试论伽利略悖论与一一对应的内涵，本文主要内容关键词为：伽利略论文,悖论论文,试论论文,内涵论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在康托尔的集合论已经成为现代数学的基石时，直觉主义数学家却一直对集合论持有异议，魏尔认为康托尔的超限数理论是“雾上之雾”，彭加莱则预言“后一代将把康托尔的集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了。”（注：［美］克莱因：《古今数学思想》第四册，上海科技出版社，1981年，第71页。）康托尔的超限数理论是从伽利略撒手之处开始的，把伽利略看来是悖论的地方当作他自己理论的基石。为什么摩托尔违背自亚里士多德以来数学的传统，将无限当作确定的数学实体来研究呢？摩托尔在1883年奠定集合论基础的论文《论线性集合》中是这样回答的：“我们传统上把无限看作无限制地增加或是与之密切关联的一个收敛序列的形式，这是17世纪所取得的。与此相反，我把无限理解为具有某种完成了东西的确定形式。是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西。这种无限的概念是和我所珍视的传统相违背的，和我自己的愿望更相违背，我是被迫接受这种观点的。可是多年的思考和尝试，指明这种结论是逻辑上的必然，由于这个原故，我自信，没有什么持之有据的反对意见是我所无法对付的。”（注：［美］T.丹齐克：《数，科学的语言》，商务印书馆，1985年，第176页。）也就是说，正是“逻辑的必然”成为集合论赖以生存的依靠，其根本是对应和等价的概念。如果我们能找到持之有据的理由来反驳康托尔在一一对应概念上的滥用，我们的境遇就会比直觉主义要好得多，因为这样一来康托尔的集合论就不只是与直观相背而且本身也是违背逻辑的。
一、伽利略悖论及康托尔的解决
伽利略在《关于新科学的对话》中借萨尔维阿蒂之口说出了下面的话。
“当我们试图用我们有限的心智来讨论无限时所发生的困难之一，就是假定它有我们给与有限的和有穷的那些性质；我以为这样作是错误的，因为对于无限的数量，我们不能说两个中孰大孰小或相等。
……
就我所知道的，我们只能说平方数是无限的，其根数也是无限的；我们不能说平方数比一切的数少，也不能说后者比前者多；说到底，‘等于’‘大于’和‘小于’诸性质不能用于无限，而只能用于有限的数量。
于是，当辛普利契奥拿出几段长短不同的线，并且问怎么能够说长的不比短的有更多的点时，我就告诉他说，一段线不比另一段线有更多的、或较少的、或同样多的点，而是每一段线都含有无限个点。”（注：［美］T.丹齐克：《数，科学的语言》，商务印书馆，1985年，第174-175页。）
我们认为伽利略的论证并没有完全揭示问题的要害，下面给出后来人对这两个问题的论证。
试看下面重复写出的一串自然数序列：
的每个自然数的右上角标以3等等。（注：朱梧槚、肖奚安：《集合论导引》，南京大学出版社，1991年，第1-2页。）
我们把此论证称为伽利略第一悖论。
1CM长的甲线段上的点和2CM长的乙线段上的点都有无限多个。
第一，若把1CM长的线段AB重叠到2CM长的线段CD上（使A与C重合），并让它们相互重叠的点相对应，则立刻可知2CM长的线段上还剩下1CM长的线段，这1CM长的线段上的全部点都是乙线段比甲线段多的点。
第二，若如图示，连接甲、乙两线段的A、C点所成的直接与连接B、D点所成的直接交于M，对AB上的任一点P，让MP与CD的交点Q与它对应，而对CD上的任一点Q'，让MQ'与AB的交点P'与之对应，这样，线段AB和CD（即甲和乙）上的点之间是一一对应的，不多也不少，即是说，我们看到了1CM长的线段和2CM长的线段上的点之间是一一对应的，不多也不少。
第三，若在线段AB上取一点B'，设直线AC和直线DB'的交点为M，那么与第二种情况一样，作为线段AB的一部分的AB'的点与线段CD的点之间可构成一一对应，不多也不少。于是我们看到了，比乙线段短的甲线段上，有比乙线段还要多的点，多出的这部分就是线段BB'上的点。
如上所述，由于对应方法不同，可以说甲的点比乙的点少，也可以说甲的点比乙的点多（显然，在伽利略悖论中也可以得到
中的元素比｛1、2、3、…n…，…｝中的元素多），还可以说甲的点与乙的点一样多。
将此论证称为伽利略第二悖论。
