中国与新加坡高中数学教材复数内容比较研究，本文主要内容关键词为：复数论文,新加坡论文,中国论文,高中数学论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
新课程改革之后，复数内容受到了较多的淡化处理.然而，从国际上来看，很多国家都非常重视学生对复数内容的学习，如英国、俄罗斯、法国都有较多的复数内容.[1-3]通过对不同国家数学教材内容的比较，可以考察学生在数学学习经历上的差异，以及这种差异对学生数学学习产生的影响.[4]中国和新加坡同属东亚地区，都受儒家思想的影响，其文化背景有一定的相似程度.自2006年起，新加坡启用新的高中A-水平测试课程标准.数学这一科目的测试分为H1、H2和H3三个层次，其中H2等同于之前旧的新加坡A-水平测试，旨在发展学生的数学思考能力和问题解决能力；H1在课程时间和学习内容上仅为H2的一半，但深度不减；H3是对H2的拓广，为那些有数学天赋并对数学怀有热情的学生追求更高、更深层次的研究提供机会.[5]本文选取复数内容，对新加坡EPB Pan Pacific出版的《H2 Mathematics》（Volumel）[6]（以下简记为《新数学》）和我国人教社高中数学教材《数学》（选修2-2）[7]（以下简记为《中数学》）进行比较研究，以期对我国的复数内容改革有所启示. 一、内容结构比较 两国教材中复数内容的章节目录见下页表1所示.从中可以看出： 第一，从章标题来看，两国教材对复数的侧重点有所不同.《中数学》中复数内容对应章标题为“数系的扩充与复数的引入”，侧重于数系的发展，学习复数的一些基本知识.《新数学》对应章标题为“复数”，侧重于复数知识的完整性和系统性. 第二，从教学内容安排来看，《新数学》中复数内容更加丰富.据统计，复数内容的对应篇幅数，《中数学》17页，《新数学》47页；复数知识点数，《中数学》14个，《新数学》40个.可见，《新数学》内容多且分布广，其中复数的极坐标形式、指数形式、幅角、棣莫弗定理、阿甘特图中的轨迹等，都是我国教材没有涉及的.相比之下，我国教材复数内容较少，偏向于基础性知识和基本技能. 二、呈现方式比较 （一）总体结构呈现方式比较 《中数学》复数内容总体结构的呈现方式是：章首导航→各节知识内容→阅读与思考→小结→复习参考题，其中每小节的知识呈现按“思考（探究）→知识讲解→例题教学→练习→习题”的方式展开.新知识的呈现均以思考或探究引出，主要采用设问的形式，例如“复数集C和实数集R之间有什么关系？”，这样的问题每节都设有，主要用于内容之间的衔接，其中有的是对之前学习内容的回顾，有的则引出要学习的内容，这符合新课程倡导的启发式、探究式教学.
《新数学》的知识呈现结构略有不同，整体结构的呈现方式是：章首导航→各节知识内容→混合练习题组→答案.各节知识的呈现形式不一，但大多以开门见山的形式给出，基本呈现方式为：概念、性质或公式→举例→解答.其中在例题之后有注记、导引和问题等提示内容，相当于解题之后的反思. 相比较而言，《中数学》章末有小结，由本章知识结构和回顾与思考两部分构成.小结从内容知识的整体结构出发，有利于学生对所学知识的复习和整体把握.《新数学》没有章末总结，仅在习题之后附上习题解答. 从复数知识总体呈现模式来看，《中数学》按“概念→几何意义→运算”的顺序编排；《新数学》主要按照“代数概念→代数运算→几何概念→几何运算→几何应用”的顺序编排.可以发现，两种教材在运算和几何意义的呈现上顺序是相反的， 而且我国教材缺少复数应用部分的内容. （二）相同内容呈现方式比较 1.复数的概念
2.复数的运算 关于复数的运算，《中数学》定义了复数加法和乘法法则，类比于实数集中减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算，推导了复数减法和除法的运算法则.《新数学》直接给出了复数加法、减法和乘法的运算，但没有除法的运算.可见，我国教材更重视复数的运算，并运用了类比的思想方法.相对而言，新加坡教材简化处理了复数的运算，这可能与其采用图形计算器进行运算有关. 3.复数的几何意义 《中数学》对复数几何意义的呈现较为简单，首先通过直角坐标系得出复平面，指出复数和复平面上的点以及平面向量构成一一对应关系，之后介绍了复数加、减法的几何意义.《新数学》在第一单元复数概念的教学时，指出复数能用阿甘特图（复平面）上的点表示；第二单元引入kz（k∈R，z∈C）的几何解释，在复平面上进行四则运算，以及复数的模、幅角、棣莫弗定理等.比较发现，我国教材虽然强调了复数的向量表示，但仅限于加法和减法的运算，而新加坡教材则围绕阿甘特图（复平面）进行教学，应用较为广泛. 4.共轭复数 《中数学》在复数乘法的例题中，要求计算（3+4i）（3-4i）的值，之后指出两个复数3+4i、3-4i称为共轭复数，并给出共轭复数的定义，并用“
”表示.《新数学》在建立复数概念的时候，提出共轭对概念，在复数四则运算之后专设共轭复数一节，给出任意一个复数z=x+yi的共轭复数是
，随后计算了两个共轭复数相乘、相加和相减的结论，并运用于解决实系数一元多次方程问题.可见，《新数学》对共轭复数概念非常重视，以螺旋上升式呈现，强调其性质和应用.《中数学》仅引入共轭复数，其出现在除法之前，这样的安排带有指向性，是为复数除法“实数化因式”服务的. 三、题目设置比较 （一）题目数量比较 《中数学》复数内容的题目共有4类：例题、练习、习题和复习参考题.其中习题和复习参考题按难度分为A、B两组，B组的难度大于A组.《新数学》复数内容的题目共有3类：例题、练习、混合练习题.实质上，《新数学》在每个小节之后没有练习题，而是在每个单元结束后设置练习题，等同于我国教材中的单元习题，其目的是对所学知识的及时巩固和简单应用.《新数学》中的混合练习题相当于我国教材中的复习参考题，涵盖本章所有知识点的内容，是对本章知识的总结和复习.两国复数内容部分题目数量比较见表2所示，括号中的数据表示该部分题目在总题目中所占的比例.
