高中数学教材的“二次开发”_数学论文

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高中数学教材的“二次开发”指的是在不改变原有教材框架，以原有教材内容为开发素材，对教材进行补充、拓展、开发，为教师的授课提供有益的、切合学生学情的案例选择，其最终目的是让教材更有利于学生对知识的理解和思维的发展.

限于教材的篇幅，编者对问题的设计意图无法完全暴露，授课教师也会因为自身水平的限制而不能完全领会编者的设计意图，这就需要高中数学教师发挥集体的智慧对教材进行“二次开发”，以便授课教师能够尽可能领会编者的设计意图，同时授课教师也可以根据所开发出来的教材寻找更有利于学生学习的教学内容.教材的“二次开发”不仅可以针对教材中的某个知识点进行开发也可以针对教材的某个例题、习题、某一专题甚至是某个章节进行二次开发.只要是有利于学生学习兴趣的提升、教材内容的理解、思维能力的发展而教材未能很好体现的内容都具有进行“二次开发”的价值.

高中数学教材的“二次开发”大致可从以下四个方面进行.

一、知识的建构

教材中定义、概念的形成在表述、论证上往往比较严谨，具有很强的逻辑性与科学性，但其抽象性也是显而易见的，这样的一个表征使得学生在知识建构的过程中遇到阻碍，学生学习数学的兴趣、态度也可能随之改变.如果我们能对教材中知识建构的过程进行重构有效地开发，使得知识的形成过程更具有吸引力，这将更有利于学生的后续学习.

案例1：人教版高中数学必修4“同角三角函数的基本关系”.

在本节教材中同角三角函数的基本关系式的获得，教材是这样表述的：“问题：三角函数是以单位圆上的坐标来定义，你能从圆的几何性质出发讨论一下同一角不同的三角函数间的关系吗？”

【点评】教材通过“承上启下”的原则让学生观察获得这样一个三角关系式，做到了用已知来启发新知，具有很强的逻辑性与科学性，但从本地区大部分教师的授课情况分析，效果并不理想.主要原因是学生对单位圆中的三角函数线感觉“抽象”，还有大部分教师对“单位圆中的三角函数线”这部分内容重视不够.所以用这样的方法建构知识学生内化效果不明显，显然它太“严肃”了.要让知识建构在一个生动、活泼的时间与空间中，数学教师就有必要下苦功去做一番开发与研究.

根据这个案例，设置开发材料.

（1）介绍理论界闻名的“蝴蝶效应”，即气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：“南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.”蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索，从中我们还可以看得出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看似是毫不相干的两种事物，却有着千丝万缕的联系，进而引入事物之间存在普遍联系，让学生取得“同一个角的三个三角函数值也有可能存在某种联系”的强烈信息，从而引导学生在获得研究数学问题的基本原则（从特殊到一般）的基础上主动探究课题，获得结论并进行推广与证明.

【点评】这样的一种引导比较符合学生的思维发展的规律，亲切而自然，通过开展一系列有意义的数学活动使得知识的建构变得轻而易举.

（2）通过“重金悬赏：α为任意角，你能否找出一个角α使得”的方式引入，而后引导学生用特殊值进行验证，最后用几何画板显示验证过程获得结论，并证明结论的可靠性.

【点评】本案例以一个比较活泼的形式将学生引入探究活动中，自然而然地感知结论，并用几何画板来验证成果，学生的内化效果较好，但科学性略显不足，其导入问题的设置方案不能“推而广之”.

二、知识的补充

教材通过设计例、习题来体现对定义、概念的理解和对所学知识的应用，而篇幅的有限性又制约其表达的完整，所以我们就有必要对教材所给的例、习题实施价值评估并对其中价值高的部分例、习题进行二次开发.在这里笔者把这类问题的开发定义为“定向开发”与“非定向开发”两大类.

1.“定向开发”：前提是条件不变，指向（目标）明确.这类问题的开发大多集中在“路径”上，体现为“一题多解”或是用“不同的观点”理解和解决数学问题.这种开发有益于学生思维“广阔性”的培养与锻炼.

案例2：人教版高中数学选修4-5“不等式选讲”习题3.1第6题：已知x+2y=1，求的最小值.

分析：这道习题解法丰富，体现出诸多数学思想，是有“内涵”的教材资源，二次开发的价值高.我们可以用以下几种“路径”实现对本案例的“二次开发”.

根据这个案例，设置开发材料如下：

（1）利用二次函数求其最值；

（2）利用导数的方法求最值；

（3）利用函数凹凸性求最值；

（4）利用线性规划方法求最值；

（5）利用柯西不等式求最值；

（6）利用向量求其模的最值；

（7）转化为求单位圆半径的最小值；

（8）转化为求点到直线的最短距离.

案例3：人教版高中数学选修1-1第一章知识点“命题否定”.

学生对这一知识点的理解有困难，特别是对于一些“关键词”否定的领会更是“云遮雾绕”.因此教师有必要对这一知识点做专题开发.

根据这个案例，开发专题材料：

用“补集”的观点理解“命题的否定”.

范例：用“补集”的观点对含有“或”、“且”的复合命题否定的理解.

“P或Q”的否定是“非P且非Q”，而不是“非P或非Q”.

“P且Q”的否定是“非P或非Q”，而不是“非P且非Q”.

问题1：写出下列命题的否定：X=1或Y=2.

