基于分段损失分布法和Copula的银行操作风险集成度量
陈 倩1， 梁力军2
(1.北京第二外国语学院 商学院，北京 100024; 2.北京信息科技大学 信息管理学院，北京 100192)
摘 要: 多个风险单元的集成度量是银行操作风险管理的关键步骤之一。立足于操作风险的“厚尾”、“截断”性，从分段损失分布法的视角出发，探讨操作风险集成度量的模式和数值方法。首先，引入两阶段损失分布法来拟合单个风险单元边际损失分布，用双截尾分布代替传统的完整分布来刻画“高频低损”损失数据的双截断特性，利用POT模型捕获“低频高损”事件的厚尾特性。再次，基于分段建模思路，对传统度量过程中边际分布为单一、完整分布的Copula模型进行了扩展，研究边际分布为分段分布、截尾分布条件下使用Copula函数集成度量操作风险的框架和步骤，并设计了Monte Carlo模拟算法。最后，以实证分析的形式验证所构建模型。通过对中国商业银行416个操作风险损失数据的实证分析，结果表明分段分布、截尾分布能对单个风险单元边际分布有更好的拟合效果，能减小由于分布选择不当而引发的模型风险。分段度量视角下Copula函数的引入能灵活处理多个操作风险单元间的相依结构，使风险度量结果更为合理。
关键词： 操作风险；集成度量；分段损失分布法；相依结构；Copula函数
0 引言
近年来，一系列由操作风险所引起的国际银行“大案”、“要案”频频发生，给银行业乃至整个金融业的稳定发展造成了极大的威胁，其对监管资本的需求甚至已经超过市场风险，成为继信用风险之后的银行所面临的第二大风险。如何恰当地对操作风险展开合理的资本计提，是目前广大商业银行所共同关注的焦点。巴塞尔委员会指出各银行在度量银行整体操作风险前，应该按风险事件类型和业务类别将操作风险进行分类，如按Basel II的建议，银行操作风险可按7种风险事件类型和8条业务线划分为56个风险单元。因此多个风险单元间的相依结构为何，以及如何实现多个风险单元操作风险的集成度量，成为提取银行整体操作风险准备金的前提和基础。
为此，众多学者纷纷将研究的视角投向多个风险单元的集成度量，特别是在损失分布法基础上探讨风险单元的相关结构问题。对操作风险的损失集成度量，最简单的办法是将各个风险单元的操作风险简单相加，但这种方法的前提条件是各风险单元之间完全正相关，即各个风险单元的操作风险是同时发生的，因此往往会高估银行的整体操作风险[1]，而Pearson线性相关系数难以描述各风险单元的非正态和非线性相关性[2]，因此必须寻求更合适的方法和技术来对风险单元间的相依结构进行度量。操作风险的损失分布由损失强度分布和损失频率分布所共同决定，因此风险单元的相关性研究可大致分为两类。
第一类研究关注风险单元损失频率间的相关性，即不同风险单元每年发生操作风险的频率是互相影响的[3,4], 多用同质冲击的方法来描述不同风险单元损失频率间的相关关系[5,6]。此外，Cox过程也被用于描述损失频率随时间的改变而变化的动态关系[7]。在操作风险度量中，许多学者都指出与损失频率分布相比，损失强度分布的选择与拟合才是量化操作风险模型的关键所在，因此，第二类研究更关注风险单元间损失强度分布的相关性。由于风险单元间的损失强度往往存在非线性和尾部相依等特性，在传统Pearson线性相关、协方差等相关性指标的基础上，秩相关度量指标Copula函数逐渐被用来度量风险单元间损失强度分布的非线性相关关系[8～10]。由于Copula函数将风险单元间的联合分布分为风险单元损失强度边际分布和相依结构两个独立的部分，在操作风险的整合度量中具有较好的灵活性，即在损失分布法的基础上，分别拟合各个风险单元的损失强度分布后，选择恰当的Copula即可得到操作风险的整体风险。可以看出，基于Copula函数的度量重点是对边际分布的拟合和相依结构的选择上。在相依结构的研究中，主要集中在椭圆Copula和Archimedean Copula两大类[11,12]，大量实证研究对比了不同类型的Copula函数对操作风险单元相依结构的拟合效果[13]，以及操作风险非对称的尾相关性量化问题[14]。边际分布的拟合一直是操作风险研究的热点，越来越多的学者强调操作风险的厚尾特点[15]，利用极值理论捕捉损失的厚尾性[16]，用POT极值模型估计多个操作风险的边际分布[17]，并用多元Copula刻画操作风险的相依结构，实证研究结果表明其计算的操作风险的资本金也更为合理[18,19]。
