培养发散思维 提高解题能力，本文主要内容关键词为：思维论文,能力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
培养发散思维，提高解题能力是数学教学的重要组成部分。数学教学中，要提高学生解题的准确性、灵活性和简捷性，促进学生发散思维的发展。为此，在教学中，应教育并鼓励学生不因循守旧，不囿于通法，不受解题模式的束缚，要尽可能引导学生的思维向纵横发展，并学会从不同角度审视分析问题，学会联系运用相关知识思考并解决问题。本文拟结合复合应用题的教学，就培养发散思维，提高解题能力谈几点认识。
一、抓关键、破常规，努力寻找解题突破口
复合应用题内容广泛，结构复杂，条件和问题之间不同的数量关系交织在一起，解题时需要学生根据题意，恰当地选择组合已知条件，经过几次分析综合来确定解题的方法。在具体解题中，要教会学生因题而异，根据具体题目条件，抓题目要害，发散思维，破除常规，细心寻找解题的突破口。
例1.轿车从甲地向乙地行驶，3小时行了全程的1/4。当轿车继续行驶时，有辆摩托车从乙地相向开来。摩托车的速度是每小时75千米。两车相遇时，摩托车行了全程的5/12，求轿车的速度。
通过审题分析，按常规解，即使理出了解题思路，一步步求解也并不简便：比如由“轿车3小时行了全程的1/4”可知轿车行完全程需3÷1/4=12（小时）；而由“轿车继续行驶时，有辆摩托车从乙地相向开来，速度为每小时75千米”及“两车相遇时，摩托车行了全程的5/12”，可知这时轿车又行了全程的1-1/4-5/12=1/3。由此可求出轿车行完全程的1/3时，用了12×1/3=4（小时）；这同样是摩托车行完全程的5/12所花的时间；于是可求出全程的5/12为75×4=300（千米）；进而求出全程为300÷5/12=720（千米）；最后可求出轿车的速度：720÷12=60（千米）。其综合算式是：
75×[(3÷1/4)×(1-1/4-5/12)]÷5/12÷(3÷1/4)
抓住纵横联系，转化思维，就可以突破常规解法。可以这样想：因为行驶中两车车速是假定不变的，因此轿车从继续前行，到与摩托车相遇“这段时间”内，车速愈快，行程愈长。反之车速愈慢，行程就愈短。于是解题的关键是求出“这段时间”内，轿车的行程是摩托车的几分之几（或几倍），那么，轿车的速度就是摩托车的几分之几（或几倍）。根据题意，在“这段时间”内：轿车的行程：摩托车的行程=(1-1/4-5/12):5/12=1/3:5/12=4:5。这就是说，在“这段时间”内，轿车的行程是摩托车的4/5。所以，轿车的速度＝摩托车的速度×4/5=75×4/5=60（千米）。
不难看出，第二解法既注重联系分析，又抓准了问题的关键，找到了解题的突破口，体现良好思维指导下的简捷而有效的解题。
二、抓特征、觅捷径，善挖隐含条件
解答应用题的基本思路是通过由因导果或执果索因，确定条件与条件、条件与问题在逻辑上的必然联系，从而实现由未知向已知的转化。解题方法多种多样，有易有难，有简有繁。在应用题教学中，一定要培养学生的发散思维能力，注意抓题目的特征，觅解题捷径。要实现这一目标，关键之一是充分挖掘题目的隐含条件。
例2.15头牛和85只羊每日共吃草565千克。25头牛和75只羊，每日共吃草675千克。每头牛和每只羊每日各吃草多少千克？
本题除一般解法外，不妨引导学生从已知条件的特征入手，重视隐蔽数量关系的挖掘，力求降低解题难度。可以这样思考：
1.根据题中“15头牛和85只羊每日共吃草565千克”和“25头牛和75只羊每日共吃草675千克”可得出“40头牛和160只羊每日共吃草1240千克”。假如把这40头牛和160只羊平均分为40组，那么每组是1头牛和4只羊。不难求得1头牛和4只羊每日共吃草1240÷40=31（千克）；
2.再根据“25头牛和75只羊每日共吃草675千克”可知1头牛和3只羊每日共吃草675÷25=27（千克）；
