恰当的试题难度，广阔的思维空间——评2001年全国高考数学试卷，本文主要内容关键词为：恰当论文,广阔论文,试题论文,难度论文,全国高考论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2001年高考数学试题以“三个有利于”为指导思想，严格遵循《考试说明》规定，充分体现了“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能”的命题原则，稳中有降，小有创新，突出基础，强调能力。与去年的试题相比，高难度试题比例有所减少，基础试题增加；计算量减少，试题的解决途径与方法普遍增多，为考生提供了思考的时间与空间，使学生的聪明才智在解决问题的过程中得到充分的展示，体现了高考数学考素质、考能力的要求。理科抽样均分为96.32，难度系数为0.64， 文科抽样均分为74.72，难度系数为0.50， 比较符合考生的实际水平和师生的承受能力，使高考数学难的形象得到改观，有利于中学实施素质教育。
1 抽样统计数据
2 试题特点
2.1 难度恰当，突出“三基”
（1）难度恰当，调整到位。作为选拔性考试的高考试题， 必须保持一定的难度，达到一定的区分度，才能有利于高校选拔优秀人才。但如果整体难度太大，也不利于考生正常发挥应有的水平。今年的数学试题，一改近几年“偏难”的形象，整体难度得到控制，特别是理科试题，明显降低了难度，抽样均分达到了96.32，比去年提高了12分左右。选择题与填空题部分，除（12）、（16）两小题以外，难度系数都达到或超过了0.4的优秀水平，体现了小题考基础、考速度的考试要求；解答题部分，减少了各题中的小题的总量，并设置了一定的梯度，变多题把关为两题把关，整体上保持了一定区分度。可以说，今年的数学试题的难度及难度结构调整得比较到位。这样的试卷，有利于考生发挥正常的水平。
（2）全面考查，突出重点。 试卷对中学数学的主体内容进行了重点的考查，函数、不等式、数列、立体几何与解析几何等的重点内容，保持了一定的比例和一定的考查深度。如函数作为高中代数中最基本、最重要的内容，在理科试卷第（1）、（4）、（6）、（8）、（10）、（18）、（22）题中，从不同侧面进行了考查，考查了定义域、反函数的概念，考查了函数的奇偶性、增减性、周期性、最大值最小值等性质，涉及到二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。立体几何重点考查了线线、线面和面面的位置关系及有关角、面积与体积的计算。解析几何全面考查了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，重点又放在解析几何的基本思想方法的考查上。
试题在突出重点的同时，注意到考查知识的全面性，不回避冷僻。如排列、组合数公式，并不是中学数学的重点内容，往年的高考中，最多出现在小题中，而今年却出现在理科第（20）题。该题是全卷中得分最低、难度最大的试题，错误的主要原因是对P[i][,n]的展开式不很清楚。试题对初中的重要数学知识，也在应用高中知识解决问题的过程中进行了考查。如文科第（19）题，是一个圆内接四边形的面积计算问题，很多考生由于对平面几何的一些性质有所淡忘，一筹莫展，抽样得分率仅为14％，使该题成为全卷得分最低的试题。
（3）综合程度有所降低，仍继续注重对思想方法进行考查。 试题的知识综合性有所降低，更贴近学生的知识水平与认知水平。一批考题紧扣概念、定义和公式，源于课本（如理科（19）题）。很多考题从定义、性质、公式出发成为该题诸多解法中最为简洁的一种解题方法。
试题注重考查体现学科特点的基本思想和方法，不是刻意追求“巧法”、“新法”，而是把重点放在最具价值的常规方法的应用上。例如，转化思想沟通了几何与代数的关系，理科（18）、（19）题如果能抓住代数与几何的转化关系，求解过程将变得简捷明了；分类的思想在理科（1）、（19）进行了考查，形数结合的数学思想在第（1）、（2 ）、（4）、（7）、（8）、（14）、（18）、（19）题有所应用； 函数与方程的思想在第（2）、（3）、（21）、（22）题有所考查。今年考查的数学方法有换元法、待定系数法、分析法等。