从上可知，在操作风险集成度量的研究中，在传统损失分布法基础上融入Copula函数得到了学术界的广泛认可，操作风险损失具有偏态、厚尾的特点也是不争事实。然而，目前的研究中对风险单元“高频低损”和“低频高损”损失不加区分视为同一整体，或者仅将视角集中于操作风险的尾部即“低频高损”事件，此时的损失强度边际分布为完整、单一分布。越来越多的学者提出分阶段定义损失强度的损失分布法，即将操作风险“高频低损”和“低频高损”事件分别拟合建模[20～23]，此时，若考虑操作风险损失分布的截断性和分段度量的实际情况，单个风险单元的损失边际分布将变成为分段分布及截尾分布。此外，操作风险损失分布是由损失强度分布和损失频率分布卷积而成，因而经常没有具体的解析形式，即Copula的边际分布是没有解析形式，当损失强度分布再拓展为分段分布和截尾分布时，总损失分布的产生和模拟将更加复杂。因此，在分段度量中实现多个风险单元操作风险的集成度量是需要进一步探讨的。
基于分阶段度量视角下鲜见多个风险单元间相关性研究的现状，本文的主要贡献是在分阶段定义损失强度损失分布法的基础上，引入Copula函数捕获风险单元间的相关性，打破传统边际分布为单一分布和完整分布的限制，提出当边际分布为分段分布和截尾分布时使用Copula函数来集成度量操作风险的框架、流程，并设计Monte Carlo仿真模拟算法，以期实现多个风险单元操作风险的集成度量。
1 分阶段度量视角下多风险单元操作风险集成度量模型的构建
实现多风险单元操作风险集成度量的两大关键是损失边际分布的拟合和相依结构的度量。本文引入PSD-LDA来拟合单个风险单元边际损失分布，将损失边际分布由单一完整分布拓展为分段、截尾分布；通过Copula函数描述多个风险单元间复杂的非线性相关关系，得到多风险单元操作风险的联合分布。
1.1 单风险单元分段、截尾边际损失分布的确定
假设某银行共分为P 个业务类别Q 个事件类型，则共有P ×Q 个风险单元。令N i 为第i 个风险单元在单位时间(通常为一年)内发生损失的次数(i =1,…,P ×Q )，X i,t 为第i 个风险单元在第t 次损失时产生的损失数额，(t =1,…,N i )。则单位时间内第i 个风险单元发生风险的总损失L i 可以表示为：
(1)
式(1)成立的条件是：X i,t 为独立同分布的随机变量，即X i,t 是同质风险，且N i 与X i,t 相互独立。
若记，p i (n )为第i 个风险单元发生n 次的概率，即p i (n )=P (N i =n )；F i (x )表示第i 个风险单元损失数额小于x 的概率，又叫做第i 个风险单元损失强度的概率分布函数，即，F i (x )=P (X i,t ≤x )，则单位时间内第i 风险单元发生风险的总损失的累计分布函数可以表示为：
(2)
式(2)中，
表示分布函数的k 重卷积，且当x ≥0时，
当x <0时，
在一般情形下，G i (l )很难得到其具体的表达式，通常G i (l )的解析解是不存在的，为了能计算操作风险，可以通过Monte Carlo模拟等仿真技术来解决该问题。
本文基于分阶段度量模型，在“高频低损”(High Frequency Low Severity, HFLS)操作风险的度量，考虑损失数据分布具有的截尾特性，用双截尾分布代替传统的完整分布来刻画损失数据的双截断特性；在对“低频高损”(Low Frequency High Severity, LFHS)风险的建模中，针对其“厚尾”特性，应用极值理论建立基于GPD的尾部操作风险度量POT模型；具体而言是对每个风险单元考虑数据收集的门槛值d 以及HFLS与LFHS的分界点u (POT模型的阈值)，在阈值左端用双截尾分布对HFLS损失强度分布进行拟合，设F (x ;θ )是操作风险损失的分布函数，在d 和u 之间的条件分布函数可以表示为：
自2012年开始，聊城市政府围绕徒骇河建设“世界运河（建筑）博览园”，计划将世界各地优秀的运河建筑景观搬到河流两岸。可以此为契机，适时推出特色水上游览项目，让游客乘坐葫芦状游船，在欣赏两岸世界运河文化风情的同时，体验古人泛舟浮于江湖的逍遥境界。另外，可在姜堤乐园内或其北面的徒骇河水域，开辟水上乐园，开发葫芦“腰舟”娱乐项目和竞技项目。
(3)
相应的条件概率密度函数为：
(4)
