生对“1”的认识增加了非比寻常的意义，即“1”与互为倒数的两个数的乘积相等。这里揭示了“1”与除了“0以外的所有的数都有着固定的亲缘关系。“1”是不变的，它相当于一座永恒的桥梁，这座桥梁承载了几乎所有的数。这样，学生在以往对“1”的认识的基础上，还认识到了“1”对乘法运算的重要性。因为乘法基本原形是面积，所以在线段图后，再次增加了让学生想象长方形的环节，其目的就是再次借助几何直观，在线段一维直观的基础上，进入到面积的二维直观，将“1”置于不同的直观的环境下，再一次让学生感悟“1”的神奇与独特。
二、结合数的运算教学渗透数形结合思想方法
数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法。著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。在教学中，许多算理学生模棱两可，如能做到数形结合，学生便可透彻地加以理解。如在教学《异分母分数加减法》时，我们利用数形结合使学生体会“通分”的必要性，理解异分母分数加减法的算理，突破教学难点。
在例题讲解后的回顾过程教师问道：
(1)让我们一起回顾一下用通分的方法计算这三道题的过程，想一想，你发现了什么？
教师这时边播放课件边语言讲解。
通过以上数形结合的办法，既强化了异分母分数加法的算法，又深刻理解了这个算法的算理所在，数形结合相得益彰。
三、结合“常见的量”的教学渗透数形结合思想方法
我们知道，数学的主要研究对象是数与形。但在现实生活中，数与形和量与计量总是密切联系着的，学习数学必然要涉及量与计量。如何在量与计量中渗透数形结合呢？例如《24时记时法》一课我们是这样安排的：
①导入：刚才通过小朋友的一日生活，我们知道了一日的时间，时针正好走了2圈，是24时。那么钟面上1～12这十二个数是怎样表示24时的呢？有人知道吗？注意观察，看看计算机朋友都告诉了我们什么？
②观察课件。
教师：现在是夜里12时，人们一般都在睡觉。
教师：到了中午12时，时针走了一圈，一天才过了一半。现在又到夜里12时了，时针走了两圈，这才是一日呢！
教师：通过计算机的演示，你都知道了什么？（生1：一天有24小时。生2：一天就是一昼夜。生3：一天里时针转了2圈。生4：时针在走第二圈时，所有的刻度数都要加上12。下午1时，用24时计时法表示是13时）
教师：从0时到中午12时钟面上的12个数都用过了一遍，这刚半日。如果我们继续往下数，该是13时，13时也就是我们说的下午l时。你还知道什么？
小结：像这种从0时到24时的计时方法，叫做24时记时法。
“24时记时法”是小学数学教学难点，从三年级学生的年龄特点出发，在认识24时计时法的教学过程中，选择了借助信息技术，使分针、时针的转动情况配之夜晚、白天、月亮、太阳的交替变化的画面，将时针运行两圈的情况与线段计时同步延伸运动，曲线变直，直线变曲，展示过程，形象地演示出其中难以理解的内容。通过曲变直形的变化帮助学生建立1日＝24时。体会1日包括白天和黑夜，知道夜里12时是上一天的结束也是新一天的开始，时针走两圈才是1日，1日是24时。体会从时针走的第2圈开始钟面上的数要加12才是24时记时法。
四、结合比和比例的教学渗透数形结合思想方法
如教学《正比例的意义》时，学生亲身经历将实际问题抽象出数学模型并进行解释与应用的过程，体会数量间的关系，内化正比例的意义。初步体验函数思想。如何帮助学生建立“正比例的意义”，是本节课的重点也是难点。教师利用数形结合思想，借助计算机课件，将操作活动形成的实物图像逐步过渡为函数图像，和学生想象同步演示，加深学生对正比例意义的理解。
学生通过动手实践，初步发现规律，教师此时适时提问。
看来在底面积一定的情况下，体积和高具有这样的变化规律。请同学们想象一下，体积和高这两种相依变化的量变化的方向是什么样的？请看大屏幕，看看和你想象的一样吗？
（课件演示）
师：由此看来，底面积一定时，体积和高有这样的变化规律。通过实验我们知道体积和高具有这样的变化规律。（出示课件）这些相依变化的量是否也有这样的变化规律呢？让我们一起来研究。
五、结合“探索规律”的教学渗透数形结合思想方法
数学家华罗庚曾说：“人们对数学早就产生了干燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。数形结合思想是充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，从而丰富了学生的表象，引发联想，探索规律，得到结论。
