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全等三角形是八年级数学内容中重要的章节，也是初中几何中的重要内容，中考对全等三角形的要求比较高，并且三角形全等的应用也比较广泛，主要用于证明几何问题中线段相等，线段之间的数量关系等问题.不过，往往在应用全等三角形的时候会出现各种各样的难点，甚至有时候要构造三角形全等，进而达到证明线段相等的目的.
弄清了构造三角形全等的证题思路后，还要注意一些比较难的证明问题，只要作出合适的辅助线使得三角形全等，把条件和问题结合起来，再进行等量代换，就可以达到解决问题的目的了.下面举例说明几种常见的构造方法，供大家证题时使用.
一、截长补短法
当题目条件或结论中出现a=b+c的类型时，首要考虑截长补短方法.
例1 如图1，已知在△ABC中，∠B=60°，其中AD、CE分别为∠BAC、∠ACB的平分线，且AD与CE交于点F.
求证：AC=AE+CD.
分析：从结论上来看，属于a=b+c类型，考虑截长补短方法，难点在于使用过程中60°角的应用.
证法一：截长法
辅助线说明：图2中，在AC上截取AG=AE，连接FG，然后只需证明CG=CD即可.
在△AEF和△AGF中
所以△AEF≌△AGF（SAS）.
所以FE=FG，∠AEF=∠AGF.
所以∠BEF=∠CGF.
又因为∠BEC=∠BAC+∠ACE=∠BAD+（∠DAC+∠ACE）=∠BAD+60°，∠ADC=∠B+∠BAD=∠BAD+60°，
所以∠FDC=∠FGC.
在△CFD和△CFG中，
所以△CFD≌△CFG（AAS）.
所以CD=CG，
所以AC=AE+CD.
证法二：补短法
图3中，延长AB到G点，使AG=AC，连接FG，只需证明△FEG≌△FDC，即EG=DC.
在△AFG和△AFC中，
所以△AFG≌△AFC（SAS）.
所以∠G=∠ACF，FG=FC.
又因为∠B=60°，
所以∠GEF=∠FDC.
在△GEF和△CDF中，
所以△GEF≌△CDF（AAS）.
所以EG=DC.
所以AE+CD=AC.
总结：截长补短是辅助线重要的作法，其中必定出现全等三角形，但要注意条件的结合，有时候两种方法只能用其一.
二、平行线法
例2 如图4，已知△ABC中，AB=AC，D为AC延长线上一点，E为AB上一点，且BE=CD，连接DE交BC于点F.
求证：DF=EF.
分析：证明两条线段相等，首要考虑全等三角形.考虑DF和EF所在的三角形出现全等，且DF和EF是对应边即可.
证法一：如图5，作辅助线EM//AC交BC于点M.
因为AB=AC，
所以∠B=∠ACB.
因为EM//AC，EB=CD，
所以∠EMB=∠ACB，EM=CD，所以∠EMF=∠DCF.
在△EMF和△DCF中，
所以△EMF≌△DCF（AAS）.
所以EF=FD.
证法二：如图6，作辅助线DM//AB，交BC的延长线于M，只需证明△EBF≌△DMF.
证法与证法一相同，以下略.
证法三：如图7，作EM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，只需证明△EFM≌△DFN即可，证明过程略.
总结：证明线段相等时，观察线段所在的三角形全等，或者满足两组条件对应相等，这时只需再构造出第三组条件相等即可，但要注意辅助线的说明要适当.
三、倍长中线法如果题目条件有中点，可延长中线一倍，构造出全等三角形，从而将条件和结论结合在一起.
例3 如图8，已知在△ABC中，D为BC的中点，E为BD的中点，且AB=BD.
求证：AC=2AE.
分析：结论特点：一条线段=另一条线段的2倍.题目中有中点，可考虑倍长中线法.
证法一：如图9，延长AE至点F，使得AE=EF，连接BF，
显而易见，△BEF≌△DEA（SAS），所以BF=AD，∠ADE=∠FBE，所以BF//AD.
又因为AB=BD，BD=DC，
所以∠BAD=∠BDA，AB=DC.
又因为∠BAD+∠ABF=180°，∠ADC+∠ADB=180°，
所以∠ABF=∠ADC.
在△FBA和△ADC中，
所以△FBA≌△ADC（SAS）.
所以AC=AF=2AE.
证法二：作辅助线延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF.
以下证明方法与证法一相同，过程略.
总结：中点是几何证明题中重要的条件，往往和全等三角形密不可分，倍长中线法的用处非常常见，一定要认真去掌握.
以上是常见的构造全等三角形的三种情况，应用环境非常经典，我们要注意每种方法所应用的条件，同时也要注意辅助线的说法，往往说法不同，结果相差甚远.
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