由上可见，Copula函数是一个把边际分布函数连接起来构造联合分布的函数，它描述了多元分布的相依性结构，且这种相依结构与随机变量之间的边际分布函数无关。利用Sklar定理，可以得到下面的推论：
采用MOS法[9]及STOI算法[10]作为本实验的评价方法。MOS法是试听者对语音质量好坏的一种主观印象,它让一定数量的测听着对待测语音进行试听,与原始语音比较,然后对听到的声音进行打分,打分分为优(5分)、良(4分)、中(3分)、差(2分)、劣(1分)5个等级,最后得到一个平均意见分,以此来评价语音质量;STOI是一种可懂度衡量指标,用来衡量语音增强技术在提升语音可懂度方面的性能,STOI算法计算出一个范围在0到1之间的值,STOI值愈大,表明被增强的语音信号的可懂度愈高。
(5)
在阈值右端用POT模型对LFHS损失强度分布建模，即用GPD来描述操作风险损失数据中超过阈值u 的部分，而非描述整个损失数据。因此，单个风险单元的损失强度分布由传统的单一分布变为双截尾分布、分段分布，即阈值左端的HFLS服从双截尾分布和右端的LFHS服从广义Pareto分布。
设风险单元i 的HFLS和LFHS的操作风险损失频率分布分别为b HFLS-i (n )和b LFHS-i (n )，损失强度分布分别为F HFLS-i (x i )和F LFHS-i (x i )则风险单元i 的总损失分布可以分别表示为：
在对该桥梁工程结构特征值进行分析时，可以采用振型分解反应谱法，可以选用平－扭耦连的多质点弹性体系CQC法，并根据9种振型进行分析。选择3种影响振型，如表1所示，其中，1和5为水平横向振动而7为竖向振动。在人行天桥设计中，为了避免由于共振作用而影响行人安全，必须保证天桥上不结构的竖向自振频率应该控制在设计要求3Hz以上。该桥梁工程水平自振频率1和5振型分别为0.68Hz以及2.13Hz，由此可见，桥梁工程结构面内刚度大于外刚度。由于该桥梁工程结构跨度比较大，并且横向宽度比较小，因此，结构面外刚度应比较小。
G i (x i )=P (X i ≤x i )
(6)
1.2 基于Copula 多元函数的多风险单元相依结构度量
风险单元之间完全正相关与完全独立都是两种比较理想的情况，而实际中往往并不满足这两种假设，将风险单元的操作风险简单加总、或对风险数据进行简单合并难免有些武断，常常会造成对银行多风险单元操作风险的高估或低估。Copula函数有诸多优良特性，将其用于度量操作风险的相依关系具有以下几方面的优势：首先，Copula理论对变量的边际分布没有任何的限制，因此这些边际分布可以属于不同的分布类型，这对操作风险相依关系的度量将更为灵活且更符合实际。可以对不同风险单元选用不同的损失分布，然后通过Copula函数构建更为灵活多样的损失联合分布；其次，运用Copula理论进行操作风险度量时，可以将银行风险单元各自的边际损失分布和风险单元之间的相依关系分开来研究，这样能降低多风险单元操作风险联合概率模型建模和分析的难度，同时也使联合损失分布的建模及银行多个风险单元操作风险的分析、度量过程更加的明朗、清晰。
综上考虑单个风险单元之间相依关系具有的非线性、非对称等特性，本文将采用Copula函数来对风险单元的相依关系进行描述，通过Copula函数将各风险单元操作风险的边际分布连接起来，得到银行多风险单元操作风险的联合分布。
d 维的Copula函数C (u 1,u 2,…,u d )是定义在[0,1]d 上具有[0,1]均匀边际分布的随机变量的多元联合分布函数,可表示为：
C (u 1,u 2,…,u d )=P (U 1≥u 1,U 2≤u 2,…,U d ≤u d )
(7)
Sklar定理指出，若随机变量X 1,X 2,…,X d 的分布函数分别为F 1(x 1),F 2(x 2),…,F d (x d )，联合分布为F (x 1,x 2,…,x d )，则一定存在一个Copula函数C (u 1,u 2,…,u d )在[0,1]d ，满足：使得：
进一步引入Copula函数后，多风险单元操作风险度量具体的思路和主要步骤是：
Differentiating Navigable and Substandard Inland Waterways with C2R Model
