数学课程标准、教材与课堂教学浅议，本文主要内容关键词为：课堂教学论文,课程标准论文,教材论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
课程标准与教材对于基础教育的重要性不言自明.课程标准是教材编写与课堂教学的指南，其内容与体系是否恰当，是否符合教育规律，这是值得深入思考的问题.教材是教师进行课堂教学的基础，教材的成败直接关系到教育的成败.多年的教育改革催生了一批基础教育数学教材.与传统教材相比，这些教材改进了什么，体现了什么样的教育理念，是否符合学生的认知规律，值得认真反思. 目前出版发行的中学数学教材有多种，除了以人民教育出版社、北京师范大学出版社、华东师范大学出版社为代表的几种不同版本的教材外，一些省也编写了自己的教材.本文主要讨论数学课程标准与教材中存在的一些疑问，希望能对今后的改进提供一点参考. 一、课程标准与教材中值得商榷的一些问题 从《国家基础教育课程改革纲要（试行）》[1]可以看出，我国课程标准改革有几大特点与趋势：从“应试教育”向“素质教育”转型；重建概念（如“学习”与“学力”的概念、“课程与教学”的概念、“教师”的概念、“学校”的概念）；重建“学校文化”. 数学课程标准似乎忽略了两点：课程的连贯性；课程内容与学生认知能力的协调性.以平面几何为例，小学阶段便开始介绍抽象的直线概念.众所周知，欧氏几何中的直线是相当抽象的，向学生演示生活中见过的“直线”，学生理解不会有多大难度，但一旦上升到数学上的抽象直线概念，小学生具备这样的抽象能力吗？第二次世界大战后美国第一轮数学教育改革的领军人物布鲁纳认为：“任何理论都可以用适当的方式教给任何年龄的儿童”，但美国第一轮数学教育改革的失败无疑扇了布鲁纳一记耳光.学生的认知能力是随着年龄增长不断提高的，尤其是抽象思维能力，这个过程更加漫长，课程标准如此安排显然没有注意到学生认知能力的局限性.笔者认为，在启蒙教育阶段，应以简单直观为主，不宜涉及太抽象的数学概念.此外，理论的连贯性对学生的学习也很重要，学生刚刚学完直线概念，马上转向与之无关的另一部分内容，直到初中才开始学习两点确定一条直线，经过一个如此漫长的过程，对于曾经学过的直线概念还有印象？教师势必需要花费时间帮助学生重温直线概念.数学理论本身具有极强的逻辑性与系统性，肢解开来不仅不能提高学习效率，反而起了相反的作用，所谓的螺旋式上升理论有待进一步检验. 教材也存在一些问题，而且伪问题并不罕见，这里提出几类值得斟酌的问题. （一）问题的真伪性 注重问题的引入是值得肯定的.问题是一切科学的灵魂，纵观整个数学史，数学的发展是个发现问题、分析问题、解决问题的过程.教材由问题出发引入概念与基本原理是正确的做法，但是问题有真问题与伪问题之分，教材中应该尽量避免伪问题. 某教材为了引入基本不等式，以天平两边的臂长有误差为例引出了两个正数的算术平均数与几何平均数，然后不了了之，转入基本不等式的证明.以天平实验引入存在两个问题：（1）物理实验的误差通常涉及很多因素，包括刻度、人眼的观察等，如何保证天平两边的臂长一定是
？如何保证肉眼读出的数据是准确的？（2）姑且假定导致误差的唯一因素是天平的臂长，如何通过这个实验说明两个正数的算术平均数不小于几何平均数？基本不等式应该是这节课的主题，显而易见，教材的引入方法值得商榷. （二）内容的科学性与严谨性 数学是一门严谨的学问，教材的陈述应该尊重数学的科学性与严谨性.就数学概念而言，其认知过程通常需要经过“感知、想象、概括、固化、应用、结构”六个环节，这六个环节即便不必在教材中完整体现，也应该体现在课堂教学中.但作为数学概念，其定义应该是严格的.数学概念大体可以分为两类.一类是描述性概念，也可以称之为“原生性”概念，它是从同类客观现实对象中抽象而来的，其形成是一个不断归纳的过程.另一类是以数学概念为基础经过抽象而形成的概念，通常是由归纳、演绎等一种或多种数学推理参与完成.这类概念也可以称之为“次生性”概念.