华南师范大学 广东 广州 510631
二次函数是中学数学中的一个重要内容，学生在初中就开始学习了二次函数。二次函数看似简单，但学生要对二次函数的性质深入理解却较为困难。笔者在这里对二次函数的一些性质谈一下自己的认识，希望对学生学习二次函数有一定的帮助。
首先，二次函数的解析式一般表示为y=ax2+bx+c。根据二次函数的定义，解析式中的a不等于0。那么这里有一个易错点，学生在面对函数y=ax2+bx+c的时候，就将其当作二次函数来讨论，忽略了a=0的情形。事实上，当a=0时，函数变为y=bx+c，是学生所熟知的一次函数。下面我们将对a≠0时二次函数y=ax2+bx+c的一些性质进行讨论。
一、开口
二次函数图像的开口是由a来决定的。当a＞0时，二次函数图像的开口向上；当a＜0时，二次函数图像的开口向下。二次函数的开口决定了二次函数的变化趋势。若开口向上，则二次函数的图像是呈先下降后上升的趋势；若开口向下，则二次函数的图像是呈先上升后下降的趋势。所以当一个二次函数的二次项系数a未知时，我们一般先讨论a与0的大小关系，判断二次函数的开口向上还是向下，从而知道二次函数图像的大致趋势。
值得一提的是，若二次函数的开口是向上的，那么函数有可能大于0恒成立；若二次函数的开口是向下的，那么函数是不可能恒大于0的。例如：已知函数y=ax2+bx+c＞0在R上恒成立，求a的取值范围。那么在对a分类讨论时，a＜0的情况是不符合题意的，只需要讨论a＞0的情况即可。
二、对称轴
二次函数的对称轴为x=- ，可以发现，对称轴的位置是由a与b共同决定的。对称轴的主要作用是在开口方向已知的情况下，进一步确定二次函数图像的位置，并且二次函数的最高（最低）点在其对称轴上。
现假定二次函数的开口方向已知，则在二次函数对称轴恰好是二次函数单调性变化的转折点。若二次函数开口向上，则在对称轴左边函数递减，在对称轴右边函数递增；若二次函数开口向下，则在对称轴左边函数递增，在对称轴右边函数递减。基于上述讨论，现假设二次函数开口向上（开口向下同理），若二次函数的定义域是R，那么无论对称轴在哪，函数趋势都是先减后增。但是若二次函数的定义域不是R，例如是[1，＋∞），那么对称轴的位置就很重要了，因为当对称轴在1的右边时，函数图像的趋势是先减小后增大；当对称轴在1的左边时，函数是单调递增的。可见两种情况下函数的趋势是不一样的。因此，当二次函数定义域不是R，而是某个区间[a，b]时（这里的a可以取-∞，b可以取+∞，但是不能同时取无穷大），我们可以讨论对称轴与区间的位置关系（即轴动区间定），以判断二次函数的趋势。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
三、零点个数
二次函数的零点指的是函数图像与x轴的交点。二次函数的零点个数可以用△来判断，当△＞0时，二次函数有两个零点；当△=0时，二次函数有一个零点；当△＜0时，二次函数没有零点。
在开口方向和对称轴已知的情况下，二次函数的零点个数可以帮我们进一步确定二次函数的图像位置。二次函数的零点，也就是与x轴的交点个数，用△很容易判断，但同时也是学生的一个易错点。需要注意的是，△＞0可以推出函数图像与x轴有两个交点，但不能推出函数图像在特定区间与x轴有两个交点。例如：已知f(x)=x2+3x+c在区间（-3，-1）上有两个零点，求c的取值范围。学生如果只用△=1-4c＞0来求c的范围是不对的，虽然△＞0函数确实与x轴有两个交点，但这两个交点不一定都在（-3，-1）上。因此必须要加上其他条件，笔者在下文会提及。
四、特定点的函数值
二次函数有一个美好的性质常被人忽略，那就是它过定点（0，c）。这个性质美好的地方在于，当我们已知c的大小时，我们可以确定二次函数图像与y轴的交点位置，对我们画出二次函数的图像有极大的帮助。
例如：已知y=x2+bx+1在（0，+∞）上大于0恒成立，求b的取值范围。由上述讨论我们知道二次函数图像过点（0,1），因此，当对称轴在y轴左边时，可以发现函数图像在（0，+∞）是大于0恒成立的，接下来只要讨论对称轴在y轴右边的情况即可。此外，一些特殊点对应的函数值也对二次函数的图像确定有很大作用。例如上文的例题：已知f(x)=x2+3x+c在区间（-3，-1）上有两个零点，求c的取值范围。我们提到只用△＞0这个条件是不够的，那还需要加什么条件呢？这个时候特殊点的函数就可以帮到我们。我们要这个二次函数在区间（-3，-1）上有两个零点，除了用△＞0保证函数有两个零点外，由于函数的对称轴为x=- ∈（-3,-1），所以我们再加上f（-3）＞0、f（-1）＞0这两个条件，就可以保证函数的两个零点都落在（-3，-1）这个区间。特殊点的函数值在解决二次函数问题的应用还有许多，例如：已知二次函数f(x)=x2+bx+1在区间（-2，-1）和（2,3）上各有一个零点，求b和c的取值范围。看似复杂的问题，其实只要大致画出函数图像[开口向上，两个零点分别在区间（-2，-1）和（2,3）上]，可以知道函数的解析式需要满足f（-2）＞0、f（-1）＜0、f（2）＜0、f（3）＞0这四个条件即可。
我们可以总结一下，对于二次函数的讨论，离不开对开口方向、对称轴、△与0的大小以及特殊点的讨论。讨论的顺序也是有规律可寻的，一般开口未定先讨论开口，再讨论对称轴（特别是在固定区间内），然后考虑△和特殊点的函数值。当然，并不是每次讨论都需要将开口方向、对称轴、△以及特殊点都进行讨论，这只是二次函数讨论的方向，还需结合题目，具体问题具体分析。
论文作者:林逸彬
论文发表刊物:《教育学文摘》2017年7月总第235期
论文发表时间:2017/7/21
标签：函数论文; 对称轴论文; 零点论文; 图像论文; 区间论文; 交点论文; 趋势论文; 《教育学文摘》2017年7月总第235期论文;