（浙江省海宁市斜桥镇祝场中心小学，314406）
摘要：本文就作者从大量的课堂教学中，观察到的解决问题策略“多样化——优化”的过程中普遍存在的问题作了归因分析，提出“解决问题策略‘多样化——优化’的过程应当成为培养学生数学思维能力的过程”的观点，并在教学实践中总结出了基于上述理念的算策略“多样化——优化”的一般教学流程，详细阐述了在执行这一流程时的一些具体做法和些许感悟。
关键词：策略；多样化；优化；数学思维
儿童心理学研究表明，不同学生有着不同的思维方式、不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能。这就要求我们在教学中应关注学生在数学学习活动时的个性差异，允许学生思维方式的多样化和思维水平的不同层次，不要求所有学生都把教科书所呈现的知识形态作为模本，由教师进行“复制”后再“粘贴”到学生的头脑中。这样的“格式化”教学是不可能产生鲜活的“认知机体”的。
《数学课程标准》（2011版）鼓励与提倡解决问题策略的多样化，给计算教学带来了新的理念，给计算教学的课堂带来了新的活力。小学数学解决问题策略多样化，改变了以往教师直接把计算方法展示给学生的教学方法，吸引了不同层次的学生参与到教学过程中来。是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展、培养学生创新能力的有效途径。
在提倡策略多样化的同时，也要重视学生优化意识的培养。面对多样化的策略，学生究竟用什么方法，教师不能作硬性规定，学生可以自由选择合适的喜欢的方法。但是，教师要适时地优化，让学生自然而然选择较高思维水平的解决策略，提高学生的思维水平和思维能力，也许学生一时还不能选择最优的策略，但如果我们加强引导，重视学生优化意识的培养，那么随着学生优化意识的提高，他们会自然而然选择最优的策略。因为，解决问题策略的优化并不是一蹴而就的，而是经历了一个发展的过程。
解决问题策略“多样化——优化”的具体操作过程该怎样进行？在这个过程中作为教师该注意些什么？当然，至今为止，这也仅是个见仁见智的问题，毫无定论可循，每位数学教师都会凭着个人的教学理念和教学功力步入课堂展开教学，但是从课堂教学实践来分析，笔者认为，在策略“多样化——优化”的具体实施过程中，由于教师理解错位或理念落实不到位，造成“有价值的策略展示不够充分，”、“分析算理、提炼问题走过场”、“探究最佳算法不自主”等现象，这些都是有悖于策略“多样化——优化”的初衷的。
那么，解决问题策略“多样化——优化”的过程具体该怎样实施呢？作为一线的数学教师的我们该注意些什么，该把握住什么。我通过大量的课堂教学案例研究认为，造成上述问题的一个根本性原因在于，教师忽视了策略“多样化——优化”的过程在培养学生数学思维能力中的重要地位。换言之，每位教师应该树立起这样的理念：让解决问题策略“多样化——优化”的过程成为培养学生数学思维能力的过程，只有让这样的理念扎根在头脑中，我们才能在具体的教学实践中纠正自己某些不妥的教学言行。
解决问题策略多样化作为《数学课程标准》提倡的基本教学理念之一，无论在任何版本、任何年级的数学课程中都有着广泛地体现。算法多样化是解决问题策略多样化之一，本着这样的理念，我们对算法“多样化——优化”的过程和方法进行了初步的实践与思考。
近一段时间来，我听了近百节课，包括各种级别的数学公开课、数学观摩课60多节，一般的推门听课30多节，其中有57节课或多或少体现了算法多样化，通过对这57节课中算法“多样化——优化”的过程剖析，并结合自己的课堂教学实践，经过反复的尝试和修正，初步归纳出了基于提升学生数学思维能力的算法“多样化——优化”的一般流程。
以上四个程序在具体的实施过程中，根据学习内容的特点和学生认知水平的高低，可以作适当的调整，不是每一个程序都要平均使用力量。下面是我在执行这四个程序时的一些具体做法和些许感悟。
一、创设问题，展现算法，理解算理