教师可以在课堂教学中通过各种实例找出其中的共性，最后形成原生性概念.教材可以从实际出发引入概念，也可以直接给出严格的数学概念，因为教师的课堂教学需要在教材基础上再创造.对于“次生性”概念，教师则要视情形采取合适的方法.但是不管选择什么陈述方式，数学概念的定义都应该是严谨科学的. 某版教材中有些概念的定义便存在可以改进的地方.以正弦定义为例，sine（正弦）一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦，他是15世纪西欧数学界的领导人物.该教材将正弦定义一章取名为正弦函数，正弦函数是一种习惯说法，科学地讲，这个时候学生还没有学习弧度制，一个角的正弦并不是严格意义上的函数（当然，可以定义为广义上的函数），因为按照函数的标准定义，一个一元函数一定是从数集到数集的对应关系，角的集合有别于数集.用“角的正弦”或“三角比”也许更合适.正弦定义的探究也有值得商榷的地方.既然是探究，那么此处探究的难点是如何想到用角的对边比斜边.教材中以30度角、45度角为例，要求学生计算其对边与斜边的比是多少，既然已经告诉学生用对边比斜边，就不存在探究的问题，直接验算就行了.这不是真正的探究，真正的探究是如何引导学生发现直角三角形中锐角和对边与斜边之比的内在关系，因为确定了直角三角形的锐角并不能确定三角形的边长.如何从变化的边长中找出不变的因素？通过对相似三角形的进一步探究可以发现边长之比由角确定，从而引出正弦定义，并通过几个特殊角的验算说明角度变化会引起边长之比的变化，这才是真正的探究.相似三角形的重要科学价值在于，可以通过已知三角形求解与之相似的另一个三角形，然而，相似三角形中蕴藏的另一个重要思想被淹没了，这就是数学上的“不变量”思想.边长之比正是相似三角形的重要不变量，应该通过正弦的定义初步体现从变化中寻找不变的思想. （三）历史事件的偶然性与必然性 科学发现的确存在偶然性与必然性，教材在选择历史事件时应该选择具有必然性的事件.某些带有偶然性的事件可以作为人文轶事的课外参考，而不应作为引发重要概念与定理的依据. 以数列为例，教材应该如何引入数列的概念？某版高中教材以1801年意大利天文学家比亚兹发现谷神星为例说明数列的重要性，是值得商榷的.这一章的开篇写道：“下面一列数 3，6，12，24，48，96，192，… 同学们可能并不在意，但普鲁士天文学家提丢斯却把它和下面的表格联系起来，推导出从太阳到行星距离的经验定律，并探明了一些新的行星（或小行星）！” 教材似乎混淆了经验与数学原理之间的差别，提丢斯发现几个行星到太阳的距离与他给出的数列中前几项的数字比较吻合，于是猜测在这些位置应该有一些新的行星.这里有几个问题是存疑的：（1）根据这个数列可以发现多少行星？是不是行星的分布真的符合这个规律？被发现的行星是偶然的还是必然的？（2）根据逻辑演绎出的数学定律与科学原理相吻合的例子确实司空见惯，但问题是，天文学的这个经验被证实或证伪了吗？一个科学经验如果尚未被证实或证伪，是否适合拿到教材中作为驱动重要数学概念或原理产生的本原性问题？从数列产生的时间点看，它比谷神星的发现早得多，微积分的诞生都已经是三百多年前的事了. 换一个角度说，引入性的例子应该反映概念或原理的本质.数列的本质是什么？是变化着的量.换句话说，随着项的不同，这些数在变，但都按照一定顺序排成一列.用映射的语言来说，是自然数集合到数集的一个对应关系.生活中、自然科学或社会科学领域数列的例子俯拾皆是，天文学的例子虽然有物理味道，却淡化了数列的本质，这个例子强调的是数学规则推演出的数列与行星的关系还是强调这个数列本身？如果是前者，这个关系是不清楚的，也无法从数学上搞清楚，甚至可能根本不成立. 数学教材能结合生活实际与数学史甚至自然科学固然是件好事，但这种结合应该是自然的，不应该为了结合而结合，否则将显得牵强附会.该版教材对于数列的呈现方式还是不错的，简洁明了，但教材不一定所有内容都需要生活化，尤其涉及历史的时候需要尊重历史.