式中IA是一个指示函数,如果A为真,则IA为1,如果A为假,则IA为0。与(3)相比,(4)有望能更好地估计w0。为了计算(4),可以采用随机梯度迭代,通过递推的方法获得估计值
本文采用两阶段度量的方法来对分别对外、内部欺诈风险的HFLS和LFHS的损失强度分布进行拟合。
(8)
从表2可知，在常数双截尾条件下，三个双截尾分布对两个风险单元的HFLS都有较好的拟合，均通过了显著性检验。相对外部欺诈风险而言，三个双截尾分布对内部欺诈风险的拟合效果均更好。外部欺诈和内部欺诈HFLS损失频率分布的拟合结果如表3所示，两类风险HFLS的损失强度分布均服从Poisson分布。
因此利用Copula函数可以将一个多维的分布的密度函数分解为两个部分，其中一部分是Copula的密度函数c (F 1(x 1),F 2(x 2),…,F d (x d ))，用以表示变量X 1,X 2,…,X d 的相依结构，另一部分
是各变量边际概率密度函数的乘积。
如考虑双截尾条件下的Weibull分布概率密度函数将变形为：
设F (x 1,x 2,…,x d )是具有边际分布F 1(x 1),F 2(x 2),…,F d (x d )的联合分布函数，那么存在一个Copula函数C (u 1,u 2,…,u d )，满足：
然而一步又一步，一个弯又一个弯，山洞仿佛无穷无尽，洞腹没有变宽，也没有变窄，四壁依旧是光滑的刀劈斧削过的绯石。如果不是熊熊燃烧的火把在一点一点变短，说明时间在流逝，一定会有“鬼打墙”一般的感觉吧。“看样子，我们只能用一根火把了。”袁安说，他让李离、吴耕灭掉了手中的火把，只留下上官星雨一个人举火在前面照着路。
(9)
其中，
是F i (x i )的广义逆函数，i =1,2,…,d 。
若记C (u 1,u 2,…,u d )的密度函数为c (u 1,u 2,…,u d )，边际分布F 1(x 1),F 2(x 2),…,F d (x d )的密度函数分别为f 1(x 1),f 2(x 2),…,f d (x d )，那么通过c (u 1,u 2,…,u d )和f 1(x 1),f 2(x 2),…,f d (x d )，还可以方便的求出联合分布函数F (x 1,x 2,…,x d )的密度函数f (x 1,x 2,…,x d )：
f (x 1,x 2,…,x d )
(10)
在产能持续扩大、市场与技术日趋成熟、国家政策支持等因素的综合作用下，1990-2010年，我国磷肥产量年均递增6.6%，在2001年至2010年这10年间，我国高浓度磷复肥产量从年产300万吨跃增到年产1300万吨。2005年，我国磷肥产量首次跃居世界第一位；2006年，国产磷肥实现自给自足。从2007年起，我国一举成为世界磷肥出口第一大国。
利用式(6)得到m 个风险单元的损失边际分布G 1(x 1),G 2(x 2),…,G m (x m )的基础上，设银行多风险单元操作风险损失联合分布为G (x 1,x 2,…,x m )，则根据Sklar定理，我们可以通过适当的Copula函数C (u 1,u 2,…,u m )将各边际分布连接起来，使得银行内部整体操作风险损失分布即各风险单元操作风险损失的联合分布G (x 1,x 2,…,x m )=C (G 1(x 1),G 2(x 2),…,G m (x m ))，进而能进一步计算银行内部整体操作风险。
2 分段度量视角下基于Copula函数度量操作风险的Monte Carlo算法设计
利用Copula函数来对多风险单元操作风险度量的思路简单清晰，即先确定单个风险单元的边际分布，再通过恰当的Copula函数来对风险单元间的相依关系进行度量，从而能得到银行多风险单元操作风险的损失情况。但在实际中应用Copula理论来对操作风险建模还需面临着以下两个问题：首先，由于操作风险的损失分布是由损失强度分布和损失频率分布卷积而成，因而经常没有具体的解析形式，即在Copula建模中的第一步骤中所对应的边际分布是没有解析形式；其次，运用Copula模型计算多风险单元操作风险的VaR时，VaR的解析形式一般不容易求出。为此，本文将采用Monte Carlo模拟技术来解决上述两个核心问题。若记风险单元A和B的损失分布函数分别为G 1(x 1)和G 2(x 2)，根据式(6)可知，其大小与损失频率分布b HFLS-i (n )、b LFHS-i (n )和损失强度分布为F HFLS-i (x i )和F LFHS-i (x i )有关，区别以往的研究，本文中的F HFLS-i (x i )为双截尾分布，Monte Carlo模拟时并无固定的代码和函数可套用，为此本文将式(2)变形后可得到双截尾分布与一般分布的关系：
