一种基于中智数截集的不确定多准则决策方法

余胜平，周 青，段柳芷

(湖北工程学院 数学与统计学院，湖北 孝感 432000)

摘 要： 针对属性值为梯形中智数的不确定多准则决策问题，提出了一种多准则决策方法。该方法首先根据梯形中智数的运算规则融合不同准则下的属性值；然后利用中智数的α 型、β 型和γ 型3种类型的截集，将融合的中智数转换为若干个区间数，最大程度地保留了中智数的不确定信息；接着根据这些区间数构造一个排序指标，用来比较中智数，进而得到所有备选方案的排序。最后利用文献中的一个实例说明了本文方法的有效性和实用性。

关键词： 多准则决策；梯形中智数；截集；排序

多准则决策是决策科学中的一类重要问题，在管理学、城市规划和军事科学等领域有着广泛的应用。然而，由于问题本身的不确定性和人们思维的模糊性，决策者很难用精确数来表达决策信息。1965年，Zadeh^[1]首先提出了模糊集的概念，其中模糊集中每个元素的隶属度用一个介于0和1之间的精确值表示。虽然模糊集理论能较好地处理多准则决策问题中的一些模糊信息，但在现实生活中仍然存在其无法处理的不确定信息。于是，Smarandache^[2]引入了中智逻辑和中智集等概念。在中智集中，元素的真实程度、不确定程度以及失真程度都属于非标准单位区间]0^-，1⁺[，并且它们是完全独立的，这样可以更合理、更自然地表达不确定信息。考虑到科学或工程等问题的实际应用，Wang等^[3]进一步将]0^-，1⁺[改为标准的单位区间[0，1]。

近年来，含有中智信息的多准则决策问题受到了研究者们的广泛关注^[4-5]，他们提出了多种多准则决策方法。如文献[6]研究了方案的属性值和属性权重均为单值梯形中智数的多属性决策问题，给出了一种基于语言信息的多属性决策的去模糊方法，并以制造企业为例说明了其方法的可行性和有效性；文献[7]针对梯形中智数环境下的多属性群决策问题，对梯形中智数采用分数函数、精度函数和Hamming距离函数计算，提出了一种交互式多准则决策 (tomada de decisao interativa e multicritévio，TODIM)策略。文献[8]假设决策信息采用单值中智数的形式，利用TODIM方法求解风险投资中属性权重未知的多属性决策问题；文献[9]考虑到准则间的相关性，定义了中智数的Einstein 算子，提出了一种基于Choquet积分的多准则群决策方法。另外，一些传统的多准则决策方法也被扩展到含有中智信息的决策情形，如扩展的TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)方法^[10-11]，VIKOR(VIsekriterijumska optimizacija i KOmpromisno Resenje)方法^[12-13]，ELECTRE(ELimination Et Choix Traduisant la Realité)方法^[14]等。

在含有中智信息的多准则决策问题中，对中智数进行的合理排序是一个重要方面。文献[15]分别计算真实隶属函数，不确定隶属函数和失真隶属函数的期望值后，构造了梯形中智数的得分函数和准确函数两个指标，用来比较不同的梯形中智数。文献[16]给出了单值梯形中智数3种不同类型截集的定义，然后提出了单值梯形中智数的值和模糊度两个指标，并将这两个指标用于排序多准则下的不同备选方案。与文献[16]不同的是，文献[17]利用3种类型截集计算出的期望值和模糊度，提出了不同的组合形式，使之更灵活。根据最终的期望值和模糊度，采用字典序的方式对单值梯形中智数进行排序。虽然中智数的截集、期望值和模糊度等排序指标计算简便，但是利用积分形式计算这些指标时，或多或少的会丢失中智数的一些不确定信息。类似于模糊集理论的分解定理和扩展原理，根据截集产生的区间数能最大程度地保留原中智数的不确定信息，本文利用中智数的3种类型的截集，将单值梯形中智数直接转换为不同水平下的区间数，然后利用这些区间数的左、右端点值，计算中智数的排序指标，得到了梯形中智数的一种新的排序方法，并将其应用到多准则决策问题中，得到了较好的排序结果。

1基本概念

本节回顾了单值梯形中智数的一些相关概念及运算规则，如梯形中智集、单值梯形中智数、梯形中智数的运算规则、以及梯形中智数不同类型的截集等。

定义1^[3]设X 是一个对象集，x 为X 中任意的一个元素，则定义在X 上的单值中智集可表示为：

(1)