这里的历史主要指与重要数学概念或原理的产生相关的历史，天文学的例子可以作为阅读材料或附录的方式呈现. （四）主题的鲜明性 无论是教材的一章还是一节，都应该明确主题：需要解决什么问题，这个问题的重要性体现在哪里.如果没有把握说清楚问题本身的意义，宁可不说，可以直奔数学化的主题.例如，在基本不等式一节，某版教材开宗明义，通过代数式直接给出并证明了基本不等式，这比设计一个伪问题、伪情境强得多.有些教材中不仅存在很多伪问题，也存在一些主题不明确的问题，二元一次线性规划部分便是如此.例如，某版教材没有讲清楚线性规划是干什么的，可以解决什么问题，就先设计一个与二元一次不等式（组）相关的生活问题，在区域的形状上纠缠半天.第二节从数学上的一个例子开始求二元一次函数的最值，再也没有回头关注一下第一节开始的生活中的例子.当然，如果像人教版教材那样标题本身就是“二元一次不等式（组）与简单的线性规划”，那么线性规划作为二元一次不等式（组）的应用之一，可以暂且不提线性规划.似乎没必要着意为了生活化而设计一个生活中的问题，直接数学化未尝不可，在这个问题上，人教版的教材更严谨一些.笔者认为，如果这一章开始就通过实际的例子阐明线性规划的重要性，然后指出解线性规划问题的关键是搞清楚可行域，再回头研究二元一次不等式（组），或许更符合逻辑. 二、美国的基础教育模式是否适用于中国 很多人认为美国的基础教育很糟糕，远落后于中国，在国际学生评估项目（PISA）测试以及奥林匹克数学竞赛中，中国学生远比美国学生成绩优异.真的是中国的基础教育强于美国吗？很难简单地用“是”或“不是”进行评判.美国面向全体学生的数学教育的确很简单，而且学生想学就学，不想学可以不学，完全凭兴趣.美国中学的每门课程都分成四个等级，难度依次递增，学生只要完成最低等级的课程就可以毕业了，绝大多数学生的数学都停留在最低级的水平.然而那些真正有兴趣、愿意学习的美国学生会去选择等级更高的AP课程（Advanced Placement），即美国大学预修课程.这些课程是全美数学理事会提供的，将大学的课程提前搬到了中学，高中的AP课程包括22个门类、37个学科.全美有15000多所中学开设了AP课程，课程结束后参加AP考试，达到一定的成绩后便可以获得大学的学分.对真正的好学生来说，他们不仅可以学到中国高中生所学到的所有知识，还可以学到中国的高中阶段没有学到的知识.学校对这些课程的要求非常严格，必须学得很透彻.由此可见，不是美国的数学课程简单，而是它对于不热爱数学的学生只提供最基础的数学教育，但对于热爱数学的天才则给予最高端的数学教育.这也就是美国学生的数学平均成绩比中国学生低的原因. 美国的教育模式是否适用于中国？要弄清楚这个问题，可能需要从中美两国的差异中分析，这个差别至少体现在如下几个方面. （一）教育理念不同 《数学教育概论》[2]中将数学的教育功能分成了若干类，如下三类尤其重要.（1）思维能力的培养.（2）应用能力（包括计算能力）的培养.（3）审美能力的培养.历史上，西方将数学归类于哲学范畴，中国古代则将数学归类于技术范畴，分类的不同体现了数学认识上的差别，也决定了教育方式的差别.如上所述，美国中小学教育比较注重学生个性的张扬与兴趣的培养，喜欢就学，不喜欢可以不学，不会因为学不好而为未来的生存担忧，他们面向全体学生的数学教育对技巧与细节似乎不那么关心.中国的教育则比较注重技巧与细节，而对于知识的趣味性及思想性则关注不足.这也就决定了美国的学生在国际上各种竞赛中表现不尽如人意，而中国的学生则显得出类拔萃.有一个值得思考的现象，我们数学竞赛的佼佼者中有很多最终厌恶了数学甚至放弃了数学，其深层次的原因是什么？与我们的教育理念是否存在内在的关系？ （二）文化背景不同 中国的文武都讲究循规蹈矩，练字首先临摹，练武需要从一招一式学起，把式有一点点不标准也不行.模仿是中国从古到今的学习范式，最终能够不拘泥于一招一式，自创招式甚至无招胜有招者凤毛麟角.