HPM视角下的高中数学教学：实践与思考，本文主要内容关键词为：视角论文,高中数学论文,HPM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
自2005年我国召开第一届数学史与数学教育会议至今，我国的HPM研究方兴未艾，以历史相似性研究为代表的实证研究为基于历史的发生教学法提供了更多的论据支撑（如文[1]～文[3]），特别是将数学史融入数学课堂教学的实践研究日益丰富（如文[4]、文[5]），数学史在数学教学中“高评价、低应用”的尴尬状况正在逐步得到改善.作为一名对HPM研究有着浓厚兴趣的高中数学教师，笔者自2004年开始，立足于自己的课堂教学实践，围绕“如何将数学史融入高中数学课堂教学？数学史融入课堂后的情形如何？”这两个重要问题开展了长期的行动研究，通过反复实施“计划、行动、观察、反思、再计划”的教学循环，对融数学史于中学数学教学的方法和途径进行了探索，获得了一些实践经验，也遇到了不少的障碍和挑战，本文结合笔者的实践研究，对如何将数学史融入高中数学教学谈几点认识，并提出自己的思考和建议.
一、如何将数学史融入普通高中数学教学：基于行动研究的经验和看法
在当前的升学压力之下，如何在不影响教学进度的情况下，让数学史成为提升教学效率的工具，是广大数学教师面临的主要困难，正如Barbin所说：“教师们往往不知如何选择合适的数学史材料，以及如何在教学中适当地置入数学史”[6].以下笔者结合自己的教学实践谈几点经验和看法.
1.数学史融入数学教学的具体方法
在具体的教学过程中，将数学史融入数学教学有很多种做法[7]，这取决于教师的信念、教学观、课程内容、历史资料等诸多因素.已有的文献提供了很多成功的经验和做法（如文[8]～文[13]），那么，从教学反馈的情况来看，情况如何呢？
（1）学生的看法
从学生的视角来看，他们最认可的方法是什么呢？他们最希望数学史在自己的学习中发挥什么样的作用呢？笔者就这两个问题做了问卷调查.
问题1：以下是数学史融入数学教学的功能，哪些对你来说是最重要的，请按照自己的需要进行排序（从高到低）：
A.激发学习兴趣；
B.改变对数学的观念和态度；
C.促进学生对概念的理解；
D.了解历史上数学家们的探究历程，培养学生的思维能力；
E.了解数学与社会发展的关系以及它和其他学科之间的联系.
本题给出的五个功能中，A和B主要指数学史在情感领域的功能，而C和D指数学史在认知领域的功能，E是指数学史在文化领域的功能.调查结果显示，上述功能的排序是C—D—A—B—E，这一结果说明，在情感、认知和文化三个领域中，学生最为看重的是数学史对数学认知的帮助.
问题2：对于以下融入数学史的方式，请您按照喜欢的程度进行排序（从高到低）：
A.在教学中穿插数学家的故事和言行；
B.在讲授某个数学概念时，先介绍它的历史发展；
C.提供历史上数学家们对定理的各种证明方法或历史名题的解答；
D.在教材上提供相应的历史材料供学生阅读；
E.指导学生制作富有数学史趣味的壁报、专题探讨、戏剧、录像等；
F.应用数学历史文献设计课堂教学学习单；
G.开设数学史选修课.
调查结果显示的顺序为F—C—B—A—E—D—G.在各种融入方式中，制作学习单、介绍历史名题的解法和提供历史上对定理的各种证明方法排在前列，令人多少有些意外的是在教材中提供历史阅读材料和开设数学史选修课被排到了最后.
将数学史融入数学教学的价值取向决定了采取何种具体的教学方法.根据Jankvist对大量HPM文献的研究[13]，大部分学者都支持“History is a tool”这一定位，也就是说，在数学史融入数学教学的过程中，数学史是为教学目标服务的，从学生的反应来看，这一定位是恰当的，同时，学生希望数学史除了能激发学习兴趣之外，更希望能对认知活动有所帮助.
（2）两种基本形式
在实际教学过程中，将数学史融入数学教学的方式是多样的，但总体来说可以分为附加式应用和融入式应用两类.