像第二悖论一样“出奇”的、采用同样方法论证的还有很多。例如，Proclus注意到圆的一根直径分圆成为两半，由于直径有无穷多，所以必有两倍那么多的半圆。把两个同心圆上的点及公共半径联起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系，但一个的周长却比另一个的长。以及后来康托尔所证明的一维直线与二维平面上的点等势，甚至一维直线具有n维流形之势。
如果我们将｛1、2、3、4、……｝或长线段上的点的集合看成一个整体，通过不同的配对方法我们似乎可以得到整体与部分不同的关系：整体大于部分，整体等于部分，整体小于部分。然而，欧几里得采纳Aristotle对公设和公理的区别，即公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何，他将“整体大于部分”作为第五公理。伽利略却通过一一对应发现了整体与部分相等，于是就出现了所谓的“伽利略悖论”。
一一对应的方法（即匹配法）是将一个集合中的每一事物和另一集合中的一事物相对应，直到某一集合或两个集合中的事物配完为止。匹配法使我们能够建立集合与集合之间的对应性，产生了“大于—等于—小于”的观念。对应原则产生了整数并通过整数而统治了全部算术，现在康托尔将这种等价概念从有限集推广到无穷集合，并且将一一对应关系作为基本立足点。两个能够一一对应的集合称为是等价的或具有相同的势，如果在M与N两个集合中，N能与M的一个子集构成一一对应，而M不可能与N的任何子集构成一一对应，就说M的势大于N的势。
“整体大于部分”和“一一对应原则”原来就是用于有限集合，现在将其推广到无穷集合时，接受“整体大于部分”抛弃“一一对应原则”就是康托尔所做的；两者都接受就会得出悖论。选择接受哪一条并没有逻辑上的必然性，当然我们不能由此毫无根据地拒绝把“一一对应原则”应用到无穷集合的合理性。但是现代人都认为接受“一一对应原则”更加合理，由此认为伽利略悖论彻底解决了。“在历史上，Galilei对平方数与自然数一一对应的发现而矛盾于全体大于部分的原则也称为Galilei悖论，这就不是Galilei的发现在推理上的问题，而是由于全体大于部分的直观原则是从有限数量的事物关系中抽象出来的，自然不适用于无穷集合的情形了。”（注：徐利冶：《数学方法论选讲》，华中工学院出版社，1983年，第121页。）
看起来，伽利略的两个论证是一样的，伽利略和康托尔对此的态度也是要么都拒绝要么都接受。然而仔细分析后发现这两个悖论是不同的，我们下面对伽利略悖论分开处理得到第三种解决方案。
二、形式与内容的分离——第一悖论的解决
康托尔将一一对应作为基本原则认为它既适用于有限集合，同样也适用于无穷集合。我们首先给出一一对应的经典定义：设A,B是二集合，若有对应关系f存在，使得A中任意一点x通过f在B中都恰有一点y与之对应，而且B中的任意点y，也一定恰恰相反是A中某一点x通过f在B中的对应点，则我们就说A与B一一对应。从这个公认的定义中可以看出，在一一对应关系中所强调的不是两个集合中元素的内容，而只是两个集合中元素之间的对应关系。彭加莱强调：“数学家研究的不是物体而是物体之间的关系，因此，只要关系不变，这些物体被其他物体代换对他们来说是无关紧要的，在他们看来内容是不重要的，他们感兴趣的只是形式。”（注：［法］彭加莱：《科学的价值》，光明日报出版社，1998年，第21页。）伽利略等人认为第一个论证是悖论正是既强调内容又强调形式的结果。
从两个不同的方面看待同一个问题产生不同的结果的可以说是常识。例如，两个人，如果我们从身高上考虑他们之间的关系正好相同，但从性别上看可能正好相反，我们并不觉得奇怪。5个梨子和5个桔子的集合对比，无论哪个梨子和哪个桔子对应，从个数上看，它们是一样多的，如果从质上来考虑，梨子和桔子是不同的东西，不同的东西可以一样多。再比如5个大桔子与5个小桔子一一对应，它们的个数是一样多，假如对应的每个大桔子重量是每个小桔子的两倍，那么5个大桔子的重量是5个小桔子的两倍，我们并不能说这里有矛盾。
｛1、2、3、4…n…｝与｛1、4、9、16…