算法优化的前提就是要求算法多样化，算法多样化是学生群体学习能力的表现，这种学习能力的高低很大程度上依赖于教师的点拨和调控，通过创设情景无疑是最有效的手段之一，这里所说的情景不单纯指生活情景，对于小学中高段学生来说创设有价值的、开放的问题情景同样有效。归根到底，无论是创设哪种情景，都要以引发学生的认知冲突，激发学生的探究欲望，展现学生的能力基础为终极目标。
案例1 《梯形的面积计算》的教学片断
板书：已知：梯形的上底是2厘米，下底是5厘米，高是4厘米，求面积？
问题：刚才我们一起复习了长方形、平行四边形和三角形的面积计算公式，已经知道了平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程，那么现在你能设法求出这个梯形的面积吗？并归纳梯形的面积计算公式。
（学生独立探究，小组交流）
组1：我们小组是把两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形，得出这个梯形的面积是（2+5）× 4÷2=14平方厘米。根据这样的思路我们认为梯形的面积计算公式是（上底+下底）×高÷2。
组2：我们小组是通过沿梯形的中位线（教师告之）分割，再拼成一个平行四边形，推导出梯形的面积计算公式是（上底+下底）×（高÷2）,根据这个公式计算出梯形的面积也是14平方厘米。
组3:我们小组是把梯形分割成两个三角形，得出梯形的面积计算公式应该是上底×高÷2+下底×高÷2，根据这个公式计算出梯形的面积也是14平方厘米。
【思考】：课始，教师设计了如下的练习和提问。说出每个图形的（长方形、平行四边形和三角形）面积计算的公式，并算出他们的面积。想一想，平行四边形和三角形的面积计算公式怎样推导的？这样，通过练习和回答，学生认知结构中有关推导梯形面积计算公式所必须的知识（平行四边形和三角形面积计算公式）和经验（转化的数学思想方法等）得到了激活。然后设计一个实际求梯形面积的问题，使学生感到面临的问题的确是他们自己的问题，从而产生了解决问题的心向，主动参与到探索梯形面积计算的过程中。
案例2 《图形问题》的教学片断
课件出示：
问题：上面各图中正方形的边长都是20厘米，求阴影部分的面积各是多少平方厘米？
（学生独立探究，小组交流——教师整理学生的汇报情况）
方法一：通过逐一计算发现6个图形的阴影部分的面积都是86平方厘米。
方法二：计算出第一个图形阴影部分的面积是86平方厘米后，推断出后面五个图形的阴影部分面积都是86平方厘米。
【思考】：这是一个颇具挑战性的题目，由于学生思维品质上的差异，在独立探究时，我们明显发现，课堂上一类学生埋头苦算，当发现结果都是86平方厘米时，这其中的少部分学生开始反思，并与同伴小声交流，另一部分学生则毫无反应。还有一类学生不急于动笔，而是仔细观察，反复推敲，并辅以大量的草图，短时间内就解决了问题，结果在反馈时，这两种方法正好印证了这两类学生的不同思维层次。
二、提炼问题，优化算法，提升思维
据课堂观察，当算法多样化呈现之后，作为教师往往会有两个比较典型的处理方式：第一种处理方法是逐一肯定各种算法，热烈表扬班上的学生善于开动脑筋，并告诉学生每一种正确的方法都是可行的，你可以根据自己的喜好和能力选择算法。第二种处理方法是，授课教师会认真分析算理，抓住各种算法所折射出的学生思维品质上的差异，迅速提炼出问题，反馈给学生，让学生围绕问题，分析算理，优化算法，在此过程中，提升自己的数学思维能力。
用第一种方式来处理算法多样化，我们认为是欠妥当的，面对那么好的课堂生成资源，那么难得的数学思维能力训练的材料怎么能在一片表扬声中轻易错过呢？显而易见，用第二种方式来处理算法多样化是我们所追求的，这当中，教师分析多种算法中所隐含的一些极具价值的数学信息，并据此作出判断、提炼，形成问题，教师这种能力的高低直接决定着此种处理方式的成败。我们从课堂教学实践来看，其实，影响算法优化质量的最大因素就在于此——教师分析、判断、提炼问题的能力不强。当然，教师的这一种能力也并非一朝一夕就能造就而成，它有赖于教师的个人素质，即对学生数学思维敏锐的洞察力以及对课堂生成资源的分析、判断、概括能力，同时它又有赖于教师对教材的钻研深度和广度，对算法的横向和纵向的整体把握能力。下面我们承接上述的4个案例，谈谈根据算法多样化提炼问题时的一些做法和想法。