所谓附加式应用，就是将历史材料外加于教学内容的方式.例如，在讲授集合单元时，介绍集合论的创始人康托尔的传记，在函数概念教学中补充函数概念发展的历史，在引入对数时介绍对数产生的历史和意义等.在附加式应用的过程中，如果剔除数学史部分，并不直接影响认知目标的达成.毋庸置疑，对教师来说，附加式应用的操作更加简单，而且也是目前应用最广泛的一种方式.笔者经过一个阶段的附加式教学之后，根据教学反馈的情况发现，在附加式应用的过程中，数学史材料能够有效地激发学生的学习兴趣，从而间接地促进了教学的效果，但这一方法给教师带来的最大挑战是教学时间不足，从学生的反馈意见来看，也呈现出“高评价、低接受”的特点，大多数学生对历史材料本身是很感兴趣的，但对于教学过程中附加历史材料的做法却持保留态度，持反对意见的主要原因与升学压力有关，诸如时间的花费、课堂演练的不足等问题使得学生担心应用历史会影响教学效果（特别是考试的成绩）.
附加式是在过去教学的基础上附加一些历史材料，没有注意历史与学生认知过程的融合.从学生的意愿来看，如果数学史的应用只停留在说故事的层次，给他们带来的仅仅是兴趣的话，他们宁愿花这些时间多做几道题目.所以，将历史材料、教材内容和学生的学习需要综合考虑，再来斟酌具体的课堂教学计划，使数学史融入学习过程中，特别是学生对数学概念、方法的认知过程中，这种方法我们称之为融入式应用.融入式的HPM教学设计中，数学史成为学生学习课本知识的必要组成部分，数学史的功效除了增进学习兴趣、为数学课堂赋予文化意涵之外，也对学生的认知过程有了直接的帮助.笔者通过问卷调查和访谈了解到，大部分学生对融入式应用表示了肯定，在具体操作上，他们大都赞成教师以学习工作单（worksheets）的形式统整历史和教学内容，形成可供教学直接使用的教学资料.
2.学习工作单的设计
学习工作单（worksheets）是数学课堂教学普遍使用的一种方式，学习工作单一般有以下两类[14]：
第一类是由一组作业构成的工作单，目的是帮助学生练习在课堂中所习得的某一解法或强化某一单元的知识.使用场所可以是教室，也可以是家庭.
第二类是由一组有结构、有引导性的问题串构成，目的是引进一个新单元、一组问题或一些议题供学生讨论.这种设计通常会考虑学生的先备知识，并且以循序渐进的设问的方式引导学生掌握未学习的基本知识.这些工作单通常于新知识的学习过程中，学生在教师的组织引导下，通过对学习单设置的问题串的思考和解决，学习新概念、掌握新方法.
根据前文所述的调查结果显示，以学习单的形式将数学史融入课堂教学是最受学生欢迎的方式.考虑到教学时间的限制，教师通常也会制作第一类学习单，将数学史作为延伸学习材料，供学生课后自学，但是笔者以为，第二类学习单对课堂教学最为有益.
（1）历史、教材和学生认知的三维度分析
学习单设计的首要工作是综合分析数学知识、学生认知、历史材料以及三者的关系.在数学知识方面，应考虑教材的安排，必须分析课程单元的教学目标以及此单元在教科书中的编排方式，分析教师用书中相关的说明.对于学生认知方面，则是从数学教育研究的论文中搜寻有关学生认知发展方面的成果，以及此单元学习障碍的具体案例，或从本身的教学经验去发掘学生的问题，也可参考国内外HPM研究的成果.至于历史的维度，则是泛指与此教学单元相关的历史文献，包括原始文献、二手文献和经过加工的可直接应用于数学教学的历史材料.笔者曾以复数概念的教学为例，展现了学习单设计的全过程，有兴趣的读者可以参阅文[5].
（2）历史材料的剪裁、加工和融入
在考量了历史、教材和学生认知三方面的联系之后，接下来，教师要根据教学要求、学生的认知困难对历史材料进行必要的选择、剪裁和加工，使之能适应教学进度的要求，同时能够帮助学生解决认知上的困惑.虽然不免担心这是否有悖于严格的历史过程，但严格的遵循历史，是数学史家进行专业数学史研究的基本要求.在数学史辅助教学的过程中，由于教材安排和学生接受能力的限制不得不对历史材料进行加工和剪裁，笔者以为荷兰数学教育家弗莱登塔尔“再创造”[15]的观点正好可以帮助我们排解忧虑.所谓“再创造”意即在数学教学过程中，学生应当有机会经历与数学事件的历史发展相类似的探究过程，但此时学生并不是真正地去创造，而是在教师的引导下获得自己的知识.学生沿着历史发展的路径，了解某部分数学知识的来龙去脉，在此过程中学生的学习也包含了再创造的意义.
二、将数学史融入数学教学的障碍和对策：在探索中前行
虽然数学史融入数学教学得到了广大教育工作者的肯定，但是在实际应用过程中，还是会遇到诸多障碍和困难。特别是在高中学段，升学至上的观点在很大程度上影响着数学教学，所以，要在这样的背景下将数学史融于数学教学一定会面临更多的障碍，以下几个困难是需要克服的.