F (x ;θ )=F *(X ≤x ;θ |d ≤x ≤u )×
(F (u ;θ )-F (d ;θ ))+F (d ;θ )
枣树叶片的光和速率以及枣树的蒸腾作用是影响枣树果实形成的两个重要生理特性，光和速率影响枣树植株营养的输送和吸收、蒸腾作用直接影响枣树的产量，因此研究施肥和覆盖对枣树光和生理特性的影响有一定的必要性。试验结果表明，经过覆膜处理的枣树叶片的光和速率优于未经覆盖处理的枣树，原因主要是覆盖处理改良了枣树的土壤质量，降低了土壤的水分蒸发量，改善了土壤盐碱化情况，减轻了缺水对于枣树造成的伤害。
(11)
其中F (u ;θ )和F (d ;θ )为已知常数。在模拟时，先生成n HFLS,k 个服从(0，1)均匀分布的随机数u j ，j =1,2,…,n HFLS,k ，使其分别代表双截尾损失分布的n HFLS,k 个累积密度，即令F *(X ≤x ;θ |d ≤x ≤u )=u j ，利用式(11)求出F (x ;θ )的值v j ：
F (x ;θ )=v j =u j ·(F (u ;θ )-F (d ;θ ))+F (d ;θ )
(12)
然后通过求F (x ;θ )的逆函数来求解HFLS的损失，X k,j =F -1(v j ;θ )。
契合国家创新创业形势和学校应用型转型机遇，通过核心专业—电子信息工程专业特色化建设，带动专业群体建设，形成以电子科学与技术、信息处理与通信技术、计算机科学与技术等学科为支撑的本科专业发展平台，以实现专业群水平的整体提升。
(1)首先，用常用的Copula函数对风险单元的相依结构进行拟合，估计其Copula函数的参数，并根据检验结果，确定一个拟合最佳的Copula函数C (u ,v )，其中，u =G 1(x 1)、v =G 2(x 2)，这里u 、v 均服从(0，1)均匀分布，且记：
(2)生成两个独立的服从(0，1)均匀分布的随机数u 和w ，u 为第一个需要模拟的随机数。由Copula理论知C u (v )、C v (u )均服从均匀分布，因此令C u (v )=w ，通过C u (v )的逆函数即可计算得到
为了能在瞳孔变形的情况下依然获得较高瞳孔定位精度，本文用椭圆来拟合瞳孔的边缘。2次曲线的一般方程可以表示为：
(3)根据风险单元的边际分布G 1(x 1)和G 2(x 2)，计算与u 和v 相对应风险单元的操作风险损失
但由于G 1(x 1)和G 2(x 2)没有具体的解析形式，我们利用单风险单元求VaR的思路，将模拟生成的操作风险损失按从大到小进行排序，L 1,(1)≤L 1,(2)≤…≤L 1,(N) ,L 2,(1)≤L 2,(2)≤…≤L 2,(N) ,令：
(13)
(14)
(4)计算两个风险单元操作风险：L =x 1+x 2，由此得到未来银行内部整体操作风险损失的一个可能情况；
(5)将步骤(3)和步骤(4)重复多次，如M 次，那么能模拟得到考虑风险单元相依结构下的银行未来所面临的内部整体操作风险的M 种可能情景，记为{L 1,L 2,…,L M }由此可以得到内部整体操作风险的损失分布G (x )；
(6)将M 个整体操作风险可能损失按从小到大的顺序排序，记L (1)≤L (2)≤…≤L (M) 则置信水平为α 下的为VaR α ：
(15)
3 实证分析
3.1 数据描述
由于我国操作风险管理刚起步，大部分银行存在信息披露制度不全、缺乏统一的数据收集机制和数据平台等问题，并且操作风险自身所具有的低频高损特征使相关的数据匮乏，若再将这些案例按照相应归属银行和时间来划分，那么可用的样本数将更为不足。参照操作风险量化研究的通常做法，本文通过报纸、网络、监管部门文件、法院检察院审理公告等公开渠道进行操作风险案例的收集，并将损失数据看作一个银行整体。虽然操作风险事件类型可分为八个类型，但经初步分析发现， 内部欺诈和外部欺诈这两类事件占比为95%，为避免数据匮乏的问题，本文仅将事件分为内部欺诈、外部欺诈两种类型，即仅考虑m =2的情况，用以验证上述的方法和模型。内部欺诈、外部欺诈风险单元的损失统计特征，如表1所示。
表1 两类风险的损失数据统计特征(单位：百万元)