从表2可以看出，《中数学》例题和复习题在总题目中所占的比例，低于《新数学》，而练习题、习题的比例则高于《新数学》.可见，《新数学》更重视示范教学，这可能与《新数学》内容的难度有关，也与新加坡一贯倡导的问题解决有联系；《中数学》在每节后有练习题，每单元后有习题，二者合起来数量多于《新数学》中的练习题，反映出《中数学》更强调课后的巩固学习，这可能与中国长期的双基教学有关系；《中数学》中复习题相对简单，内容单一，而《新数学》中的题目有一定难度，涉及知识较广，这说明《新数学》与其他数学知识的联系较为紧密，应用更为广泛. （二）《新数学》典型题目举例
解：利用图形计算器计算得到
z-i=2i+1
z=1+3i 使用图形计算器检验
上述例1采用了观察法，突出了图形计算器的使用，例2与初中学习的正方形、旋转等知识产生联系，体现了数形结合的思想.从题目设置上来看，《新数学》更注重知识的综合应用，大多同时考查几个知识点，且与其他章节知识之间也有联系，这样的设置体现出复数在其他学科领域中的应用，有意识地加强了初高中数学教科书之间的衔接. 四、信息技术使用比较 《新数学》在复数单元开始时，就用了近一页的篇幅介绍TI图形计算器（TI-83或TI-84）的使用.《新数学》复数内容共有10处使用信息技术，大多用于例题中.在每一处，都伴有具体操作步骤.使用信息技术的内容包括：复数的计算、多项式方程验根、例题结果检验、求复数的幅角等.《中数学》中仅有2处提到信息技术，一处是在习题中，让有条件的学校，在复数集中使用信息技术手段对实系数多项式进行因式分解；另一处是在阅读与思考中，借助计算器或计算机对代数基本定理进行探究.其实，两处都是针对同一内容而言，并且都没有介绍如何使用计算器或计算机.比较发现，新加坡教材在很多地方都使用了信息技术，而我国教材中的信息技术形同虚设，教师在教学中也不够重视. 五、对我国教材建设的启示 （一）完善复数知识结构，优化教材的选择性 新课程改革，强调了复数的向量表示，对学生的学习起到了积极作用，但对内容删减过多，学生获得的复数知识是零碎的，知识结构是不完整的.我国大学的复变函数教材，从新知识的角度引入复数及其相关概念，并花一定篇幅进行复数代数形式的四则运算.如果学生在高中阶段有比较丰富的复数内容知识，将会为复变函数的学习打下良好的基础.我国高中数学教材应该适当补充一些复数知识，有利于大学数学的学习.同时，考虑到有志于出国留学的学生，也能够较好地与国际接轨. 复数除了在数学中有广泛的应用外，与物理等学科也有着密切的联系.因此，加强复数内容的学习是有重要意义的.复数的教学，应该像微积分那样，既为大学的学习作好铺垫，又让学生看到实际的应用，而不仅仅只是一些抽象符号的加、减、乘、除运算.同时又考虑到将来不学习复数的学生需求，不增加太多的负担，又能取得较好的教学效果.这样就需要做好复数内容的取舍，增加教材的选择性. （二）加强复数和其他知识的联系，设置应用性题目 《中数学》例题及习题紧扣本节知识内容，强调对知识点的反复练习和强化，较少与其他章节内容产生联系，这种机械性的训练能达到熟能生巧，但不利于学生对知识的融会贯通.学生对数学的理解只是零星的概念、定理和习题，在数学知识的再现和问题解决过程中就容易产生断裂现象，导致分析问题、解决问题能力不强.《新数学》采用螺旋上升的方式，循序渐进，注重知识网络的构建，做好初、高中数学教科书之间的衔接，习题设置丰富多彩，强调复数的应用.复数这部分知识本来与向量、平面解析几何、三角函数等有着密切的联系，我国教材仅简单交代了复数与向量的关系，弱化了与其他知识的联系，习题设置机械性题目居多，缺少复数的应用.复数是实数系的扩充，能解决实数系解决不了的问题，但教材只说明了复数的引入及四则运算，并没有真正用于解决实际问题.我国教材应对各学科领域的内容进行有效的渗透与融合，在习题中融入复数的应用，强化变式训练，促进学生从不同角度理解知识，增强知识运用的灵活性，并建构起结构合理的知识网络. （三）重视现代信息技术的合理使用，提高学习效率 现代信息技术尤其是计算机和计算器给数学教学带来了多方面的影响，不少国家把它作为一种认知工具融入数学教材.根据学习内容的需要，可以选择恰当的信息技术工具，发挥其运算作图、展示过程、探究规律、理解本质等方面的功能，在帮助学生理解数学本质、研究数学、探究数学中发挥应有的作用.《新数学》使用TI图形计算器代替了一些繁琐的计算，减少了解决问题过程中的机械、重复性劳动，提高了教学效率.我国教材中复数的计算没有使用计算器，仅有的2处信息技术使用，却缺乏具体的指导，无可操作性.我国教材需要针对使用的软件或计算器做介绍，并辅以例题示范，淡化机械计算，提高学生的学习效率.
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