全面考查、突出重点的命题原则和方向，有利于师生立足于课本，夯实基础，落实“三基”。
2.2 命题以中学熟悉的材料为背景为学生提供了充分展示才能的空间
全卷除第（12）、（19）、（22）题以外，无论是内容、方法，还是问题的呈现方式，都是考生所常见、熟悉的。在考试心理上以及时间上，都为考生创造了宽松的环境，给学生提供了充分展示能力的时间与空间，而不是限制在狭小的范围内考查学生的能力。在这样宽松的环境下，学生的创新意识和创造能力得到了充分的展示。如理科第（20）题，是一道解析几何论证题，考生从不同的角度出发，从纯几何、纯代数或形数结合等不同思路，利用直线与圆的普通方程、参数方程、极坐标方程，从综合或分析的方法给出了几十种不同的解题方法，使学生的聪明才智得到充分的发挥。
“展示”与“考查”是两个完全不同的理念。考查是被动的，而展示是让学生在自由空间里，以自己擅长的方式找到解决问题的方法，体现考生的主体性，对素质教育的推动起到不可估量的作用。
2.3 以逻辑思维能力为核心，全面考查数学能力
今年的数学试题，对考生的数学能力进行了全面的和综合的考查，并注意层次要求上的差别。体现在小题上能否抓住问题本质，以简缩的思维解决问题，从而节约大量时间。大题入口宽，每题都有多种解法，同一大题中的小题层次分明。试题比较有效地考查了考生继续学习的潜能，为高校选拔新生提供了数理素质的可信依据。
（1）试题将逻辑思维能力的考查置于考查能力的核心， 增加了证明题的份量。理科的第（19）、（20）、（22）均涉及到论证，其他的解答题虽不是以证明题的形式出现，但在求解过程中也有相当份量的说理要求。这些考题的解答需要考生必须具有良好的阅读、观察、思考和推理能力。往年的证明问题侧重于几何证明，而今年却出现了较多的代数证明题。几何证明题侧重于空间想象能力，而代数证明题可以更加突出学生的抽象思维能力的展示，考查了考生继续学习的潜能。
（2）今年的数学试卷，编拟了以含字母的式的运算为主， 同时兼顾算理和逻辑推理的试题来考查学生的运算能力。如理（18）复数问题，主要考查的是复数运算，在计算（1－i）[3]时， 可以利用立方公式进行展开，但是很多考生因为立方公式不太熟悉，失分情况比较严重，但如果利用（1－i）[2]＝－2i，不仅可以简化解题过程，也使正确率大大提高；在求│z－z[,1]│的最大值时，如果能结合复数及其运算的几何意义，可以使得解题思路及其过程得到相应的简化。试题对抽象字母的运算也有较高的要求，如理科（19）涉及到诸多参数，（20）题中出现了多个字母，需要在洞察方向的前提下简化运算。
（3）在考查空间想象能力方面， 试题体现了对考生作图能力的要求，并注意到对图形的处理与图形的变换要与推理相结合。如第（9）、（13）题，都没有给出图形，要求学生会根据题意正确想象并画出符合条件的空间几何图形，在此基础上，确定所求的角与面积，与往年的立体几何小题相比，空间想象能力的要求有所提高。立体几何大题的位置尽管有所前移（理科第一大题，文科第二大题），但第（Ⅱ）小题所求的二面角是非常规的没有给出公共棱的二面角，要求考生会根据条件先寻求出二面角的棱，在寻求该二面角的平面角时，对考生的识图能力、作图能力、想象能力以及利用图形进行推理的能力都有较高的要求。
2.4 试卷整体结构在保持稳定的基础上，进行了必要的调整
（1）对全卷的难度布局进行了调整。选择题、填空题降低了难度，侧重于速度测试的功能，要求考生在尽可能短的时间内完成，尽快进入解答题。解答题突出难度测试功能，变多题把关为两题把关（理科（20）、（22），但整体难度上有所降低了。全卷理科均分为96.32，难度为0.64；文科均分为74.72，难度为0.50， 是整体难度调整比较到位的一次考试。
（2）明显减少开放题型。2000年大题几乎题题开放， 也有很多小题具有探索性；2001年这样的开放题与探索题明显减少，解答题中只有理科（17）题和（20）题具有一定的开放性。