…｝具有同样多的数，所强调的是1与1对应，2与4对应……第二个集合与第一个集合的平方对应关系，而没有强调第二个集合与第一个集合中数的实际意义。｛1、2、3…n…｝中的1、4、9和｛1、4、9、16……｝中的1、4、9并不是完全一样的，要想完全一样，只能通过对应关系f(n)=n，只有这种关系才保持同一性，在这种情况下才能谈整体与部分，也不会出现所谓的“整体与部分相等”。但在这里对应关系是f(n)=，1与1相同，2与4相同，3与9相同……n与相同……这就好像一个人所叫的两个名字一样。一般人头脑中相同的符号具有同样的意义，如哥德巴赫猜想的简称(2=1+1)和陈景润已证(2=1+2)就出过笑话。对于有限集我们可以看得更清楚，例｛1、2｝与｛6、8｝一一对应
，如果强调内容，6是6个1，8是4个2，根本就对应不起来。又如｛1、2｝与｛1、3｝一一对应
，1与1是相同的，2与3是不同的，但在这种对应关系中只能说2与3是一样的。考虑代数结构的同构，例如A=｛1、2、3｝,
=｛4、5、6｝，定义A集合的运算为o，
。
在这里，A和实在没有什么本质上的不同，唯一的区别只是命名的不同而已，假定对于代数运算o与
来说，A与同构，那么对于代数运算o与来说，A与这两个集合，抽象地看，就没有什么区别。由这个例子，我们知道，不仅代数符号可以不代表数甚至普通整数也可以不代表数，而成为一个纯粹的没有内容的符号，这大概是我们没有想到的，但这却正好是抽象代数的特点。在伽罗瓦以后，纯粹的数学关系开始成为数学研究的对象，这些关系不依赖于相应数学实体的具体性质，群论的创立使代数符号与数完全没有了联系，使代数中的形式与内容真正地分离。（注：李浙生：《数学科学与辩证法》，首都师范大学出版社，1995年，第124-125页。）
再回过头来看，当我们在讲一一对应时所强调的是两个集合中元素的对应关系，而不是两个集合中的元素是什么，既然我们对｛1、2、3…n…｝与｛1、4、9……｝中的数并不作同样的看待，这里就只不过说明一一对应，也就是两个集合中元素可以按照规则一个一个地永远数下去。将这两个集合分别标为
，这样就根本不存在整体等于部分的问题。这样，在对待第一例证上，我们既没有伽利略的惊讶也没有康托尔的革命。
三、一一对应的内涵——第二悖论的解决
康托尔有一震憾人心的名言“数学之精髓就在于它的自由。”他的工作颠倒了许多前人的想法，否定了许多最基本的直观，在当时数学界引起了强烈的反对，致使康托尔精神崩溃。但现代数学把那种与直观相背的东西当作最基本的直观而不加思索地接受，这并不是说康托尔的集合论就没有问题。
康托尔超限数理论以“整体等于部分”甚至于“整体小于部分”作为假设是可以的，但评价标准不会是完全自由的，科学家更愿意违背常识直观而求助于逻辑，但逻辑就是可靠的吗？“逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还得使用逻辑”，甚至于“逻辑是使人走向错误的艺术”。（注：［美］克莱因：《数学、确定性的丧失》，湖南科学技术出版社，1997年，第196页。）也就是说逻辑也没有绝对的标准。更何况在集合论中从常识性悖论开始最后产生了像罗素悖论、康托尔悖论这样的逻辑悖论。
康托尔论证了一维直线与二维平面上的点有相同的势，Du Bois-Reymond反对这种证明，“这看来与普通常识相矛盾，事实上，这只是这样一种推理的结论，这种推理允许空想的虚构来介入，并且让这些虚构—一它们甚至不是量的表示式的极限——充当真正的量，这就是悖论所在。”（注：［美］克莱因：《古今数学思想》第四册，上海科技出版社，1981年，第65页。）倘若仅指出“与普通常识相矛盾”是不会令康托尔信服的，康托尔在1885年的一封信中分析人们反对超限数原因时说：“他们从一开始就期望无穷数具有有穷数的所有特征，或者甚至把有穷数的性质强加到无穷数上。与此相反，如果我们能够以任何方式理解无穷数的话，倒是由于它们（就其与有穷数的对立而言）构成了全新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本身的特性，这是研究的对象，而并不从属于我们的主观臆想和偏见。”（注：［美］周·道本：《康托的无穷的数学与哲学》，江苏教育出版社，1988年，第58页。）但是在伽利略第二悖论上无限是与有限联系在一起的，因而我们会有更多的理性判据来审视这个问题，而不像在对待第一悖论上，伽利略、康托尔与我们的区别好像仅仅是一种态度的事了。正是在第二悖论上，我们找到了康托尔“空想的虚构”。
