定理教学之自我解剖，本文主要内容关键词为：定理论文,自我论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在素质教育口号喊得当当响的今天，中学数学教育究竟应该如何进行并没有什么定论.然而在教学中，与素质教育的要求明显不一致的设想和做法，确有反省和检查之必要.对定理的教学处理，我个人的做法就值得加以解剖.
一、隶属应试教育
教学定理，草草分析、简要证明，继而组织典型应用题例，搞专题讲座，甚至仅略加提要，便直接搞定理综合应用，这是我一贯的做法.自认为，高考实质上就是学生解题能力的大检验，定理学生知道就足够了，关键在于会用；不少学校高三几乎整整一年全部用于复习，新课教学只有两年，谈素质、讲能力、求创新，时间何来？
可是，学生每一次测试下来，一些现象，不忍目睹：定理混淆的，不必说；不讲条件随意使用的有之……当然，借用定理的探讨或证明方法即可轻易解决的问题，一些优生竟无法展开思路，还不在此列.学生认真听课、苦苦笔记，到头来学到些什么？模糊的定理，典型例题的仿佛印象，面对配套练习的机械模仿.倘再过些时日，也许什么印象也没有了，模仿也就不敢指望了.
如此，何故？原来，孩子们成天在赶做新的配套练习，无暇消化复习.
应试教育的痕迹暴露无遗.
不是说，“定理学生知道就够了”吗？怎么一到测试，就模糊或混淆了？教师将大量时间用于搞定理综合运用，为什么学生只能机械模仿，甚至多隔点时间竟什么印象也没了，连模仿的能力也没了？仔细想来，如此之效果，与本人对定理教学的抓法，有着直接的关系.
学生运用定理，至少应包括两个层面，一是定理本身，二是定理分析证明方法等.其中，对定理，若要求较熟练而灵活地加以运用，仅指望定理应用讲座这种主要由教师灌输、学生被动接收（忙乱地笔记、听课）的教学模式，是很难奏效的.“熟练”，需要学生自己用各种方法，从多角度感知、了解、认识、识记定理；“灵活”，需要学生用头脑分析、比较、综合、决策……有时，定理的分析证明方法也许比定理本身更有地位；因为定理亦是这方法的直接推论，当然作为定理的分析证明方法就必有更广阔的使用天地，对定理无力解决的某些问题，这方法定有特殊功效.
如果对定理的应用提高到对能力或创新的要求，那么对自己的做法就必须作进一步的剖析和改进了.
二、定理教学尝试
皮亚杰在其《发生认识论》中强调，认识是主客体相互作用的结果.这种作用通过活动来实现.活动是感知的源泉，又是思维发展的基础.“认识一个对象并不是描摹它，而是意味着对它发生作用，意味着构成转变的系统”.“知识就是一个转变系统.”按照皮亚杰的理论，数学的认知，是一种活动和反省抽象的过程.数学教学不应当仅仅教学数学结论，而要展开数学活动，以形成心理运算的基础.数学活动的必要性在于引导学生将注意力集中到动态的思维过程上，通过思维运算和反省抽象来理解和掌握数学结论.
数学教学如此，定理的教学自然也不例外.那么，学生对定理的学习应该是一个怎样的过程？在这一过程中，学生应该展开怎样的活动或反省抽象，才能更好地发挥其主观能动性，在行动上和思想上转变对象，并掌握其转变的机制，从中得出正确的结论以获取知识；通过思维运算和反省抽象来理解和掌握定理？
个人以为，学生对定理的运用，可以划分为五个层面：直接使用定理本身、借用其探求方法或经验、利用定理分析证明方法、利用理解变形与拓展结果、定理学习过程所培养的能力等.这，直接为定理在中学数学教材中的地位和作用所决定.
定理运用的五个层面是相互联系、相互制约、相互影响、相互促进的.对定理分析证明方法的理解、认识和掌握，必然更易于打通对定理的直接运用问题的解题思路.理解与变形，展示定理的各种形式，更有利于把握定理的本质特征，以顺利实现由特征到对定理及其他的搜索和选择联想.对定理的拓展，将定理的应用拓宽到其它特殊的、类似的、对立的或极端的或一般的情形，给学生创造性地解决问题提供了线索和源泉.定理的探索、提炼与概括，本身是一项复杂的工程.这一过程在教学中亦被压缩，这一压缩了的过程，给学生学习合情推理的方法、模仿如何探究提供了大量的、连续的、“逼真”的情境和机会.而拓展和探索本身，定将带领学生亲身参与拓展和探索的“真实”过程，让他们获得成功或失败的体验，学生的创新、创造能力也会因此而得到更积极、更主动、更高效地培养.在学生应该解决而定理及证法无能为力的问题面前，对问题的分析能力、变换拓展和探究的能力便是唯一的依赖.当然，学生能力的培养反过来必然有利于对定理的熟练灵活、甚至创造性地运用.
学生的经验获取、能力培养是需要过程的，这过程当然是曲折、复杂和艰巨的，是的的确确需要十分充足的时间的，那种走马观花的定理教学操作必将严重阻碍学生能力尤其是创新能力的培养.
今天，高考也越来越偏重能力的考查，就算要应这高考之试，也不得不把学生能力的培养摆在突出而重要的位置上来.
定理的教学，个人拟定了以下几个程序：
一、课堂教学程序
（一）压缩式探索与概括.
（二）分析与论证.
（三）理解与变形：
1.字面剖析；
2.特征把握；
3.变形变换（形式改换，跨领域翻译.如几何、代数、三角、图形、文字、符号间的对译）.
（四）模拟分析：即由定理的点滴哪怕是类似的特点至定理或其他相关定理、方法等的联想.
（五）作用估计.