1.融入数学史与教学进度之间的矛盾
在数学教学中融入数学史势必要花费一定的时间，这就给教学进度带来了一定的压力，对学生来讲，如果数学史的融入使教学进度受到了影响，这是他们不能接受的；从教师的角度来看，由于学校在教学进度方面有统一的要求，所以如何在保证正常教学进度的情况下融入数学史是教师面临的第一个问题.根据笔者的研究，应对的策略首先是在课堂上对数学史的应用应以融入式为主，以学习单的形式引导学生沿着历史的足迹研究数学，让学生体验再创造的乐趣；其次是引导学生通过课外阅读进行必要的延伸学习；最后，要对历史材料精心选择，必要时还要对历史材料进行适当的剪裁和加工.
2.部分学生和同事对融入数学史的教学方法表示怀疑
在升学至上和教材内容分量沉重的压力下，部分学生对融入数学史的教法不予认同，同事甚至学校管理者也对这一做法持怀疑态度.教师在进行教学设计时，必须要考虑学生的这一顾虑.就笔者的经验来看，要使学生认可融入数学史的教学方式，必须要提高应用数学史的层次，尤其是要重视挖掘数学史在学生认知方面的功能，这就需要教师了解学生在学习时存在的可能障碍和困难，分析哪些困难可以通过数学史的途径加以克服，然后再根据学生的需要设计教学过程，这样可使数学史的应用深入到认知的层面，对学生学习的帮助将会更大.
3.教材内容的顺序与数学概念的历史发展过程之间的矛盾
由于现行的教材并不是按照历史的发展来安排的，这给教学中融入数学史带来了一定的困难.比如说对数的产生，在对数产生之前，很多数学家都利用三角积化和差公式将乘法转化为加法，所以有人认为将乘法转化为加法的思想来自于三角公式，但是在教材中，三角的相关内容却在对数之后，所以，在介绍对数产生的历史时，就难以对学生说明三角学对对数产生的启示.为了解决这些矛盾，就需要我们对历史材料进行必要的剪裁和加工，例如在介绍对数产生的历史时，我们只能先介绍“将乘法转化为加法”这一重要思想，等到学习积化和差公式时，再来介绍三角公式对这一思想的启示作用.
三、几点建议和思考：中学数学教师的视角
近几年，关于将数学史融入数学教学的研究日益增多，特别是在实践方面的工作得到了很大的发展，但是，“将数学史融于数学教学并非一件容易的事情”[11].
1.有必要有组织地对中学数学核心概念的历史发展进行专题研究
有关中学数学相关概念的历史由于散见于浩瀚的数学史文献中，给教师的使用带来了很大的困难.笔者认为，有组织地、相对系统地对中学数学中重要概念的历史进行专题研究是很有必要的，当然，在这个研究过程中，研究者一方面要着眼于概念的历史发展，另一方面也要关注数学概念的历史发展对数学教学的启示和意义.具体说来，就是要思考诸如以下几个方面的问题：
历史上数学家遇到的困难对学生学习的启示是什么？
历史上数学家们采用的方法和课本中的方法有何异同？能否为学生所用？
在历史的脉络中重新思考课本内容的编排，有何看法？
哪些历史材料可以融入数学教学之中？具体形式是什么？
2.有必要在教学实践中丰富数学史融入数学教学的形式和内容
从国内的情况看，利用历史材料进行教学设计、在课本中附加历史阅读材料甚至开设数学史的选修课等具体做法有了很大的发展.但笔者感到，除了让数学史进人数学课堂，如何让数学史在学生的课外活动中发挥更为重要的作用也是需要进行探索的.我们是否可以借鉴国外的经验，通过制作以数学史为题材的动画片、创作历史情景剧，或是组织有关数学史的研究性学习活动等做法，让数学史成为学生课外活动的一个重要选项，从而丰富数学的文化意涵.
3.有必要在实践研究的基础上进行适当的理论探索
Barbin提醒未来的HPM研究者必须收集和研究两种资料[6]，一是教师们使用历史的经验.目的是为了研究教师们的目标、步骤以及教学时遇到的问题，了解他们眼中的运用历史于数学教学的利弊得失；二是收集教师和学生对HPM教学感受的访谈资料和问卷.就目前的现状来看，在HPM的实践研究中，使用历史的课堂经验、师生的反馈意见等得到了更多的关注，为数学史融入数学教学提供了非常有益的借鉴.但是我们也应该看到，关于HPM研究的较为完善的理论框架还没有形成，为了使HPM的研究进一步深入，在实践研究的基础上，进行相关的理论探索也是HPM研究者必须要关注的问题.