《螺线》的教学设计和反思，本文主要内容关键词为：螺线论文,教学设计论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
新一轮的课程改革正在启动，新课程倡导教师在教学中要挖掘和开发各种有效的课程资源，促进学生的知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的和谐发展.笔者根据新课标精神，设计和实践了《螺线》（数列的应用（高三））一节课，与同行切磋和探讨.
【教学实录】
一、创设情境，实例激趣
展示生活实际中的螺线图案，如气象中的云图（图1）、海螺、花朵中的螺线图案、建筑中的螺线图、艺术设计中的螺线图案（图2），唤起学生的好奇心，数学是如何研究螺线问题的呢？
二、动画演示，开题研究
首先研究正n边形展开的渐开线所形成的螺线，用优美，简练的数学图形开始本节课的求知、探索之旅.
演示探索：用《几何画板》动画演示螺线的形成过程（说出螺线的形成规律，着眼于培养学生在动画的情境下的数学观察能力）.
T：我们通过展开过程中的几个特殊的片断，来研究这个图形的数学特征，请同学们说出它们的形成规律.
S：通过观察知渐开线所形成的螺线是由半径为1、2、3、4、…、n的四分之一圆弧形成的螺线图案，并且圆心是逆时针以正方形的各个顶点为圆心.
T：能求出第n次展开后所得螺线总长吗？
S：它们可以看作是等差数列的求和问题，事实上，a[，1]=1/4·2π·1=π/2，一般地，a[，n]=1/4·2π·n=π/2·n，∴a[，n+1]-a[，n]=π/2，即｛a[，n]｝为等差数列，故展开第n次后得到的螺线总长度为s=（π/2+（π/2·n））n/2=（n+1）nπ/4.
T：很好，这里解题的关键是找出图形的构成特征，并转化为等差数列的数学模型，那么我们如果将这里的正方形变为正三角形，它画出的是否还是光滑的螺线呢？
学生一阵议论，普遍认为可以.让计算机模拟演示看看大家的直觉是否准确（如图4）.
大家能否说出它与上一个由正方形形成的螺线的异同点吗？
S：相同点是它们的圆心都是在顶点处，且按逆时针作图，半径形成等差数列，不同的地方是转的角度不同，正方形时每次转90°，正三角形时是转120°.
T：对，如果是通过正n边形来画螺线，那么每次要转过多少度呢？
S：2π/n.
T：我们看看其他正n边形画出的螺线图，如图5.
（这些图形的转换通过《几何画板》片刻间就可以实现，学生看了啧啧称奇，计算机让数学活了起来.）
S：老师我有一个问题，上述的圆的半径成等差数列，如果是成等比数列，是否还能画出光滑的螺线呢？
T：这个问题提得好（笔者事先未曾考虑过这个问题，因此也没有相关的课件，学生的问题既出乎意料之外，又在情理之中），那大家一起来考虑这个问题.
S：不能，因为这时半径的变化是一个突变 （上台画图，如图6（1））.
T：那看来这时不能画出光滑的螺线图形了.
（一阵沉静，学生进入疑惑和思索的状态.）
S：可以改变图形的构成方式，如图6（2）.
这时如果以半径形成的数列为1，2，4，8，…为例，1，2时是光滑的螺线，以4为半径的圆心只要在第3边的反向延长线上退一个单位作圆心即可，其余同理照退即可.
（学生鼓掌给予鼓励.）
T：有创意，
三、推波助澜，深入探讨
T：上面我们研究了正多边形形成的螺线，当然我们自然也会考虑由矩形形成的螺线问题，下面我们来观察矩形形成的螺线（用《几何画板》演示，如图7）.
观察得到短、长边之比为0.618时，这些圆弧线所形成的螺线的图案最美，人们将其称为黄金螺线（不妨设a=1，b=
）.
T：我们下面来求展开第n次后螺线的长.
S[，1]：设第一个正方形的边长为x[，1]=a=1，第n个正方形的边长为x[，n]（即第n个圆弧的半径），则由黄金螺线的定义知，x[，n]/（x[，n]+x[，n+1]）=，解得x[，n+1]/x[，n]=∈（0，1）.
