浅谈大学物理中伯努利方程的课程设计
周清晓
（河南科技大学 物理工程学院，河南 洛阳）
摘 要： 伯努利方程是大学物理中流体力学的基本方程，也是教学中的重点和难点。为了提高学生的学习兴趣与课堂思考能力，本文首先以一个简单的实验为切入点，引出伯努利方程，并且介绍了伯努利方程的应用。本课程的设计增强了学生独立思考的能力，取得了较好的教学成果。
关键词： 大学物理；伯努利方程；课程设计
伯努利方程是大学物理中流体力学基础章节的核心内容，而大学物理又是大学中理工科专业的必修课。一些同学在高中时期或多或少学习了一些伯努利方程的内容，在大学物理教学中，更注重方程的推导过程与思想，同时多介绍生活与科技中伯努利方程的应用，以激发学生独立思考，增加学生对大学物理的学习兴趣。本文主要介绍在教授伯努利方程这一节内容时，对课程的设计以及讲解内容，为同行提供参考。首先我们演示一个小实验，通过让学生观察实验结果，思考实验原理；其次，讲解伯努利方程的推导过程，让学生领会其中的物理思想与思维；最后联系生活与科技，介绍伯努利方程的应用，调动学生的主观能动性，能够把所学的物理知识联系实际生活[1]。
一 教学流程
（一）实验演示
实验室物理学的基础，通过对实验现象的观察、分析，加深对物理知识的理解与掌握。讲课时，首先在讲台做一个乒乓球的悬浮实验来演示伯努利效应[2,3]。实验装置的简化图如图1所示，实验器材是一个漏斗和一个乒乓球，仪器简单有益于学生自己在课下重复实验。整个实验流程分为两步，首先把乒乓球放在较为粗糙的硬纸板上，其次把漏斗放在乒乓球上空，对漏斗的狭小空间内吹气。结果发现，乒乓球离开硬纸板，被吸附在漏斗的锥形区域内。教师演示这个实验之后，请两到三位学生上来重复这个实验，调动学生的积极性。学生在看到乒乓球旋转悬浮在纸板之上，会感到十分惊奇，此时已经充分调动了学生的好奇心，接下来让学生带着问题开始学习伯努利方程的内容。
图1 伯努利实验装置图
（二）伯努利方程
伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利1738年提出来的，是理想流体做定常流动时的动力学基本规律，它反映了理想液体作稳定流动时，压强、流速和高度三者之间的关系。接下来我们利用功能原理来推导这一方程[4]。如图2所示，在作定常流动的理想流体中，我们任意选一个细流管，假设在某个时刻t，流管中一段流体所处的位置为a1a2，在a1、a2处流管的横截面积分别为△S1、△S2，流速分别为v1、v2，高度分别为h1、h2，压强分别为p1和p2，经过很短的时间△t，这段流体运动至位置b1b2。我们先来研究这段流体从a1a2运动至b1b2时的机械能变化。由于选取的研究对象是在作定常流动的理想流体，所以流体的压强、密度、流速等物理量不随时间发生变化，因此从图中我们可以得到b1a2段的流体在运动状态在流动过程中没有变化，我们只需考虑a1b1和a2b2两段流体的机械能变化即可，用E1和E2来分别表示这两段流体的机械能。
小丽带男友回家，正赶上老爸喝醉酒回来。只见老爸往沙发上一躺，喊：“闺女，电视又卡了！”小丽走过去，一拍电视机上的鱼缸，里面的鱼四下乱窜。
1.3.2.2 适当运动 ①每日4次在床上进行被动运动(举臂、抬腿)，每次10～15 min;②每日饭后在床上坐起30～60 min;③改变体位，每2小时翻身1次。
由之前学过的连续性方程可知，a1b1和a2b2两段流体的质量、体积、和密度均相等，我们可以分别设为△m、△V和ρ，则这两段流体的机械能增量可表示为
图2 伯努利方程的推导
成人、青少年及18个月龄以上儿童，符合下列一项者即可诊断HIV感染：（1）HIV抗体筛查试验阳性和HIV补充试验阳性（抗体补充试验阳性或核酸定性检测阳性或核酸定量大于5 000拷贝/mL）；（2）HIV分离试验阳性。
在火车站台上，都会在距离火车轨道两米处的站台上，刷上一条长长的黄色警示线，每当有列车即将进站的时候，车站里总是会广播：列车即将进站，请候车的旅客不要越过地面黄色的警示线。同时，地面的执勤人员也会提醒乘客不要越过警示线。这是什么原因呢？我们可以通过伯努利方程来分析。通常列车通过车站或者进站的时候速度比较快，前行速度较大的列车会带动周围空气快速的流动。这时，我们可以选取一个水平流管，根据（2）式，可知速度大的地方压强小，速度小的地方压强大。站台上的空气流速与车厢附近的空气流速相比较小，压强就较大，这样在人体的两侧会产生一个压力差，好比存在一个将人推向列车的推力。这是非常危险的情况，很容易发生意外，因此在站台候车的旅客要站在两米安全线以外。
在流体流动的过程中，前方的推力F1作正功，后方的阻力F2做负功，所以在a1a2流体运动至b1b 2的过程中，外力的总功可表示为
根据功能原理，机械能的增量等于外力所做的功A=E2−E1
Soil moisture retrievals from FY-3B satellite microwave brightness and comparative analyses over China
即
考虑到
的任意性，上式还可以表示为
（1）火车站台的两米线
（2）船吸现象
（三）伯努利方程的应用
鸡腺病毒病主要发生在1～3周龄的鸡群中。被感染的鸡通常会在3周龄后出现死亡现象。从感染到死亡时间极短，能在短时间内达到死亡高峰，具有较大的威胁。鸡腺病毒病具有普遍性、易垂直感染、水平传播以及人工授精传播的特征，以下进行详细介绍。
伯努利方程只适用于理想液体做稳定流动的情况。对于黏性较小的水、乙醇等液体或流动中密度变化很小的气体，当它们作稳定流动时，伯努利方程仍近似成立。伯努利方程在水利、造船、航空等领域有着广泛的应用，下面我们举几个生活中常见的例子加以说明[5,6]。
（1）式就是伯努利方程。它表明：理想流体作定常流动时，同一流管的任一截面处，单位体积动能、势能、和该处的压强之和是相等的。若是水平流管，伯努利方程可写成