1、根据算法的融通性来提炼问题。
续 案例1 《梯形的面积计算》教学片段
几种面积计算公式的推导方法出来之后。
师：同学们想，我们推导出来的面积计算公式之间有没有相通的地方，能否用同一个面积计算公式来表示呢？
生1：组2推导出来的面积计算公式“上底与下底的和，再乘高除以2的商，积是多少？”可以转换成“上底与下底的和乘高的积，再除以2，商是多少？”这样组2的公式就可以转换成组1的公式，即（上底+下底）×（高÷2）=（上底+下底）×高÷2。
生2：组3推导出来的面积计算公式“上底×高÷2+下底×高÷2”，根据乘法分配律可以转化成组1的面积计算公式。即上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。
生3：看来通过转化，我们可以合三为一，统一用“（上底+下底）×高÷2”这个公式来表示梯形的面积计算公式。
【思考】：通过合作讨论、交流，学生既知道了不同的方法，也掌握了倍拼、割补、分合等不同的数学思想，使学生不仅丰富了自己的理解，又有利于学习的广泛迁移，同时也促进学生建构能力的发展。在此基础上，为了使主体的认知结果更趋向稳定和加强，教师又引导学生比较、分析、融会贯通，在各自得出的结论之间建立联系，最后抽象概括出通用的面积计算公式。围绕着这样的问题展开研究，无疑使学生的数学思维能力又提升了一个层次。
2、根据算法的一般性和灵活性这对矛盾体来提炼问题。
续 案例2 《图形问题》的教学片断
师：多数同学是通过逐一计算发现6个图形阴影部分面积都是86平方厘米的，而少数同学认为只要计算出第一个图形阴影部分的面积就能推断出其余5个图形的阴影部分面积也是86平方厘米，同学们想一想这是为什么？
（独立思考，小组交流）
组1：我们发现⑵、⑶、⑹号图形，经过分割、旋转或平移能转化成和⑴号完全一样的图形，因为⑴号图形阴影部分的面积是86平方厘米，所以⑵、⑶、⑹号图形无需计算我们就能知道答案了。但是⑷号和⑸号图形，我们就无法转化了。
组2：⑷号图形我们能转化，只要把它平均分成4份，如图： 
其中每1份与图⑴相比形状相同，阴影部分面积就是图⑴阴影部分面积，那么，图⑷中四份阴影的面积正好就是图⑴阴影的面积了。
组3：受到组2的启发，我们认为，图⑸也能转化，只要把图⑸增加3倍，拼成 
：那么，这个新图的形状就与图⑴相同了，而阴影部分的面积就是图⑴的4倍，其中的1份（就是图⑸）的阴影部分就与图⑴的阴影部分面积相等了。
师：让我们一起为同学们的精彩发言鼓掌！
【思考】：解题方法的一般化和灵活性，总是糅合在算法多样化中同时呈现，怎样让学生理解最佳算法的合理性，并且在探究其合理性的过程中提升数学思维能力，需要教师巧劲，上例中，教师抓住优等生的灵活解法，让学生独立思考展开讨论，并在生生互动的过程中，培养了学生对图形进行分割、旋转、平移进行转化的数学思想，也同时丰富了图形转化的表象，发展了空间想象的能力。
算法多样化不是教学的归宿，优化才是教学的本质。教师应正确理解多样化的内涵，从而进行有效教学，让每个学生都能在原有的基础上得到发展，让每个学生从小就学会“多中选优，择优而用”。
参考文献
[1]《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）
[2]《小学教学研究·理论版》 2012年第4期
论文作者:宋利强
论文发表刊物:《知识-力量》2019年4月下
论文发表时间:2019/2/15
标签：面积论文; 学生论文; 算法论文; 梯形论文; 教师论文; 策略论文; 数学论文; 《知识-力量》2019年4月下论文;