从表1中发现，与正态分布相比，内部欺诈、外部欺诈的损失分布均不是对称分布的，而且存在严重的右偏现象。
3.2 边际分布和Copula 函数的拟合
(1)分段边际分布的拟合
F (x 1,x 2,…,x d )=C (F 1(x 1),F 2(x 2),…,F d (x d ))
图1 外部欺诈、内部欺诈超额均值图和Hill图
通过图1看出去，选取两个风险单元的阈值分别为3亿元和5亿元，此时，外部欺诈超过阈值的损失个数为21个，内部欺诈风险有16个。对于HFLS的建模，采用常数双截尾条件下的Lognormal分布、Weibull分布和Gamma分布来分别对外部欺诈和内部欺诈的HFLS的损失强度分布进行拟合，其拟合结果如表2所示。
表2 双截尾分布对HFLS损失强度边际分布拟合结果
注：“DT”是“双截尾”的简称。“DT_Logn”、“DT_Wbl”和“DT_Gam”分别代表“双截尾Lognormal分布”、“双截尾Weibull分布”和“双截尾Gamma分布”，下同。
函数C (u 1,u 2,…,u d )就称作F (x 1,x 2,…,x d )的Copula函数，它从X 1,X 2,…,X d 联合分布中，提取了它们之间的相依结构，在边际分布F 1,F 2,…,F d 都是连续的情况下，Copula函数C (u 1,u 2,…,u d )的形式就是唯一确定的。
表3 HFLS损失频率分布参数估计结果
对于LFHS的损失强度分布，我们POT模型来对其进行分析，参数的估计结果和拟合效果的检验结果如表4所示。
表4 GPD对LFHS的损失强度边际分布拟合结果
从表3中K-S检验值和显著水平P值可以看出， GPD对两个风险单元尾部风险的拟合均通过了K-S检验，且都具有较高的拟合优度。
(2)Copula函数的拟合
我是这样给三年级的孩子打开写作之门的：每给孩子上完一篇课文，或者给孩子讲完一个故事，我便将课文中的几个重要词语罗列出来，并加上一两个对写作或者编故事有引导性的词语，给出的这几个词语有一定的关联。比如，今天学的课文里重要的有翩翩起舞，宗宗流水，鸟语花香这几个词，那么我会在课文中出现的这几个词语中补上乌云密布，地动山摇，一望无际等词语，让孩子们用上给出的词语编写故事或者片段，所给的词语不一定全用但至少用上其中绝大部分。
在得到各风险单元的边际分布后，我们分别选用椭圆族Copula函数中的Gaussian Copula、Student’s t Copula和阿基米德族Copula函数中的Gumbel Copula、Frank Copula和Clayton Copula来对风险单元间的相关结构进行描述。五种Copula对风险单元A和B相依结构拟合的参数估计结果如表5所示。
表5 五种Copula函数的参数估计结果
其中Student’t Copula的自由度为2.9452。
为了能进一步分析不同类型Copula函数对内、外部欺诈操作风险集成度量的影响，我们暂时不对Copula函数进行取舍，将五个Copula函数都引入到内部总体风险的度量中。
3.3 不同相依条件下多风险单元风险的度量及比较
为比较不同相依下多个风险单元操作风险集成度量结果的差异，按照上文对银行多风险单元操作风险度量的思路和步骤，我们利用Monte Carlo模拟分别对完全正相关和考虑相依结构条件下的银行多风险单元操作风险进行度量。
(1)完全正相关条件下
我们使用Monte Carlo模拟对外部欺诈和内部欺诈风险单元分别进行了5000次模拟，表6列出了不同的损失强度边际分布和不同置信度下的外部欺诈和内部欺诈操作风险的度量值——VaR和ES。
表6 外部、内部欺诈操作风险度量值(单位：亿元)
从表6的度量结果我们可以看到，在同一风险单元内，根据三种不同双截尾分布的所计算的操作风险大小相差不大，再一次证明了常数截尾分布对损失强度拟合的稳定性和优越性。同时，除了99.9%的ES外，其余五项风险指标均有内部欺诈风险单元的操作风险值大于外部欺诈风险单元的风险，这与两个风险单元的统计特征也是相吻合的。从表2的分布拟合的结果可知，外部欺诈风险主体拟合最好的是DT_Logn分布，内部欺诈风险主体拟合最好的是DT_Wbl分布，故在完全正相关的假设下，对两个风险单元的风险度量指标求和，得到银行内部整体操作风险的大小，如表7所示。
表7 完全正相关下整体操作风险度量值(单位：亿元)
(2)考虑相关结构的条件下