（3）改善问题的呈现方式。2000年的很多试题， 以表面寻常而实际蕴涵深刻逻辑概念的设问方式提出问题，考生十分不适应，丢分严重；2001年作出调整，问题明确易懂，有利于考生上手，不至于考生因为看不懂题而误入歧途。
（4）试卷大题的内容编排也作了较大的变化。 如理科立体几何大题首次出现在解答题的第一大题。
（5）总题量保持不变，但解答题中的小题的题量有所减少， 减少了答题时间，让学生有思考的余地。
（6）文理有别。文科的试题与理科试题小题基本一致， 但六大题中有三题内容互不相同，并首次出现文理编拟不同的应用问题。
2.5 改革中求创新，试题不乏新意
选择题（11）、（12），作为选择题的最后两题，属数学应用问题，很有特色，富有新意。由于给出的数学背景新颖，打破了常见题型的框框，因此不少学生思维受阻，未能正确解答。（11）题要求学生具备一定的立体几何知识及空间想象能力，还要具备一定的直觉思维能力；（12）题的关键是阅读理解题意，并且必须具备一定的生活常识。
文（19）、理（20）、文理（22）也具有一定新意，文（19）虽然有些冷僻，用到了初中的平面几何知识，但所涉及的知识是基本的，所用的方法也很普通，问题解决并不很难。可以利用平面几何知识进行证明求解，也可以利用正余弦定理，用三角知识解决，也有用坐标法、向量方法来解题的。由于问题情境创设新颖，只会记题型背套路的考生束手无策，有效地考查了分析问题、解决问题的能力。理科第（20）题，对抽象符号运算的思维要求高，所蕴涵的方法注意与大学接轨，这能体现能力，拉开距离，有利于选拔；理（22）题由具体函数出发去研究抽象函数，是对继续学习的潜能考查的体现。
3 对中学数学教学的启示
3.1 要重视“三基”教学，重视教材在学习与复习过程中的作用
（1）中学数学的基础知识，是考生进入高等学校继续学习的基础，也是参加社会实践的必备的知识，考查学生基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一。高中阶段的知识点共有128个， 对这些知识点的要求有了解、理解与掌握以及灵活运用等四种不同层次的要求。教师必须充分了解掌握每一个知识点的层次要求，才能在教学时正确把握教学的程度。在学习或复习时，一方面要注意知识的全面性。从今年的考题中发现，学生的知识仍有盲点，如一部分考生都不太清楚P[i][,n]的展开式，有的考生连立方公式都不甚了解；另一方面要注意重点知识的理解和掌握。如正弦定理，由于是初中上移至高中的内容，平时教学时挖掘得不够，很多学生只会记忆公式，无法在解决问题中灵活应用。
（2）在现行的中学数学教材中，数学思想方法蕴涵其中， 相对于知识的教学，数学方法和数学思想的传授只是渗透其间，缺乏系统的归纳总结，没有充分的讲解和讨论。在平时的数学课堂教学中，教师应充分挖掘蕴涵在教材例题、习题中重要的数学思想和方法，通过课堂教学交流，课后学生的自主实践、体验，感受到它的用处，在运用中达到理解与掌握。
（3）要紧紧依托教材进行高三复习。从1989年以来， 数学命题每年都从课本上摘编和改编一些题目，即以课本的例题、习题为基础进行加工、简化和组合。一些较难的试题也是在挖掘教材的基础上，吸取其思想引申而成的。如今年高考数学理科第（19）题，是教材中某一习题的引申；理科第（22）题，实际上是函数奇偶性与周期性的抽象与推广。
3.2 要重视过程教学，鼓励学生主动参与教学活动
只有使学生积极参与教学活动，才能使得“三基”扎实，能力培养落到实处。从答卷情况来看，很多考生对“三基”会了、懂了，但是解题时不熟练、不准确；数学思想方法老师都讲了、强调了，学生也练习了，但是解题时想不到、用不上，只会照搬题型，遇到新的情境就束手无策。出现上述情况的原因是在教学活动过程中，没有通过学生自己的思维及活动，把知识、方法、思想真正落实下来，课堂教学过程中仍普遍存在灌输或变相注入式的教学现象。教育观念要更新，教学方法要改革。
例如培养运算能力，要让学生自己动手，踏踏实实地写出运算过程，不仅要求会，而且要求对。严格的训练是靠平时抓的，特别是高三复习阶段，由于课时紧、任务重，只讲思路而省略过程的做法是不对的。