例如：在计算“1+2+…+19+18+…+2+1=?”这个问题时，可以引导学生借助19×19的正方形图进行观察（如下页图），按对角线方向依次计算，发现小正方形数分别是1、2、3、4…19、18…3、2、1，再将这些数都加起来就是1+2+…+19+18+…+2+1，计算时可以用19×19=361得到答案。借助图形的直观，化难为易，学生不但清晰发现了规律：1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=
，而且理解深刻，掌握牢固。
六、结合解决问题的教学渗透数形结合思想方法
以“解决问题”为核心的实际问题的教学，更加注重从学生已有的知识经验与生活背景出发，给学生提供具有一定现实意义和趣味性的应用题素材，为学生创设富有挑战性和开放性的问题情境。使学生的求知欲和探索欲得到满足。本节课将抽象的应用题放在直观图形的情境中，在直观图示的导引下，学生充分理解数量间的关系，根据总数和份数求每份数，以及根据每份数和份数求总数的基本技能。沟通图形、表格、及具体数量之间的联系，通过形数结合的训练，提高学生比较、分析和综合的能力。如《归一问题》一课教师是这样安排的：
●借助直观图形，使学生初步感知每份数、份数与总数之间的关系。
1.今天的学习从一个简单的图形开始。呈现一个长方形，表示120。现在平均分成4份，1份涂上斜纹，斜纹部分表示多少？（生：120÷4=30）
2.你是怎么想的？
（生：用总数除以份数，可以求出一份是多少）
3.呈现另一个图形：一个三角形表示90，斜纹部分有6个，斜纹部分表示多少？（学生解答：90×6=540）
4.你是怎么想的？（生：用每份数乘以份数，可以求出总数）
●借助直观图形，初步感受归一的基本模式。
1.右面这个图形的黄色部分表示多少？
（生：少条件的，应该告诉一份是多少）
2.师追问：非要告诉一份是多少吗？我们一起来看看到底告诉了什么已知条件？能不能求出斜纹部分是多少？出示：网格部分表示180。
3.学生独立思考，尝试解答。有的先分步：180÷3=60，60×5=300，教师引导用综合算式解答：180÷3×5=60×5=300，特别强调：先算哪步，表示什么？
4.师补充：如果已知的是整个图形表示480呢？
5.生列式计算：480÷8×5=60×5=300。
又如《打折与策略》的案例，教学中教师出示了如下题目：
张老师要买一个打印机，乔老师要买一件毛衣。
打印机：800元／台
毛衣：200元／件
商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。
两位老师合着买比分着买可以省多少钱？
课堂上学生出现两种方法：
方法一：(800-500)×80%+500+200=940（元）
(800+200-500)×80%+500=900（元）
940-900=40（元）
方法二：200×(1-80%)=40（元）
当时很多同学不理解第二种算法，运用方法二解题的同学把图画在黑板上，而授课教师又适时的把第一种算法的线段图画在上面，学生通过两个图的对比，恍然大悟！真正省的其实就是那200元的20%，所以是40元。这道题凸显了通过画线段图把复杂的数量关系变得简单明了，将抽象的数学问题直观化的特点。综上所述，小学数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为主线，知识内容是显而易见的，但对于数学知识中所蕴含的数形结合思想教材并未明确指出，学生也不易察觉，需要广大教师潜心钻研并努力挖掘其中的思想内涵，这样才能在教学数学知识的同时予以渗透。此外，数学思想又不像数学知识、解题方法那样具有某种形式，只是体现为一种意识或观念，它不可能是一朝一夕、一招一式可以形成的，它是一个渐进的完成过程。这又要求广大教师应做教学的有心人，从学生发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划、有系统、适时适度予以渗透，使数形结合思想能始终贯穿在传授数学知识的过程中，成为一种有意识的教学活动。只有这样，数形结合思想方法的教学才能落到实处，学生才能逐步形成数形结合思想，并将其作为学习数学、运用数学和创造数学的有力工具。