3.比较1、2的结果，可知1只羊每日吃草4千克，进而可求得1头牛每日吃草15千克。
当然，要是深入推敲原题中所给的两个已知条件，若能挖掘出“1头牛比1只羊每日多吃草11千克”这一隐含条件，解题将更为简捷。
例3.某区有一批学生参加数学竞赛。第一试及格人数比不及格人数的3倍还多4人；第二试及格的增加5人，及格的人数正好是不及格人数的5倍。问一共有多少学生参加了这次数学竞赛。
先画出两次考试结果的示意图：
这时及格人数正好是不及格人数的5倍。
为揭示特征，暴露隐蔽条件，对第二试结果中的一倍量（不及格人数）及与（及格人数中）这一倍量明显相对应的部分用粗实线标出，其余则用细实线表示。于是有：
比较上图中的粗细实线得知，及格人数中的细实线之和恰好为2倍量（因及格人数总共为5倍量），其数量是5×4+4=24（人）。所以1倍量为24÷2=12（人），那么参加数学竞赛的总人数为：
12×(5+1)=72（人）
通过此例我们进一步看到，能否从题目的特征出发，巧妙地挖掘隐含条件，常常关系到解题的成败与繁简。因此，教师要经常注重这方面的训练，以促使学生解题能力的有效提高。
三、抓联系、讲创新，优化组合基础知识
复合应用题的解题过程中，往往不是运用单一的基础知识和解题方法。因此在应用题教学中，要讲究相关知识与不同方法之间的相互联系、相互作用与相互转化，努力培养发散思维能力，多层次多角度地展开思维，实现基础知识的优化组合。只有以此为前提，才能另辟蹊径，刻意创新，有效地解决问题。
例4.甲乙两艘货轮装运大米，甲轮装的大米是乙轮的1.5倍，若把乙轮的大米拿出120吨放到甲轮，这时甲轮装的大米就是乙轮的2.5倍。求两艘货轮原来各装大米多少吨？
教学中首先要使学生弄清楚，甲乙两轮所装大米的倍数之所以发生了变化，是因为乙轮上有120吨大米拿到了甲轮的缘故。但无论怎样变化，甲乙两轮所装大米的总量未变。联系分数，不妨设两轮所装大米的总量为单位"1"，那么题中出现的“倍数”就要相应地转化为各自的“分率”，而这种转化本身就是一种创新，它体现了基础知识的重新优化组合。
可以这样想：“甲轮装的大米是乙轮的1.5倍”，可说成“甲轮装的大米是乙轮的3/2”。可理解为甲轮有3份大米而乙轮是2份。故甲轮大米占总量的3/5；当乙轮拿120吨大米到甲轮后，“甲轮装的大米就是乙轮的2.5倍”，同样可转化为：甲轮这时的大米占总量的5/7。这就是说，甲轮因为增加120吨大米，而使得它所装的大米从原来占总量的3/5上升到占总量的5/7。显然与120吨大米相对应的分率为5/7-3/5=4/35。到此易求两轮所装大米的总重是：
120÷(5/7-3/5)=1050（吨）所以甲、乙两轮原来各装大米分别为：
1050×3/5=630（吨）和1050-630=420（吨）
例5.某筑路队计划60天修一条长8100米的公路，实际修了10天就完成了1/5，按此速度，工作效率提高百分之几？
按照常规解法，先求出实际修完这条公路的天数：10÷1/5=50（天）。列出综合算式为：
[8100÷(10÷1/5)-8100÷60]÷(8100÷60)
如转化思路，优化解法，可以这样思考：原计划60天修完这条公路，现在10天修全程的1/5，按此速度，50天可修完。于是可以这样想：实际修1天相当于原计划修的60÷50=1.2（天），所以工作效率提高了20%。综合式是：60÷(10÷1/5)-1；还可这样思考：原计划60天修好这条公路，那么10天应修它的10÷60=1/6，但实际上10天修了1/5。相同的10天中，实际比计划多修了这条公路的(1/5-1/6)，故与原计划相比，工作效率提高了(1/5-1/6)÷1/6=0.2=20%。
综上所述，在教学中，只要教师有的放矢，持之以恒地培养学生的发散思维能力，那么解题能力必定会有长足的提高。