3.3 要重视加强学生逻辑思维能力的培养
以“能力立意”是多年来命制高考试题的指导思想，而逻辑思维能力是诸多能力的“核心”，是高考能力考查的重点，也是学生进一步学习的潜能的重要表现。今年也不例外，理科第（20）、（22），文科第（19）、（22），对学生思维能力，特别是逻辑思维能力提出了较高的要求，难度系数分别为0.16、0.37和0.14、0.33。代数证明与几何证明相比，可以更加突出反映考生逻辑思维能力的水平。
反思平时数学教学，对代数论证重视不够。教材中这种证明题出现得不多，作业又难改，课堂教学过程中有时只是讲讲思路，缺少学生的主体思维，难以形成能力。这方面应引起中学数学界的重视。
3.4 要注意在实践中锤炼对数学语言的阅读理解能力和表达能力
（1）要使学生正确理解和使用三种数学语言。 数学语言是进行数学思维与交流的工具，也是高考改革创新的重要方面。从考生答卷看，或不理解题意，或表达紊乱，或似是而非。思维障碍的众多表现，往往在于数学语言的差距，数学语言已成为众多学生能力发展的障碍。如理科应用问题中的a[,n]，在试题中的含义是表示几年总和， 但相当多的考生受思维定势的影响，同时也没有认真阅读问题的叙述，误认为是每一年的投入（通项）。解答题中的复数问题，也有相当多的考生在进行形数转化的过程中出现错误，错误的原因，有理解的问题，也有表述的问题。在数学课堂教学中，要注意加强三种数学语言——文字语言、图形语言、符号语言的听、读、说、写的训练与培养，既要能够正确理解，又能相互转化；还要能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言。
（2）要培养学生学会用正确的数学逻辑语言表述解题过程。 数学推理要讲究逻辑关系。如理科第（19）题，很多考生想利用分析法来证明三点共线，但又对分析法所使用的逻辑关系不甚清楚，不会使用分析法的语言链——“要证明～”，“只需要证明～”或“就是要证明～”，最后“因为～成立，所以结论成立”，以至于出现“假设结论成立，～”，以及循环论证的错误情形。课堂教学中，要注重运算和推理的逻辑性，让学生真正理解条件与结论之间的逻辑关系，“悟”出数学证明中所用语言链的逻辑含义，学会证明，学会条理清晰、准确流畅地表达证明过程。
3.5 培养学生多角度地思考问题，是培养学生的创新能力的重要途径
高考是选拔性考试，每年都有一定的创新，试卷中出现的新的题型需要考生自己独立解决。所以，在数学课堂教学中，应注意培养学生独立思考问题的习惯，独立解决问题的能力。建构主义认为，在具体问题中，知识并不是拿来便用，一用就灵，而是需要针对具体情境进行再创造。只有让学生在学习过程中，通过对新知识、新问题的分析、检验和批判过程，达到理解和掌握，各种情况下的应用并不是简单的套用，具体情境总有自己的特异性，应充分发挥学生的主体作用，从多角度来分析问题，积极鼓励学生的创新思维，并及时地进行交流，充分发挥个体与群体的作用。
4 对高考命题的几点建议
（1）保持稳定，控制难度。今年的高考数学试题稳中有降， 突出了对基础知识、基本方法与基本技能的考查，得到了考生以及中学数学老师的认可与欢迎，有利于中学数学教学改革，有利于中学实施素质教育。希望今后的命题能一如既往，充分考虑学生的实际水平，控制试题难度，达到试题难度与考生水平的匹配。
（2）在试题内容的编排结构上希望保持一定的变化， 避免中学数学教学及考试的八股风。
（3）对于今年试题中出现的一些字母或表达式， 为避免考生产生歧异，最好给出必要的说明。如P[i][,n]，有相当多的考生误认为是P[,n]的i次方；还有自然对数lna[,n]，很多考生不理解它表示什么，从而造成人为的失分现象。
（4）从江苏考生数学抽样统计来看，今年文科的均分为74.69，考题偏难了些。如第（19）题，由于问题情境新颖，又是以初中平面几何的方式呈现，容易将考生的思维引向平面几何。该题的难度不低于甚至超过了理科相应问题的难度。建议今后命题时能考虑到文科考生的实际水平，适当降低难度。