对数伽玛与负对数伽玛分布的再生性，本文主要内容关键词为：对数论文,伽玛论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
在著名的Black-Scholes期权定价公式中，有一个重要假设，那就是对于随机利率
，假设积累因子
服从对数正态分布。即
。并在证明该公式的过程中利用了对数正态分布对于乘法具有再生性这一性质[1]。
所谓再生性，就是指对于若干个相互独立、同分布的随机变量，如果它们经过相加或相乘等运算后，仍然与原随机变量服从同类型的分布（其参数可以不同），则称这种随机变量具有再生性。
设
是n个相互独立、同分布的随机变量，记它们的和为S，即
如果随机变量S具有与X同类型的分布，则称随机变量X对于加法具有再生性；如果随机变量R具有与X同类型的分布，则称随机变量X对于乘法具有再生性；如果随机变量
与X具有同类型的分布，则称随机变量X对于商具有再生性。
我们已经知道[2,5,6]对于(1)式中的
与S有
（其中NB(r,π)表示参数为r，π的负二项分布(Negative Binomial)）。
即正态分布、泊松分布、二项分布、负二项分布（以及Pascal分布）、伽玛分布（以及Erlang分布），对于加法都具有再生性。
此外由于当参数m=1时，二项分布为贝努里分布；当参数r=1时，负二项分布为几何分布；当参数α=1时，伽玛分布为指数分布。因此，对于(1)中的
与S有
我们把贝努里分布、几何分布、指数分布所具有的上述性质，称为对于加法具有准再生性。
虽然有这么多典型分布对于加法具有再生性或准再生性，但是对乘法具有再生性或准再生性的分布有多少呢？本文首先根据文献[2,6]指出对数正态分布对于乘法具有再生性、对于商也具有再生性。然后证明了对数伽玛分布和负对数伽玛分布，对于乘法也具有再生性，以及幂分布和负幂分布对于乘法也具有准再生性。
一、对数正态分布的再生性
证明（略）
定理1与定理2分别说明了，对数正态分布对于乘法具有再生性，对于商也具有再生性。
二、对数伽玛分布的再生性
定义2 当随机变量lnX服从参数为α，β（α＞0，β＜0）的伽玛分布时，则称随机变量X服人参数为α，β的对数伽玛分布，并记为X～LΓ（α，β）。其概率密度函数为
证明（略）
定理3说明了对数伽玛分布对于乘法具有再生性，定理4说明了服从对数伽玛分布的随机变量的倒数服从负对数伽玛分布。
三、负对数伽玛分布的再生性
在给出负对数伽玛分布对于乘法具有再生性之前，先引入负伽玛分布的概念。
定义4 当随机变量-X服从参数为α，β（α＞0，β＜0）的伽玛分布时，称随机变量X服从参数为α，β的负伽玛分布，并记为X～NΓ（α，β）。其概率密度函数为
证明与定理4类似（从略）
定理5与定理6分别说明了，负伽玛分布对于加法具有再生性，负对数伽玛分布对于乘法具有再生性，定理7说明了服从负对数伽玛分布的随机变量的倒数服从对数伽玛分布。定理4与定理7还说明了对数伽玛分布与负对数伽玛分布互为“倒数”概率分布。
在引言中列举了五种典型的概率分布对于加法具有再生性，现在加上定理5，就有六种随机变量对于加法具有再生性了。
由定理1、定理3和定理6可知，有三种随机变量对于乘法具有再生性，它们分别是服从对数正态分布，对数伽玛分布和负对数伽玛分布的随机变量。
四、准再生性
为了进一步讨论随机变量的准再生性问题，需要再给出几个定义。
定义5 当随机变量的概率分布密度函数为
时，则称X服从参数为β的负指数分布，并记为X～NΓ（1，β）（这是因为(7)是(6)式中，当α=1时的特例）。
定义6 当随机变量X的概率分布密度函数为
时，则称X服从参数为β的负幂分布，并记为X～LΓ（1，β）（这是因为(8)是(4)式中当α=1时的特例）。
定义7 当随机变量X的概率分率密度函数为
时，则称X服从参数为β的幂分布，并记为X～NLΓ（1，β）（这是因为(9)是(5)式中，当α=1时的特例）。
下面两个定理的证明很容易，这里从略。
定理8 当随机变量X～NΓ（1，β）时，-X～Γ（1，β）；反之，当随机变量X～Γ（1，β）时，-X～Γ（1，β）。
定理8说明了，指数分布与负指数分布互为“反号”概率分布。定理9说明了，幂分布与负幂分布互为“倒数”概率分布。
同指数分布一样，负指数分布对于加法也具有准再生性。
定理10是定理5中当α=1时的特例；定理11是定理3中当α=1时的特例；定理12是定理6中，当α=1时的特例；定理13是定理6中，当α=1、β=1时的特例。因此这些定理无须证明。其中定理13是一个早已被人们所知道的结果[4]。
在引言中还列举了三种典型的概率分布对于加法具有准再生性，现在加上定理10，就有四种随机变量对于加法具有准再生性了。
由定理11、定理12和定理13又可知，有两种随机变量对乘法具有准再生性，它们是服从负幂分布和幂分布的随机变量，而在0～1区间上的连续型均匀分布又是幂分布中，当参数β=1时的特例。
五、积累值与贴现值的概率分布
我们知道在金融市场中，对于投资期为n期的金融产品（n为正整数），其各期的积累因子
与其（单位）积累值a(n)有关系
证明（略）
六、结束语
本文引入了几个概率分布的新概念，那就是负对数伽玛分布、负伽玛分布、负指数分布、负幂分布和幂分布，并且把对数正态分布对乘法具有的再生性推广到了对数伽玛分布和负对数伽场分布上，同时还得到其它一些与再生性、准再生性的相关的结果。这些都是本文的创新。
从本文的有关结果来看，研究随机利率的概率分布的再生性问题，有助于对金融产品的积累值（终值）和贴现值（现值）进行数理分析，从而对金融市场中的投资收益分析和金融产品的定价，尤其是金融衍生工具的定价理论具有十分重要的意义。