美国教育更注重个性的张扬，不拘泥于小节与一招一式. 过去的几十年中，苏联的课程与教材体系对中国的教育影响颇深，这套体系的逻辑性与技巧性很强，思想性似显不足，“概念一定理一例题一练习”是教材的标准模式，缺少对概念、定理深刻思想内涵的阐述.虽然数学教育应该注重思想性几乎成了共识，现在的教材也开始注意到了知识的思想性与实用性，但一些根深蒂固的东西非一朝一夕可以改变. （三）社会背景不同 美国的贫富相差也比较悬殊，但他们城乡差别不是很大，乡下人不一定喜欢往城里拥，学生的升学压力不大.中国教育资源有限，而且分布不均衡，基础教育竞争激烈，升学压力巨大，如果也像美国那样开设AP课程，并且高考涉及AP课程内容的话，必定全民投入，因为家家户户都望子成龙，希望自己的孩子最优秀，可以上重点大学.如果高考不涉及AP课程的内容，那么无论是学校还是家长都不会关心它. 综上所述，美国的教育模式显然不适合照搬到中国. 三、如何处理教材与课堂的关系 美国著名数学家与数学教育家哈尔莫斯（Halmos）说过：“学习数学的最好方法是做数学.”[3]由此可见，一定量的练习是学好数学的必要条件.从这个意义上说，全盘否定应试教育显然是不恰当的.但是过分强调解题的技巧性甚至使用题海战术以求高分则违背解题的初衷，失去解题的真正价值.哈尔莫斯认为，具备一定的数学修养比具备一定量的数学知识更重要.[3]教师在强调解题的同时更应该注重课堂教学的思想性，注重学生数学素养的提高.具体地说，课堂教学可以在如下几个方面大胆尝试. 1.抛弃充斥于教材中的伪问题，以真正的问题驱动课堂教学.数学教育过程应该是一个还原数学发展的过程，而数学发展的过程是发现问题、分析问题、解决问题的过程，因此，课堂教学离不开问题.但存在三个困难：（1）并非所有的概念与原理都可以还原他们真实的历史，需要教师通过合情推理，模拟其产生与发展的过程，没有研究经验的积累是做不到的；（2）数学家的认知能力与学生的认知能力是不同的，课堂教学需要将数学家的认知过程转换成学生可以接受的认知过程，同样需要研究经验的积累；（3）如何针对具体内容设计恰当的问题情境引发学生思考？没有相当的数学素养与眼界也是做不到的.问题情境有真情境与伪情境之分，而真情境至少应该满足下列三个条件之一：（1）具有较重要的现实意义；（2）具有较重要的科学价值；（3）具有较重要的数学价值.教师需要深入钻研教材，辨别教材中是否存在伪情境，进而设计出课堂教学中需要的真情境. 2.不拘泥于教材，教学中引入思辨因素.自从实验科学产生之后，思辨逐渐退出了历史舞台，我们的数学课堂过分强调逻辑演绎能力与计算能力的培养，忽略了思辨能力的培养.然而，思辨是思想的源泉，离开了思辨，创造性无从谈起，无论是数学，自然科学还是社会科学，其产生与发展的过程都离不开思辨，量关系、等价关系、分类思想等都可以运用于思辨.例如，弗赖登塔尔的《作为教育任务的数学》一书中有一个著名的例子：“一个篮子里放了若干不同形状及各种不同颜色的物体，能否从这些物体中找出两个颜色与形状都不同的物体？”如果试图用计算的办法解决该问题则有些烦琐，但如果运用分类思想采用思辨的方法则轻而易举.可见课堂教学中适当运用思辨方法教学是有必要的. 3.增强课堂的弹性.这也就是很多人常说的分层次教学.但我不同意分层次这个说法，事实上，在课堂上很难真的将学生分成不同层次进行教学.比较合适的提法是课堂内容具有一定的弹性，让学有余力的学生可以学到更多，从中发现具有天赋的学生并个别提升，学习困难的学生只需掌握比较基础的内容.不过实际操作起来有一定难度，有待进一步探索切实可行的方案.总之，教材只是承载知识的半成品，需要教师课堂上再发挥.知识本身也是一种载体，它承载着某种思想，教师课堂上的任务则是透过书本知识，引导学生发现隐藏在知识背后的深刻思想，这才是真正的教育.
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