在解题教学中应注意培养学生的数学思维素质_数学论文

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著名数学教育家乔治·波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练，掌握数学意味着什么？这就是善于解题.”解题是数学的核心，解题能力是衡量一个人的数学水平的重要标志，搞好解题教学则有利于提高学生的解题能力.而日常的解题教学活动往往没有能够取得预期的教学效果，师生一起陷在题海中，为解题而解题，学生的解题能力没有显著的提高，甚至还会出现遇到条件稍加改变，或者只是呈现形式有变化的题目，学生仍然不会做的现象，遇到新的问题更是无从下手，不会分析，没有思路，找不到解题的突破口.究其原因，主要是忽视了对学生良好思维品质的培养.解题教学活动应注重培养学生的数学思维品质.良好的数学思维品质主要包括思维的严谨性、深刻性、广阔性、灵活性和批判性.解题教学活动的核心是数学思维活动，要让学生去体验，感悟，经历整个思维活动的过程，通过思维碰撞，引起思维冲突，激起学生智慧的火花，激活学生的思维.教师要选好典型例题，充分发挥例题的教学功效，引导学生探究，课堂上要凸显学生的主体地位，让学生主动参与到解题教学活动中，这里的主体参与不仅有学习行为的参与，更多的是思维的参与，学生能够积极思考，暴露自己的思维过程，教师则尽可能地站在学生的角度去思考问题，及时启发、引导、点拨，优化学生的思维品质，提升学生的解题能力和数学素养.

一、一题多解，培养思维的广阔性

思维的广阔性是指对一个数学问题能从多方面考虑，进行多角度的思考.具体表现为对一个数学问题能作多方面的解释，对一个研究对象能用多种方式表达，对一个题目能想出多种不同的解法.在数学解题教学活动中，注重多方位、多角度的思考方式，拓宽解题思路，可以培养学生思维的广阔性.

解法1 （向量运算法则）如图2，在

中，

解法3 （向量的性质）如图4，连接AB交OC于D点，在Rt△BOD中，

OB=1，∠BOD=90°，∠OBD=30°，

因为D∈AB，根据“爪形图”性质得

波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”平面向量是高考的重要考点，本题所用的方法中涉及平面向量加法运算的平行四边形法则，坐标运算、数量积运算、有关性质的灵活运用等，其中平面向量的数量积作为C级考点，更是江苏历年高考数学的热点.这里一题多解是从不同的角度探索解题的思路，有助于学生对平面向量有关知识系统把握，整体建构，同时有助于发散思维的训练与培养.

例2 在△ABC中，若AB=2，AC+BC=3，则cos C的最小值是________.

解法2 （基本不等式）设CA=b，CB=a，则a+b=3，

当且仅当a=b时取等号.

解法3 （数形结合）易知点C在以A，B为焦点的椭圆上，当点C在短轴端点时∠C最大，且为锐角，此时cosC最小，

解法1运用函数思想，转化为求函数最值问题；解法2运用基本不等式，根据“和定积最大”求出最值；解法3运用数形结合思想，既减小运算量，还可进一步求得sinC的最大值，

的最大值等.在解题教学活动中一题多解确实对培养良好的思维品质有帮助，但是要注意过多注重于细节不同的多种解题方法容易掩盖对数学本质的理解，要强调对数学本质的认识，以免将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.一题多解之后教师要引导学生对方法进行比较，并从中优选出最佳解法，学生要及时对自己已有思路、方法进行改进、完善，参透每种方法中所体现的数学本质，使得思维过程提升向着数学方法、数学思想的高度升华.

二、一题多变，培养思维的灵活性

思维的灵活性是指数学思维能及时地随机应变地应对研究对象的变化，以及尽可能地不受思维定势的影响，而且善于摆脱旧的模式或通常的制约条件.灵活的数学思维表现为针对知识的运用自如，善于变通和调整思路，善于运用辩证思想进行具体问题具体分析是思维灵活性的重要表现.在解题教学活动中不失时机的进行变式教学是培养学生思维灵活性的重要途径.通过一题多变，借题发挥，达到以点带面，举一反三，触类旁通的目的，既拯救学生于题海之中，不让学生感觉到有永远做不完的数学题，培养学生学习数学的兴趣，还能提高学生的解题能力和数学思维能力，进而提高解题教学的课堂效益.

解析容易求得函数f（x）的值域为[-3，3]，函数g（x）的值域为[m-1，m+8]，问题可以转化为

，解得m∈[-5，-2].

解析与原题相比较关键之处在于多了“唯一”两个字，结合函数g（x）的图象可以将问题转化为f（-2）=m+8≥3，f（2）=m＜-3，解得m∈[-5，-3）.

解析转化为g（x）-f（x）＜0恒成立，分离参数m求最值.

变式8

，其余条件都不变，则实数m的取值范围是________.

解析求函数g（x）的值域要分类讨论，考虑函数g（x）图象的对称轴与定义域区间[-2，2]的3种情况，由函数f（x）的值域是g（x）值域的子集得

波利亚曾指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”在解题教学活动过程中要学会采“蘑菇”，善于引导学生对一个好问题进行变式改造，如改变题目的条件、结论、图形、叙述方式等，进而对问题进行更深层次的探索，这样灵活地运用变式教学，既可以免于搞题海战术，减轻学生负担，做到深入浅出，以点带面，以少胜多，又能较好地培养学生的思维能力，克服思维定势，提高学生的解题能力及应变能力，而且能激发学生学习数学的兴趣，提高学习的积极性.

三、一题多探，培养思维的深刻性

思维深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的深度和难度.在数学学习中经常有学生对结论不求甚解，做练习时照葫芦画瓢，根本没有真正领会解题方法的实质，离开书本和老师就无法独立解题这种现象正是学生在长期的学习中缺乏思维深刻性的表现要克服这一现象，必须有意识地经常进行思维的深刻性训练.在解题教学活动中进行探究式教学有助于培养学生的思维的深刻性，引导学生透过现象看数学本质，洞察数学对象的本质及联系.很多的数学问题，条件关系比较隐蔽，如果只看问题的表面，是无从下手的.因此在解题教学活动中，要进行由表及里的探索，抓住问题的本质和规律.