在考虑相关结构的情况下，分别选择5种Copula来描述风险单元的相依结构。表7列出了在外部欺诈的损失边际分布为DT_ Logn / GPD、内部欺诈损失边际分布为DT_Wbl/ GPD时，使用五种Copula函数度量银行整体操作风险的结果，表8中最后一行用以展示不同置信水平下5个Copula度量结果的离散系数。
（3）造成谐波污染。在运行的过程中，逆变器开关的反复开断是一种难以规避的问题，如此一来，便会制造一个和开关频率大小相等或者接近的谐波分量，进而造成谐波污染问题。
表8 相依结构下整体操作风险度量值(单位：亿元)
从表8中可知，大多情况下Clayton Copula的度量结果最小。随着置信水平的提升，不同Copula的度量结果差异度在增大。
表9 考虑相依结构和完全正相关的操作风险对比结果
进一步，我们将考虑相依结构下的度量结果与完全正相关假设下的结果进行了对比，对比结果如表9所示。表中的数据以百分数的形式表示在考虑相依结构后的操作风险变化的相对比例。
当用Copula函数来捕获风险单元间的相依关系时，银行整体操作风险得到不同程度的降低，其中下降的最大幅度高达38%。此结果也验证了Fantazzini[8]、陆静[13]等的观点，即不考虑风险单元的相依结构而简单假设其为完全正相关，往往会对银行整体的操作风险造成高估。而Copula函数的引入，在度量过程中充分考虑了风险单元间的相依结构，使度量的结果更加符合实际也更为准确，同时也大大减少了银行操作风险所需的监管资本。
4 结语及进一步研究方向
本文从操作风险损失数据的截断特点入手，基于两阶段损失分布法的度量思路，研究多个风险单元操作风险集成度量的问题。将操作风险分为高频低损和低频高损两种类型分别进行拟合，即用双截尾分布来描述高频低损的分段、截尾特性，用极值理论来捕获低频高损事件的厚尾特性。在此基础上，探索银行内部多个风险单元间的相关关系和相依结构，打破传统边际分布为单一分布和完整分布的限制，按照分段建模的思想，提出当边际分布为分段分布和截尾分布时基于Copula相依结构度量多个风险单元操作风险的思路和仿真模拟步骤；构建分段建模视角下基于Copula函数的多风险单元操作风险集成度量模型，提出当边际分布无解析形式时使用Copula函数度量操作风险的框架、流程，并设计仿真模拟算法。实证结果表明，两阶段损失分布法下双截尾分布/GPD能较好地拟合单个风险单元的损失边际分布，且不同双截尾分布的拟合效果相差不大，完全正相关假设下会高估银行的整体操作风险，基于Copula函数的度量模型充分考虑了风险单元间的相依结构，度量结果更符合实际。
当然，银行风险集成度量问题还有许多进一步研究的空间。第一，仅对Copula函数的形式和参数均为固定的情形进行了研究。而实际中风险单元间操作风险的相依结构可能随外部环境的变化而改变，因此未来的研究中可进一步考虑Copula函数参数的时变特性及Copula函数形式的动态性，用时变相关的Copula模型及变结构的Copula模型来对风险单元间的动态相关结构进行描述，并研究具有动态相关结构的多风险单元银行操作风险度量模型的构建问题。第二，商业银行包含信用风险、操作风险和市场风险三大风险，本文的集成度量仅考虑了操作风险一种类型，若只单独关注某种具体风险，难免具有片面性，而且可能会出现“此消彼长”的弊端，因此可进一步探讨三大风险是如何相互作用、相互影响从而引起波动和损失的发生，可从“多维度风险管理”的视角，构建全面的风险管理体系来实现银行多种风险的集成度量和综合管理的要求。
对照组60例患者,显效19例,有效30例,无效11例,治疗总有效率为81.7%;观察组60例患者,显效35例,有效22例,无效3例,治疗总有效率为95.0%;两组治疗总有效率比较,观察组明显高于对照组(P<0.05)。
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Operational Risk Aggregation Measurement of Banks Based on PSD -LDA and Copula Function
CHEN Qian1, LIANG Li-jun2
