强化中学数学建模教学的思考，本文主要内容关键词为：建模论文,中学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着科学技术、经济的飞速发展和计算机的广泛应用，数学日益成为一种技术，其手段就是计算和数学建模。所谓数学建模，粗略地说就是“解决各种实际问题的一种数学的思考方法。”①具体地说：“数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并依据某种‘规律’建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证。若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改进。”②
可见，数学建模并不是什么新东西，可以说，凡有数学及其应用就有数学建模。科学家认为：数学建模在21世纪的数学教育中必将占有重要地位。
1 强化数学建模教学的意义
中学数学教育是基础教育的提高阶段，应着眼于未来，为培养高素质的人才打好基础。根据数学建模的特点，不难看出，在中学数学教学中，渗透建模思想，开展建模活动，具有重要意义。
1.1 促进理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识
现在的学生，从小学到初中再到高中，经过十来年的数学教育，他们懂得了不少数学知识，但是接触到实际常常表现得束手无策，灵活地、创造性地运用数学知识解决实际问题的能力较低。而数学建模的过程，正是实践——理论——实践的过程，是理论与实践的有机结合。强化数学建模的教学，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的思想、方法、语言，也是为了学生树立正确的数学观，增强应用数学的意识，全面认识数学及其与科学、技术、社会的关系，提高分析问题和解决实际问题的能力。
1.2 培养学生的能力
数学建模教学体现了多方面能力的培养：（1）翻译能力。 能将实际问题用数学语言表达出来，建立数学模型，并能把数学问题的解用一般人所能理解的非数学语言表达出来；（2）运用数学的能力。 表现在能用数学工具对所建立的数学模型进行处理；（3）交流合作能力。 数学建模活动中常常是小组分工合作、密切配合、相互交流、集思广益，这种互相合作的精神是社会生活中极为需要的；（4）创造能力。 数学建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建模的过程有较大的灵活性，建模的结果一般说来只有最优解答，而非标准解答。因此，数学建模本身就给学生提供了一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程，提供了一个发挥创造才能的条件和氛围。通过建模，学生要从貌似不同的问题中窥探出本质特性，这样，有助于培养学生的想象力和洞察力。
1.3 发挥了学生的参与意识，体现了学生主体性
强化数学建模的教学，可极大地改变传统的教学法，它一改过去满堂灌模式为讨论班方式，教师扮演的是教学的设计者和指导者，学生是学习过程中的主体，师生处于平等地位。由于要求学生对学习的内容进行报告、答辩或争辨，因此极大地调动了学生自觉学习的积极性。根据现代建构主义学习观，知识不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。所以数学建模教学，符合现代教学理论，必将有助于教学质量的提高和素质教育的全面实施。
2 数学建模的一般方法
数学建模是解决实际问题的过程，在这一个过程中，建立数学模型是最关键、最重要的环节，也是学生的困难所在。它需要运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据等）加以简化、抽象、翻译、归纳，通常采用机理分析和统计分析两种方法。机理分析法是指人们根据客观事物的特征，分析其内部的机理，弄清其因果关系，再在适当的简化假设下，利用合适的数学工具描述事物特征的数学模型。统计分析法是指通过测试得到一串数据，再利用数理统计的知识对这串数据进行处理，从而得到数学模型。
中学数学教学中，要使学生初步学会建立数学模型的方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，应着重注意以下几点：
2.1 审题
建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。
2.2 简化
根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。
2.3 抽象
将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。
按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。
例（落料问题）某机械厂要把一批长为135厘米的合金钢截成17 厘米长和24厘米长两种规格，问怎样落料能使材料利用率最高？
分析 要使材料利用率最高，也就是要使落料时废弃的材料最少，因此截成的两种规格合金钢的根数是正整数，落料方案可以建立以下数学模型：
对于一个繁杂的实际问题，要能从中发现其本质，建立其数量关系，转化成数学问题，没有扎实的数学基础知识、基本技能和数学思想、方法是不可能的。因此，进行建模教学首先必须抓好数学知识的系统学习，打好基础。但是，我们也看到，解决常规问题的能力强，不见得解决实际问题的能力就强，从掌握知识到应用知识不是自然形成的。大纲指出：“能力是在知识的教学和技能的训练中，通过有意识的培养而得到发展的。”因此，教学中要注意从实际问题引入概念和规律，强化建模意识，用数学模型的方法解决实际问题。
3.2 挖掘教材，适当补充
从广义讲，一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学模型，可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的材料，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。例如：
（1）平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、衰变、 裂变等，可以建立幂、指、对数函数或方程模型。
（2）最大最小问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、 费用最低、效益最好等，可以建立函数或不等式模型。
（3）行程、工程、浓度问题，可以建立方程（组）、 不等式（组）模型。
（4）拱桥、炮弹发射、卫星轨道问题，可以建立二次曲线模型。
（5）测量问题，可以建立解三角形模型。
（6）计数问题，可以建立排列组合模型。
结合教材内容，还可以提出或构作一些比较浅显的建模问题。
例如学了不等式证明之后，可以提出如下问题：
建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比越大，住宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。
分析 这是一个优化问题。欲知住宅的采光条件是变好还是变坏，就是看同时增加相等的窗户面积和地板面积后，窗户面积与地板面积的比是变大还是变小。设原来的窗户面积和地板面积分别为a、b（平方单位），同时增加的面积为m（平方单位）， 则原实际问题转化为在约束条件0＜a＜b≤10a，m＞0下，比较（a＋m）/（b＋m）与a/b的大小。由不等式知识可知，采光条件变好了。
有些数学问题，如果将其抽象的特征具体化，则可建立直观、实际的模型，使问题的解决更加简捷明了。
例如，求方程x[,1]＋x[,2]＋x[,3]＋x[,4]＋x[,5]＝25 的非负整数解的个数。
分析 由于所求的是非负整数解，故可设想用4块木块把25 个相同的小球分成5组，某些组可以没有小球，于是25 个小球和4 块木板共有29个位置，从这29个位置中任选4个位置放木块，则共有C[4][,29]种放法，即为所求方程的解的个数。
拓展、补充的数学建模问题，即要密切联系教学内容，又要源于现实，并且是学生感兴趣的、用所学知识能够解决的问题。
3.3 内外结合、零存整取
强调数学应用现已成为当今各国课程内容改革的共同特点，在美国，人们提出了“用数学于现实世界”的口号。近年来，我国对数学应用给予了高度重视，中学数学教学中也开始进行建模教学的探索，但所作的努力还不够。我们认为中学数学的课堂上，应结合教学内容有计划地强化建模教学，还数学知识源于现实的本来面貌。这样做可能会多花一些时间，俗话说：磨刀不误砍柴功，所花时间是值得的。考虑到我国的数学建模教学刚刚起步，现行教材内容、教学时间、以及教师的知识、经验和思维习惯，还有一个转换、适应过程，可以将数学建模工作的一部分安排在课外去做，即课内课外相结合。如开设讲座、采集数学建模问题、研究建模方案、撰写建模小论文等。有些建模问题比较复杂，可以将其分解、分步解决，或由教师带领下解决某些环节，其具体求解过程可留给学生课后解决，最后再组织学生宣讲、交流或写成小论文。这种“零存整取”的做法，既发挥了教师的主导作用，体现了以学生为主体的原则，又培养了学生的探索精神和数学能力。