图3 火车站台的两米线
早安，我是古医生，修复和重建肌肉骨骼系统的正常功能是我的天职，我存活在世上的每一天都在煎熬中度过，忍受着眼前各种各样的骨骼损伤、折断、坏死。几个护士推着几辆一走就哐当哐当作响的手推车，忙着为每个病床旁的铁架子上挂袋装的、瓶装的液体。多数时候我能做到充耳不闻，可我还是发现自己的颅骨为这些声音所震颤，压迫着我的神经和血管，这压迫在我身上堆积起来，仿佛我在水下下沉、下沉、下沉。
（2）式说明速度大处压强小，速度小时压强大，即我们常说的“速大压小”。
1912年秋天，“奥林匹克”号正在大海上航行，在距离100米处，有一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号正在向前疾驶，两艘船似乎在比赛，彼此靠的很近平行着驶向前方。忽然，正在疾驶中的“豪克”号好像被大船吸引似地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向“奥林匹克”号闯去，酿成一件重大海难事故。在水上航行的两艘船，航行期间不能距离太近并行，很容易发生相撞。我们可以根据伯努利方程来分析原因。根据学过的连续性原理，两船之间的水流截面积减小，流速加快。在垂直于船行方向上，两船之间与外侧水流速度存在差值，根据伯努利方程速大压小的结论，可得知两船的外侧压力大于内侧的压力，就好像存在压力使得两船向一齐靠拢，最终发生相撞。
（3）大风掀起屋顶
图4 大风掀起屋顶
著名的诗人杜甫有一首诗《茅屋为秋风所破歌》中有一句：“八月秋高风怒号，卷我屋上三重茅”。在风大打的时候，房屋的屋顶被风吹走，这其中也蕴含着伯努利方程的知识。曾有新闻报道，2013年7月江苏省高邮市遭遇龙卷风袭击，大量的房屋屋顶被风吹走。我们来思考一下怎么来解释这种现象。当暴风来袭时，空气的流速非常大，甚至可以达到200km/s或者更大，而屋内的空气流速可以近似的看成零。根据伯努利方程，速度大处压强小，可以得知屋顶外的压强远远小于屋内的压强，当屋顶内外压强差达到一定程度时，就会把屋顶掀翻。
（4）“香蕉球”原理
香蕉球又称为弧线球，指运动员运用脚法，踢出球后并使球在空中向前作弧线运行的踢球技术。香蕉球常用于攻方在对方禁区附近获得直接任意球时，利用其弧线运行状态，避开人墙直接射门得分。英国著名的足球运动员贝克汉姆在2002年世界杯预选赛，对希腊一战中最后一分钟以一脚香蕉球闻名于世界。我们仔细观察足球的运动状态会发现，足球在前进的过程中在不停的旋转。，当足球转动时，四周的空气会被足球带动，形成旋风式的流动。足球的两侧，一侧是逆风行驶，另一侧则是顺风，从而造成了足球两侧的空气流速有一定的差值，我们根据伯努利方程可知，有速度差存在，足球的两侧就存在着压强差。足球在前行的过程中同时也会受到朝一侧放入推力，从而行驶出类似于香蕉形状的弧线轨迹。
图5 香蕉球
二 总结
伯努利方程是大学物理流体力学章节中的重点，也是学生学习的难点。本课程设计的教学过程，以一个实验为开端引起了学生的学习兴趣和疑问，从而根据功能原理推导出伯努利方程。最后基于伯努利方程，解释生活中常见的几个现象。既加深了学生的理解，又提高了学生知识应用的能力。希望本课程的讨论，为其他老师在讲解伯努利方程时，提供一些课程设计的思路与参考。
参考文献
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[4]张庆国，陈庆东.普通物理学[M].中国农业出版社，2011.
[5]何云兵，兰善红，等.浅析伯努利方程的应用[J].山东化工，2015,44（11）:81-82.
[6]吴明眼.伯努利方程原理及其应用[J].信息记录材料，2018,19（9）:115-117.
The Course Design of Bernoulli Equation in College Physics
ZHOU Qing-xiao
(College of Physics and Engineering,Henan University of Science and Technology,Luoyang)
Abstract: Bernoulli equation is the basic equation of fluid mechanics in University physics, and it is also a key and difficult point in teaching. In order to improve students’ interest in learning and thinking ability in class, this paper introduced Bernoulli equation from a simple experiment and its application. The design of this course could enhance the ability of students to think independently and achieve good teaching results.
Key words: College physics; Bernoulli equation; Course design
本文引用格式： 周清晓.浅谈大学物理中伯努利方程的课程设计[J].教育现代化,2019,6(62):256-258.
DOI： 10.16541/j.cnki.2095-8420.2019.62.086
作者简介： 周清晓，女，河南洛阳人，博士，主要从事大学物理的教学和二维材料电子结构研究。
标签：大学物理论文; 伯努利方程论文; 课程设计论文; 河南科技大学物理工程学院论文;