数学反例的特征与功能，本文主要内容关键词为：特征论文,数学论文,功能论文,反例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学中的反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。在数学中，要证明一个命题成立，必须严格地论证在给定条件下能逻辑地推导出结论，而要证明一个命题错误，十分简洁而又极具说服力的办法就是举出反例。反例与证明同样重要，证明是用已知为真的判断确定另一个判断的真实性，反例则是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性，它们是一个问题的两个侧面，是相反相成的两种逻辑方法，都是为了揭示问题的本质与内在联系，正如数学家B·R·盖尔鲍姆、J·M·H ·奥姆斯特德所指出的：“数学由两大类——证明与反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例”。著名数学哲学家拉卡托斯所提倡的数学发现的逻辑，其实质就是证明与反驳的方法，精髓所在是批判的方法，而这一方法则是波利亚的数学发现法与波普尔的批判哲学的有机结合。
数学反例根据命题的构成可分为以下几种主要类型：
1.简单命题的反例
数学命题有四种基本形式：全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断、特称否定判断，则全称肯定判断（所有S是P）与特称否定判断（有S不是P）可以互为反例，全称否定判断（所有S都不是P）与特称肯定判断（有S是P）也可以互为反例。
3.条件变化的反例
数学命题的条件变化（增加、减少或更换）时导致命题为假的反例就是条件变化的反例。
数学反例作为一种重要的思维方式，具有以下特征：
1.证伪性：数学反例是从反方向论证命题的，以达到证伪的目的，因而数学反例的实质就是证伪。
2.简洁性：数学反例与正面论证相比，具有特殊的威力，因为反例简洁而又极具说服力，给人以四两拨千斤、事半功倍的感觉。
3.创新性：数学反例的举证，需要扎实的数学功底和丰富的想象做支撑，常给人奇异的美感，而一旦找到反例，则会云开雾散，对问题的认识进入一个新的境界。正如盖尔鲍姆所说：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧”。
数学反例在数学研究及数学教学中具有重要的地位和独特的作用，其主要功能有：
1.推进数学发展的基本动力
数学史上，恰当的反例可以发现数学中原有理论的局限与不足，通过否定某个重要的理论或猜想，直接促进数学新概念、新定理、新理论的形成与发展，这样的例子不胜枚举。
最轰动、最巨大的反例当属俄国数学家罗巴切夫斯基的非欧几何了。它推翻了持续一千多年的“欧氏几何等五公设可以证明”的猜想从而将几何的研究领域拓展到非欧空间。
2.强化数学概念的有效手段
数学概念总采用正面阐述的形式，因而往往对揭示其本质属性的关键词语认识不足、理解不全。一个正确的认识需要经过正反两方面的比较和鉴别才能确立，教育心理学家也认为：“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于避别的信息。“可见，恰当的反例会起到正面强调所无法发挥的强化作用，使概念理解得更加确切和清晰。