首要的问题是线段是否由不可分的点组成？这个问题并不是很简单能回答的，自从芝诺悖论提出直至今日非标准分析创始人罗宾逊又提出了质疑。但在集合论里回答是肯定的，狄德金－康托尔公理表明：直线上任何一点都可以指定一个唯一的实数与之相当，反过来，任何一个实数都可以用唯一的方法以直线上的一点来表示。同时集合论承认实数集的存在。承认了这点，集合论的矛盾就是显而易见的了。从伽利略第二论证的第一条和第二条，将AB放到CD上（A与C重合）多出的BD确是一线段，应该由点组成，同时AB上的点与CD上的点一一对应，AB上的点与CD上的点一样多，AB应与CD是一样长，这里有一个矛盾。这些都是根据康托尔集合论得出的。可能有两个方面的反驳，一是由康托尔集合论只得出长线段上的点与短线段上的点具有相同的势，可以说一样多点，但没有说长线段与短线段一样长，这样做的目的是为了避免与有限联系起来，但这里无穷是与有穷实实在在联系在一起的。二是无限集的“一样多”与有限集的“一样多”是不同的，虽然长线段上的点与短线段上的点一样多，但并不一定组成相等的线段。如果我们将一些无法解释的与常识不同的东西都赋予给无限，其客观性又到哪里得到保障呢？下面我们的分析将指出问题正出在康托尔的“逻辑的必然”是一种“虚假的逻辑”。
在线段AB上给出一点P'，连接MP'并延长可以找到Q'与它对应，CD上一点Q可以在AB上给出一点P与它对应……我们让思想自由地飞翔，我们能想象的对应点永远只是可数无穷的，我们不可能想象出线段上的所有点。因为康托尔已经证明线段上的点不可能一个一个地给出，我们无法把握所有点，因为它是不可数的，它是对我们所能想象到的所有点（可数无穷）的否定。伽利略、康托尔认为长线段上的点与短线段上的点一一对应有空想的虚构介入，从任意点的对应到所有点的对应是不可能实现的，也就是说由可数多点一一对应无法跳跃到不可数多点对应，任意点是一个离散的概念，而所有点是一个连续的概念。早在古希腊，芝诺悖论表明“既不是直线的无限可分性，也不是直线作为一个由离散的点构成的无穷集合足以对运动作出合理的结论”。（注：［美］克莱因：《古今数学思想》第四册，上海科技出版社，1981年，第58页。）我们所设想的对应永远只是可数的，按照测度论，可数无限多点的测度是零，大于零测度的点集是不可数无穷多。因此，我们不会得出长线段与短线段有同样多的点，是一样长的怪事。长线段上点与短线段上点之间、高维流形与线连续统之间的所谓“一一对应”都只说明有可数无穷多点一一对应。因为线段、直线、高维流形有不可数无穷多点，它们的测度即线段的长、流形的“体积”正是由不可数无穷多点所形成的，因而也就不存在整体等于部分的问题了。所有像伽利略第二悖论一样的问题都得到彻底的解决。
四、结论
摩托尔的论证只不过是人们对连续观念长期存在的谬误中的一种新形式罢了。这种谬误自古希腊时代就已经被揭示出来了，但是数学家一直没有正确的认识，因而也就从来没有得到真正的解除。“主教（指贝克莱——作者注）以其锐利的目光，仍然会辨认出改变了斑点的原来那匹豹子。他所攻击的不仅是语言上欠缺明晰性（虽则这点在他的批评中受到了应有的指责），而是芝诺所曾指出的：新的方法不能满足我们那种不间断的、不可分的、无所谓各个部分的关于连续的直觉观念，因为任何想把这种连续分成各个部分的企图，其结果都将破坏所要分析的真正性质。如果我们再继续幻想下去，幻想主教阁下又在我们当中钻了出来，我们会听见他仍旧提出同样的攻击，发出同样的指责。然而这次他会又惊又喜了，因为他将在敌派的营垒中发现了一大群人，他们不但捍卫他，而且将欢呼他为先驱者。”（注：［美］T.丹齐克：《数，科学的语言》，商务印书馆，1985年，第112-113页。）
康托尔的一一对应概念只能从有限推广到可数无穷，把它推广到不可数无穷根本就没有“逻辑的必然”，而是一种思想的自由跳跃，这种跳跃既没有直观的根据，也没有逻辑的依据。一一对应原则的前提是可数集合（即有限集和可数无限集），一一对应原则的语义分析就是可数性，它是不可能跳跃到不可数无穷上去的，康托尔对[0、1]上实数不可数的证明本身就是对一一对应原则的否定。
我们并不反对集合的概念，而只是说明超越了可数无穷我们就不可能比较大小，我们在伽利略第一悖论上得到的结论是“可数集可以比较大小”，与康托尔的结论一样；在第二悖论上得到的是“不可数集我们不能比较大小”（比较大小的原则是一一对应），与伽利略的结论一样。
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