（六）类推、引申与拓展：考虑类似或相反方面的或极端或更一般的问题，或类比定理展开联想或将其特殊化或极端化，研究其逆、否、逆否命题，或在定理结论的基础上进一步推演出新的结论（限于时间，可只作拓展方向提要性引导，以让学生思路发散开去）.
（七）直接运用举例.
（八）定理综合运用.
二、活动展开程序（必要时，可要求学生写成文字——形式不限）
（一）课堂的延续：将对定理掌握作用较大或对学生能力培养极有效力，但限于课堂时间又不便展开的部分工作抽时间展开.具体操作，应尽最大可能启动学生思维，任其驰骋.
（二）联系研究：将使用定理的体会与经验、探索经验或方法、分析与证明的经验和方法及理解变形与拓展结果、其他定理与方法等结合起来加以研究.
说明：
这样的定理教学，要求教师课前作充分的准备.譬如，追溯定理的探索过程，根据教师个人、学生和教材实际，分析确定这一过程在课堂应占用的时间比例，并依此压缩探索过程；探寻定理的论证方法（通法与简法等），根据证法探寻过程在课堂应占用的时间比例作出取舍，等等.
下面两个片断，是我个人对定理教学的尝试.
（一）祖暅原理教学片断
在祖暅原理的教学中，我曾作添补处理.以下是添加（我选择数学课外活动时间完成）活动记录.
我们知道，原理条件要求比较苛刻：
（1）两个几何体夹在两平行平面间；
（2）任一平行于两个平面的平面截两几何体所得的对应截面面积都相等.
对此，我引导学生考虑：如果两个对应截面的面积不相等，那么会出现哪些情况？
生：成倍数关系、一个比另一个多一个确定的值……
师：如果我们选择两个对应截面的面积成倍数关系，那么两个几何体的体积有何关系？
生：成倍数关系.
师：好.请完整地概括出这一结果.
……（讨论概括、教师引导）
生：夹在两个平行平面间的甲乙两个几何体，被平行于这两个平面的任一平面所截，如果截甲几何体所得截面面积是截乙几何体所得截面面积的倍，那么甲几何体体积是乙几何体的K倍.
师：请同学们举例说明你的结果是正确的.
……（举例说明、教师引导）
师：这一结果是正确的.如果我们将其用于球体，请构造另一个几何体，并探讨其体积公式.已知球体体积公式为（4/3）πR[3]
……（分组讨论构图、教师引导）
生：乙几何体体积为（4/3）πabc.（但他们并不知道，这个几何体叫椭球体）
师：你发现了一个重要几何体——椭球体的体积公式.祝贺你们！
……（学生兴奋不已，有的在倾述感受、有的在记录“重要”结论、有的在作新的探索尝试）
（接着，师生一起整理探讨所得）
师：刚才我们的探讨是成功的.但并不能就此满足.现在，请同学们考虑，原理的第一个条件可作怎样的拓展？
……（师生互动）
[更一般的原理揭示了出来：置于一个平面上的甲乙两个几何体高之比为，任意作两个平行于此平面的两个平面M、N（平面M截甲几何体，平面N截乙几何体），如果截两几何体的高所得线段对应成比例，且甲几何体被截得的截面面积是截乙几何体被截得的截面面积的倍，那么甲几何体体积是乙几何体的mn倍.]
师：关于体积有相应的原理，对面积呢？简单一点，试问，对平面图形的面积是否也有相应的原理？
生：夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任一直线所截，如果截得的对应线段的长度相等，那么这两个平面图形的面积相等.
师：妙！这是平面祖暅原理.请参照前面拓展方法将其推广，并用以探讨椭圆的面积公式.然后各自写一份研究报告.报告形式不拘，只要列出研究方法或考虑的问题或成果即可.尤其要写出，你认为最值得欣赏的东西.
上面的处理，旨在于引导学生类比、归纳以探求类似的或更一般的结论，培养学生探究能力.
通过这样的学习，学生对原理的认识水平必然不同于“走马观花”的阅读或提要，研究问题方法的学习与模仿，类比与归纳、探索与创新能力的培养和提高效果必然更好.
（二）二项式定理教学片断
师：这个定理，冠以“二项式”而命名，试问，“三项式定理”会是什么样的？
生：（a+b+c）[n]看作二项之和，利用二项式定理展开即可.
师：不错.那么，展开之后，各项字母式子有什么特点？系数呢？
……（学生讨论、教师引导）
生：（a+b+c）[n]展开式里，各字母式子成a[x]b[y]c[z]状，其中x+y+z=n.
师：由二项式定理，（a+b）[n]展开式一共n+1项，（a+b+c）[n]呢？
……（学生讨论、教师引导）
生：（a+b+c）[n]展开式共C[，n+2][2]项.
师：请考虑x+y+z=n（其中n为常数）的自然数解的个数.
生：C[，n+2][2]个解.（注：学生讨论后的结果）
师：现在，请同学们整理所得，然后讨论提出类似的或一般的问题.
生：（a+b+c+d）[n]展开之后，各项字母式子、系数有何特点？一共多少项？m个不同字母的和的n次方展开之后，各项字母式子、系数有何特点？一共多少项？
X[，k]=n（其中n为常数）的自然数解多少个？（注：问题叙述形式作过处理）
师：限于时间关系，请同学们抽空研究一下，然后写出你的成果或问题.可以几个人一起研究，共同协作完成.具体研究时，建议使用归纳法，逐步归纳以得出一般性结论.
学生成果摘录：
1.结论：（a[，k]）[n]展开式共项C[，n+m-1][m]项，X[，k]=n有C[，n+m-1][m]个自然数解.
2.问题：（a[，k]）[n]展开式系数有多少个（相等的仅计数一次）？系数最大是多少（如何用公式表达）？……