分析：把X与1，Y与2的全部关系对应为全集即全集包含以下四种关系：①X=1且Y=2；②X=1且Y≠2；③X≠1且Y=2；④X≠1且Y≠2.原命题所对应的是全集中的第①②③种关系，因此它的否定对应为第④种关系.所以原命题的否定为：X≠1且Y≠2.

问题2：写出下列命题的否定：X=1且Y=2.

原命题所对应的是全集中的第④种关系，因此它的否定对应为集合中的第①②③种.所以原命题的否定为：X≠1或Y≠2.

同样的，我们可用“补集”的观点对以下几个关键词的否定作类比开发，如：

“都”的否定是“不都”而非“都不”；

“全”的否定是“不全”而非“全不”.

“至少有一个”的否定是“没有一个或一个也没有”；

“至多有一个”的否定是“至少有两个”.

“任意”的否定词是“存在”；

“存在”的否定词是“任意”.

2.“非定向开发”：是在不脱离目标或是在目标的牵引下，对教材在解决问题的过程中出现的一些与所学知识密切相关的或学生在学习教材过程中出现的疑难知识进行补充、开发，使得学生对教材的理解更加容易.“非定向开发”的“目标”发现虽然具有一定的偶然性但是我们对目标的开发却有很强的目的性.其宗旨就是要让学生通过所开发的教材更充分地理解原教材、感知编者的设计意图，内化知识.这种开发有益于学生思维“深刻性”与“批判性”的培养与锻炼.

案例4：人教版高中数学必修2“直线与圆的位置关系”.

所以可得到弦心距为

即圆心到直线的距离为

因为已知直线l过点M（-3，-3），

所以可设所求直线l的方程为y+3=k（x+3）.

即kx-y+3k-3=0，

根据点到直线的距离公式，得圆心到直线l的距离

质疑：模式化的解题思路是先对直线过M点且斜率不存在这种特殊情况进行探讨，而后再对斜率存在的情况进行解答，而教材省略了对直线过M点且斜率不存在这种特殊情况的探讨，教材为什么没有按常规方案解决问题呢？对于缠绕在学生头脑中的这样一个疑问，教师此时就有必要对教材做适当的补充开发以便学生能够更好地理解教材.

根据这个案例，设置开发材料：

已知直线l过圆外一点M且它到圆心的距离为d.请根据对距离d范围的讨论作图示意说明满足条件的直线有几条？（动手探究.）

本案例的开发让学生在动手探究的过程中理解教材解答中为什么不必对过点M且直线斜率不存在这种特殊情况进行表述的原因，理解“解题的秩序”是提高学生学习效率的有效途径.本案例所开发出来的材料成了学生理解知识的必要补充.

三、知识的拓展

知识的拓展指的是知识的类比、迁移、延伸等，是学生思维向纵深发展的重要阶段.教材中例、习题选编问题的典型性，问题设置的探索性都为知识的拓展、延伸提供了重要的教学资源，同时也为二次开发留下很大的空间，这就需要教师有选择地完成教材中某些知识的再开发，为学生的拓展性学习提供示范，帮助学生用内心体验与创造来学习数学.这种开发有利于学生的思维“创造性”的培养与锻炼.

案例5：人教版高中数学必修4“平面向量共线的坐标表示”.

深入挖掘，发现此道例题蕴含着丰富的数学思想，有着多样的解题方法，通过对教材进行二次开发使得原有教材的价值最大化.同时也是培养学生善于观察、勇于探索这种良好习惯的一个好例题，它为学生“创造性”思维的培养提供了一个有效的教材资源.

根据这个案例，设置开发材料：

观察线段的中点以及两个三等分点的横纵坐标，你能写出三个四等分点的坐标吗？四个五等分点的坐标是什么？n等分点的坐标又如何表示？能否用所学的方法推理论证获得结论？

四、知识的提炼

知识的提炼：英国物理化学家、哲学家波兰尼在1959年提出，人类的知识有两种：“显性知识”和“隐性知识”.显性知识是指用“书面文字、图表和数学公式表述了的知识”，即是显性的、明确的、言明的知识，也称为“明确知识”.隐性知识，是指尚未被言语或者其他形式表述的知识.即是尚未言明的、难以言传的、尚处于“缄默”状态的知识.高中数学教材二次开发的又一任务就是要让教材中隐性的数学知识以及解决数学问题的数学经验、数学思维显性化.这样就能减轻教师的教和学生的学的负担，让所开发的教材更好地服务教学工作.数学知识的提炼包括图象、性质、概念等共性知识的提炼，也包括解题方法、步骤、数学思维的提炼等.

案例6：人教版高中数学选修1-1“函数的极值与导数”.

题目（教材例4）求函数的极值.

教材利用导数分析得到y=f（x）的图象，进而求出函数的极值.

根据这个案例，设置开发材料：

分析案例，你能归纳、概括出一元三次函数（其导函数有两个不同的零点）的图象类型，并作图示意吗？

【点评】这个开发材料，有效地引导学生通过例题提炼出一元三次函数（其导函数有两个不同的零点）的两种图象情况：（1）图象从左往右先有极大值再有极小值；（2）图象从左往右先有极小值再有极大值.这样学生对一元三次函数的图象就有了一个明确的认识，利用图象解决相关的数学问题也就容易得多了.如解决三次函数图象与x轴有一个交点、两个交点、三个交点的问题.

案例7：人教版高中数学必修5“等差数列的前n项和”.