为了比较梯形中智数，一种常用的方法是利用梯形中智数的截集将其转换成普通的区间数处理，然后对区间数进行运算。梯形中智数的3个截集定义如下：

若公式(1)中均为梯形隶属函数，则可以给出了如下单值梯形中智数的定义。

定义2^[17-18]设是定义在实数集R 上的一个模糊集，若的隶属函数、不确定隶属函数和非隶属函数分别为：

(2)

(3)

(4)

式中：ω ₁+ω ₂+...+ω _n =1，ω _j ∈[0，1]。

对于梯形中智数，一般有如下的运算规则。

对于模糊数，Chen和Klein^[19]假设一组给定的不同水平值α _i ，计算出模糊数的α 型截集给出了公式(10)对模糊数进行排序。他们同时指出，n _α 越大，公式(10)越有效，一般n _α 为3或4就可以对模糊数充分排序。

(5)

(6)

(7)

(8)

对于多个梯形中智数，则可以用如下的定义4进行融合计算。

定义4^[15]设为一组中智梯形数，ω =(ω ₁，ω ₂，...，ω _n )为的权重向量，则称公式(9)为中智梯形数的加权算术平均算子。

(9)

式中：a ₁≤a ₂≤a ₃≤a ₄∈R ，b ₁≤b ₂≤b ₃≤b ₄∈R ，c ₁≤c ₂≤c ₃≤c ₄∈R ，则称为R 上一个梯形中智数，记为特别地，当a ₂=a ₃，b ₂=b ₃，c ₂=c ₃时，梯形中智数退化为三角中智数。

式中：分别称为真实隶属函数，不确定隶属函数和失真隶属函数，满足

为效益型准则)

(4)进行相关网购法律教育。有数据显示，2011年，淘宝网(微博)共处理侵权商品信息6320万条，其中接受投诉受理的商品信息处理量为870万余条[11]。因此要对大学生进行相关网购法律教育。传授网络购物的技能。

和

定义6^[17]设是定义在X 上的一个梯形中智数，对任意的β ∈[0，1]，称集合为的β 型截集。

陈前台走过来，看着鱼缸里的三只金鱼，说：“这几只金鱼真可怜，从圆形鱼缸中看到的世界会变形，欧洲有国家专门立法要用方形鱼缸，我给范总建议了好几回，他就是不听。”一杭只是嗯嗯嗯地应付着，眼睛在身边的书柜上乱扫。

定义7^[17]设是定义在X 上的一个梯形中智数，对任意的γ ∈[0，1]，称集合为的γ 型截集。

从定义5、定义6和定义7可以看出，和都是闭集，记为和分别计算和可得区间数：

定义5^[17]设是定义在X 上的一个梯形中智数，对任意的α ∈[0，1]，称集合为的α 型截集。

2排序方法及其在多准则决策中的应用

定义3^[17-18]设两个梯形中智数和精确实数λ ≥0，其运算规则如下：

在确定计划安全成本投入时，项目经理应召集项目总工、项目副经理(生产经理)、安全部门、质量部门、工程部门、技术部门、物资部门、预算部门负责人及相关部室工作人员召开专门会议，参照以往工程项目经验并结合本项目进行实际讨论，编制安全投入计划，使之与计划安全保障水平相匹配。施工时，实际安全成本以实际支出为准，项目安全管理人员与预算人员要做好交接，注意保存原始凭证和单据，并以此为依据计算安全成本实际支出费用，认真填写项目施工安全成本组成明细表，存档备查。项目经理部可结合项目实际情况确定安全成本。

人肝微粒体的制备采用差速离心法［6］，所有操作均在4℃进行。微粒体蛋白浓度以Bradford法并用小牛血清白蛋白作标准对照测定。制备好的肝微粒体分装后于－80℃的冰箱中保存备用。

(10)

式中：

为了对梯形中智数进行排序，这里将公式(10)进行扩展。给定若干个水平值，分别计算梯形中智数的α 型、β 型、γ 型截集，得到梯形中智数的排序公式，给出如下的定义8。

定义8 对于任意一个梯形中智数给定水平值α _i ，β _j ，γ _k ，得到一组梯形中智数的截集i =1，2，...，n _α ；j =1，2，...，n _β ；k =1，2，...，n _γ ，则利用这些截集可以得到如下的排序公式(11)。

R =t ₁I ₁+t ₂I ₂+t ₃I ₃

(11)

式中：

“秀花，从咱俩认识到现在将近三年了，这么长的时间，我是个什么样的人，你大概也心里有个数了。你觉得大哥对你够意思吗？”