(1.Business School ,Beijing International Studies University ,Beijing , 100024, China ; 2.School of Information Management ,Beijing Information Science &Technology University ,Beijing , 100192, China )
Abstract :The aggregated modeling and measuring multidimensional operational risk is a crucial step for operational risk management. Based on the characters of “heavy tail” and “truncation” of operational risk, the model and numerical method of integrated measurement of operational risk are discussed. Firstly, the very popular univariate loss distribution approach is extended to piecewise-defined severity distribution approach(PSD-LDA), doubly-truncated distribution is used for severity distribution fitting of high severity low frequency losses instead of traditional full distributions, and POT model is applied to capture “fat tail” feature of low severity high frequency losses. Secondly, based on PSD-LDA, Copula function is utilized to describe the dependence structure while the single and complete marginal severity distribution of risk cell is replaced by the separated and truncated distribution, and the Monte Carlo simulation algorithm is studied. Last, all the models and methods are tested with 246 operational losses. The results show that the PSD-LDA performs more effectively and stably, and the application of the Copula function has the advantage in capturing dependency structure of multiple risk cells, which allows the allocation of capital and hedge operational risk in a more efficient way than the standard approach.
Key words :operational risk; aggregation measurement; PSD-LDA; dependence structure; Copula function
收稿日期： 2017-12-07
基金项目： 教育部人文社科青年项目(19YJC790012)；北京第二外国语学院2019年“种子孵化”项目
作者简介： 陈倩(1982-)，女，云南文山人，副教授，研究方向：风险管理。
中图分类号： F831
文章标识码： A
文章编号： 1007-3221(2019)08-0174-08
doi: 10.12005/orms.2019.0189
标签：操作风险论文; 集成度量论文; 分段损失分布法论文; 相依结构论文; Copula函数论文; 北京第二外国语学院商学院论文; 北京信息科技大学信息管理学院论文;