∴｛x[，n]｝组成以x[，1]=a为首项，公比为q=的无穷递缩等比数列，四分之一圆弧组成的数列｛l[，n]｝是以l[，1]=2πx[，1]·1/4=πx[，1]/2为首项，公比为q=的无穷递缩等比数列，故所求黄金螺线的长度和为
S[，2]：根据定义这些正方形都是相似形，因此由相似形的对应线段成比例知，前后相邻两个四分之一圆弧长的比等于对应正方形的边长之比，即l[，n+1]/l[，n]=x[，n+1]/x[，n]=以下同上，……
T：很好，甲同学的解法是一种通性通法，乙同学根据平几的知识，简洁明了.
从此例可以看到黄金分割美不仅体现在数学中，也体现在自然界中.
四、开放探索，合作发现
T：最后，再来研究一个有趣的图形.
观察图形（图8（1））是否看出螺线图形？
S：没有螺线，
T：用电脑演示移动变化以后的图形（图8（2）），有没有螺线图形呀？
S：（一阵议论）不是很清晰.
T：再变化一些，我们用连贯的动画来体现这个过程，结果如图8（3）.
S：（满堂惊喜）漂亮.
T：请同学们说出图形中的螺线现象有哪些.
（学生热烈讨论起来.）
S[，1]：由嵌套的各个正方形的顶点组成了螺线图形.
T：由正方形顶点组成的螺线也是著名的螺线，即等角螺线.还有吗？
S[，2]：由嵌套的各个正方形的各边组成了螺线图形.如图9（教师用鼠标在《几何画板》的屏幕上凸现相应的线段配合学生的讲解）.
S[，3]：由一系列直角三角形的一边组成了螺线图形，如图10（教师用鼠标在《几何画板》的屏幕上上配合学生的讲解）.
图10
T：除了按上述规律形成的螺线图形外，还有吗？
S：（热烈的场面顿时安静下来）……
T：大家刚才看到了点组成的螺线、线组成的螺线，那么有没有是由面组成的螺线呀（适时点拨）？
S：有了，如果把相邻的三角形的颜色涂成同一色，也可以构成一个螺线图案（如图11，教师演示出结果图）.
图11
（学生脱口而出：很酷呀，笑.）
T：我们来求一下最后这个螺线形图形的阴影面积（师生互动，完善认知）.
不妨设正方形的边长为1，∠BEF=15°.
（安排学生讨论，演算，教师巡视指导.）
我们展示一个同学的演示结果（用实物投影器展示）.
设Tn表示螺线图形中第n个三角形面积，x[，n]表示第n个正方形的边长，易解得T[，1]=1/12.
注意到每一个三角形的面积为
∴T[，n]组成以1/12为首项，公比为2/3的无穷递缩等比数列.故图中形成螺线的所有三角形的面积之和为
S：有更简洁的解法，其实正方形中的四个阴影螺线图形覆盖了正方形，显然每块的阴影螺线的面积相等，故阴影螺线的面积是1/4.
（同学们露出赞赏的笑容）
T：妙极了，利用图形的对称性，抓住了问题的特点，轻松解题.
五、感悟数学，鉴赏数学
T：上面我们借助计算机的辅助作用，从动态图形、数据观察、开发情境中研究了一类直线螺线问题，下面我们轻松一下，观看一段由flash制作的片子《数学·螺线》，通过声像并茂、动画生动的视听效果，直观地展示了自然界、人体、数学、艺术创作中的螺线现象，其间穿插着数学家的名人名言、名人肖像等，了解数学（螺线）的科学价值、应用价值和文化价值.
六、学会应用，学会创造
T：（播放完毕）今天我们利用数列的有关知识解决了直线螺线的有关问题，我想大家心中一定都有自己所钟情的最美丽的螺线，下面请同学们画出你们心中具有数学特性，美观大方的螺线图形（让部分学生在黑板上画出自己创作的螺线图形，如图12）.
图12
T：今天由于时间关系，许多问题我们还意犹未尽.今天的作业就请大家画一个你最满意的螺线图形，并给出它的数学性质和解答.