术中导丝断裂，无不良并发症时不建议刻意取出，一般对愈后无明显影响。血管损伤若为导丝所致，可抗休克同时密切观察，暂停手术操作，待病情稳定后进行CT造影确定损伤部位及大小；若为螺钉所致，建议输血同时立即进行前路手术翻修［20］。术中硬膜损伤时应调整钉道后重新置入螺钉，一般能够封堵，术后注意观察伤口及颅内压变化。

根据定义8，我们可以得到如下的排序规则：设和是任意两个梯形中智数，1) 若R ₁>R ₂，则优于记为若R ₁<R ₂，则优于记为若R ₁=R ₂，则等价于记为

梯形中智数的排序通常可用于处理多准则决策问题，本文将其用于对不同准则下的多个方案进行排序，其中方案属性值均为梯形中智数。多准则决策问题描述如下：

假设某个多准则决策问题有n 个方案A _i ，i =1，2，...，n 和m 个准则C _j ，j =1，2，...，m ，其准则权重分别为ω _i ≥0，且方案A _i 在准则C _j 下的属性值为梯形中智数x _ij =〈(a _1ij ，a _2ij ，a _3ij ，a _4ij ),(b _1ij ，b _2ij ，b _3ij ，b ₄)，(c _1ij ，c _2ij ，c _3ij ，c _4ij )〉，i =1，2，...，n ;j =1，...，m 。通常准则可以分为效益型准则和成本型准则，则属性值一般可用如下公式(12)和(13)进行规范化，然后对所有方案进行排序。

在工分制度中，记工分是学者们诟病最多之处，即缺乏监督，队干舞弊，干多干少一个样，工分没有与收入挂钩，无法区分劳动者间的差异等等。

在高速公路沥青路面施工过程中采用双层摊铺施工技术可以实现施工质量和效率的共同提升，并且由于道路的上下层结构分别用不同配比的施工材料同步摊铺和碾压，所以，上下层结构会出现类似的镶嵌结构。当道路施工完成之后，应该对该道路进行取样检测和分析，通过对本次道路的检测结果来看可以得出：双层摊铺技术的施工质量较高，比传统施工方法可以获得更高的道路剪切性能，更能满足现代化道路交通使用的要求。

(12)

为成本性准则)

(13)

式中：对于多准则决策问题，一般可以用如下的步骤计算：

步骤1：利用公式(12)和(13)对梯形中智数属性值进行规范化处理。

由表2可见，各淹水处理的倒1叶长较对照均增加或显著增加，倒2、和倒3叶长较对照无显著增减。淹水深度为1/2时，水稻受淹1 d、3 d和5 d处理的倒1、倒2叶宽较对照均减少或显著减少，但随淹水天数的增加有增加的趋势。淹水深度为2/3时，相比与对照，除受淹1 d处理的倒2叶、倒3叶宽显著减少，其余处理无显著增减。淹水深度为1/1时，倒1叶宽和倒2叶宽随淹水天数的增加有减少的趋势，其中淹水1/1-5 d处理的倒1叶宽已显著低于对照6.78%，倒3叶宽较对照基本无差异。

步骤2：根据公式 (5)～(9) 对不同准则下属性值进行融合，得到梯形中智数的综合评价值。

步骤3：给定不同水平值α _i ,β _j ,γ _k ，得到一组梯形中智数的α 截集计算每个方案综合评价值在不同水平下的截集。

步骤4：根据公式(11)，计算所有方案的排序指标值。

步骤5：利用本文提出的规则对所有方案进行排序。

3算例

为了说明本文方法的有效性和实用性，考察文献[17]中商品选择的例子。某顾客要从5个备选方案{A₁，A₂，A₃，A₄，A₅}中选择购买一平板电脑，其考虑的准则有：(i)特征C₁；(ii)硬件配置C₂；(iii)可负担价格C₃；(iv)客户售后服务C₄。各个准则的权重分别为ω ₁=0.25，ω ₂=0.25，ω ₃=0.3和ω ₄=0.2，5个方案关于4个准则的评价值(属性值、准则值)均为梯形中智数，具体数据如表1所示。

为保证SBS改性沥青混合料拌和稳定性，本项目选用间歇式拌和机进行沥青混合料的拌和，由于SBS改性沥青黏度较普通基质沥青高，因此在拌和SBS改性沥青混合料时，一般会增加5～10s的拌和时间，以确保SBS改性沥青能够均匀裹覆在集料上。另一方面，由于SBS改性沥青所需的拌和温度较高，因此在实际施工过程中应严格控制沥青混合料的拌和温度，既要避免温度过低影响路面铺筑质量，另一方面还要防止温度过高引起沥青混合料老化。

表 1属性值为梯形中智数的决策矩阵

第1步，考虑到4个准则均为效益型准则，利用公式(12)将表1中数据进行规范化，规范化后的决策矩阵见表2。

2015年，宿州农资市场出现剧烈震动，依靠价格优势起家的谭凤明依然停留在抓行情、拼价格的经营模式上，结果导致公司的销量出现明显下滑。对此，谭凤明坦言：“由于从业时间久，形成了思维定势，最初在应对竞争压力时的主要手段还是价格战，但拼价格对于正规经营的企业来说是个两败俱伤的选择，时间一久就难以承受。”越发激烈的价格战和假冒伪劣产品的冲击，迫使谭凤明不得不认真思考企业的出路。通过对厂家、零售商、农户的大量走访调研，他逐渐认识到，肥料市场风起云涌的背后是中国农业转型升级这一不可逆转的趋势在推动，市场需求和行业发展逻辑发生了根本的改变。

表 2规范化决策矩阵

第2步 根据准则权重值ω ₁=0.25，ω ₂=0.25，ω ₃=0.3，ω ₄=0.2，利用公式(5)和公式(7)计算所有方案的加权规范化评价值，即综合评价值，综合评价值数据见表3。

表 3所有方案在不同属性下的综合评价值

第3步，给出不同的水平值，计算综合评价值的不同截集，计算结果见表4～表6。

第4步，取t ₁=0.5，t ₂=0.3，t ₃=0.2，根据公式(11)，计算所有方案的排序指标值，得R ₁=0.4638，R ₂=0.5089，R ₃=0.8119，R ₄=0.6038，R ₅=0.5398。根据排序规则，可得A ₃≻A ₄≻A ₅≻A ₂≻A ₁，从而方案A ₃可作为最优备选方案。本文结果和文献[17]方法具有相同的最优备选方案，但方案A ₄优于A ₅，而文献中A ₅优于A ₄，其排序为A ₃≻A ₅≻A ₄≻A ₂≻A ₁，体现了中智数排序的多样性，在实际决策时，决策者可以调整参数t ₁，t ₂，t ₃，得到更合理的排序结果。

4小结

本文利用梯形中智数3种类型的截集，将其转换为不同水平下的区间数，再根据区间数的端点值构造了一个排序指标，最大程度地保留了梯形中智数的不确定信息，提出了一种排序方法。并将其应用到属性值为梯形中智数的多准则决策问题中，得到了所有备选方案合理的排序。

表 4综合梯形中智数真值隶属函数在不同水平值下的 α 型截集

表 5综合梯形中智数真值隶属函数在不同水平值下的 β 型截集

表 6综合梯形中智数真值隶属函数在不同水平值下的 γ 型截集

[参 考 文 献]

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A Novel Method for the Uncertain Multiple Criteria Decision Making with the Neutrosophic Numbers Based on the Cut Sets

Yu Shengping, Zhou Qing, Duan Liuzhi

(School of Mathematics and Statistics ,Hubei Engineering University ,Xiaogan ,Hubei 432000,China )

Abstract ：A new method is proposed to solve the uncertain multi-criteria decision-making problems， where the attribute values of alternatives are expressed by the trapezoidal neutrosophic numbers. Firstly， the method integrates all attribute values under different criteria according to the aggregated operator of trapezoidal neutrosophic numbers， and then converts the aggregated trapezoidal neutrosophic numbers into interval numbers by using the α -cut set， β -cut set and γ -cut set of trapezoidal neutrosophic numbers， which retains the uncertain information of trapezoidal neutrosophic numbers to the greatest extent. Secondly， a ranking index is constructed for comparing the trapezoidal neutrosophic numbers according to these interval numbers， and then the ranking is obtained for all the trapezoidal neutrosophic numbers. Finally， an example in the literature is used to illustrate the effectiveness and practicability of the proposed method．

Key Words ：multiple criteria decision making; trapezoidal neutrosophic number; cut set; ranking

收稿日期： 2019-08-29

基金项目： 湖北省教育厅科学研究计划项目(B2017168)

作者简介： 余胜平(1980- )，女，湖北襄阳人，湖北工程学院数学与统计学院副教授，硕士。

中图分类号： C934

文献标志码： A

文章编号： 2095- 4824( 2019) 06- 0073- 07

(责任编辑：邹礼平)

标签：多准则决策论文;  梯形中智数论文;  截集论文;  排序论文;  湖北工程学院数学与统计学院论文;