华南农业大学 广东 广州 510642
摘要本文基于三层防护服背景及热传导过程，对三层防护服的隔热能力及相关因素进行了探讨。运用热传导理论，解得不同织物材料的温度分布，建立专用服装热传导模型，再针对题目中的条件，进一步得出隔热层的最优厚度设计。
针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——一维非稳态导热微分求解模型。首先， 假设模型为多介质热传导圆柱体，而各层温度会随着时间变化而变化，运用一维非齐次热传导方程的特点，得到热传导偏微分方程；其次，对建立的偏微分方程输入不同的参数值进行求解，得到各织物材料的温度分布函数和曲线；最终通过不同织物的所处层数和位置确定最终人皮肤外侧的温度分布。
针对问题二，本文建立了模型Ⅱ——二分法逼近求解最优厚度模型。在问题二的前提要求下，本文的解题思路是用数学思想中的二分法逐步逼近。首先结合题目给出Ⅱ层厚度区间[0.6,25]，利用二分法进行取值，结合假体外侧的温度分布函数，通过 MATLAB 编程，导出第Ⅱ层厚度、时间、温度三者数据关系。观察结果，若不符合假人皮肤外侧温度条件——不超过 47℃或者超过 44℃不超过 5 分钟，那么要用二分法重新取值，不断逼近，直到找到最优解。
针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——蒙特卡洛目标规划最优模型。问题三在问题二的基础上，多了一个变量的优化问题，此时应考虑两个变量的组合最优解, 这是典型的规划问题，可使用蒙特卡洛算法求解。由题目提供的数据可知Ⅱ层厚度区间为[0.6,25]；Ⅳ层厚度区间为[0.6,6.4]；可建立双变量组合优化模型。结合人皮肤外侧温度分布规律，题目要求可化简为：30 分钟时，温度值? 47℃； 25 分钟时，温度值? 44℃；可建立不等式方程求最优解。
本文最大的亮点在于将防晒服的三层材质整体看成一个具有不同导热性能的圆柱壁，使问题得到简化，从而得到一维非稳态导热模型；再运用二分法逼近思想和组合多目标规划最优模型，对高温专用服装厚度参数进行调控，降低生产成本，此模型具有普适性。
关键词： 一维非稳态热传导二分法目标规划蒙特卡洛算法
一、问题重述
1.1情况说明
在消防及金属炼钢等行业中，工作人员常处于高温高辐射的环境，由此， 高温作业专用服装的设计和生产是十分必要的。目前，关于热防护服传递模型的研究已成为了热点问题。当前高温专用服装通常由三层织物材料构成，三层材料不同厚度以及总体时间对影响服装的防热性能。
为了降低研发成本、缩短研发周期，利用数学模型来确定各层材料的热传导方程以及假人皮肤外侧的温度变化情况十分具有实用价值。
1.2需解决的问题
（1）对环境温度为 75oC、II 层厚度为 6 mm、IV 层厚度为 5 mm、工作时间为 90 分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度。建立数学模型， 计算温度分布，并生成温度分布的 Excel 文件（文件名为 problem1.xlsx）。
(2)当环境温度为 65oC、IV 层的厚度为 5.5 mm 时，确定 II 层的最优厚度， 确保工作 60 分钟时，假人皮肤外侧温度不超过 47oC，且超过 44oC 的时间不超过 5 分钟。
(3)当环境温度为 80℃时，确定 II 层和 IV 层的最优厚度，确保工作 30 分钟时，假人皮肤外侧温度不超过 47oC，且超过 44oC 的时间不超过 5 分钟。
二、问题的分析
2.1问题一的分析
在此问题中，我们需要将织物材料看成是各向同性物质，并将模型用具有不同不同导热性能的多层圆柱体进行类比，由内到外依次为假人体、IV 层、III 层、II 层、I 层，由此将热传导过程理解为一维传导；在参略相关热传导问题后，且由于各层温度会随着时间变化而变化，本文结合一维非齐次热传导特点，运用热传导公式及偏微分方程，通过数学求解及程序运行给出各织物的温度分布函数， 再进一步处理合并得到人皮肤外侧的温度分布。
2.2问题二的分析
问题二要求我们在环境温度为 65℃，确保工作 60 分钟后温度不能超过 47℃ 且超过 44℃又不能超过 5 分钟的条件下，求Ⅱ层最优的厚度。很明显，根据大量相关文献调查，高温作业专用服装设计中的每一层的服装材料对热传导即对温度的变化都有不同的影响，故改变任何一种材料的参数（密度，比热，热导率， 厚度）都会影响假体表面温度随时间的变化，故Ⅱ层材料的厚度取值对温度随时间的变化有着重要的影响，既要满足题目所给的要求又要考虑材料的厚度造成的成本影响，所以取最优的厚度值至关重要。这是典型的单指数最优化求解问题， 根据题目所给的条件，可知Ⅱ层纺织料厚度处于[0.6,25]间，在已知未知量的范围并要求最优解时，可采用二分法逼近思想，多次取值，得出最优解。
2.3问题三的分析
问题三要求我们在环境温度为 80℃，确保工作 30 分钟后温度不能超过 47℃ 且超过 44℃又不能超过 5 分钟的条件下，求Ⅱ层材料及Ⅳ层材料的最优厚度。在问题二分析的基础上，同样可知Ⅱ层材料与Ⅳ层材料的厚度都会改变温度随时间的变化，与其不同的是，该问题多了一个未知变量，与问题二考虑的因素相同， 既要满足题目所给要求又要考虑材料的厚度造成的成本影响，所以取Ⅱ层材料和Ⅳ层材料组合的最优厚度值至关重要，这是双指数最优化求解问题，要求出组合最优解，要使两层材料的厚度之和在满足题目所给的条件尽量小，可构成一个目标函数，故可采用目标规划求最优组合解模型。
三、模型假设
假设 1：模型中双向辐射传热以及热对流对整体计算影响较小，可忽略不计； 假设 2：在热传递过程中，热量沿垂直于皮肤方向进行，故可视为一维传递； 假设 3：高温专用服装的织物材料是各向同性的；
假设 4：各织物层内部的温度分布都是连续变化的； 假设 5：织物与织物层之间精密相连，不存在空隙；
四、模型的符号说明
图 1：四层圆筒的类比模型
由图可得，蓝色为原始数据曲线，红色为拟合的四阶曲线图，我们可以看到其拟合效果很好，拟合出来的方程为：
y ? ?7.2742e?12 x4 ? 3.3060e?8 x3 ? 5.5683e?5 x2 ? o.o418x ? 35.9572
5.1.3模型的求解
（1）一维非齐次热传导模型
先分析没有热源的情况下，物体在无穷小时段?t 内沿 x 方向流过热量dQ 与
?t
物体温度沿距离 dx 方向导数??成正比，从时刻 t1 到 t2 一维方向流入的热量为：
t 2?T
Q ? ? ? k(x) ?x dxdt
1
其中 Q 为流入的热量，k 为材料热传导率，T 为时间的函数。
（2）定解问题
在一维方向上，由偏微分方程、初始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题。且此模型为非齐次性，可得方程组：
图 4：各织物材料随时间变化的温度曲线
5.2问题二的模型建立与求解
5.2.1模型的建立
（1）模型建立的背景
无限逼近思想是一种基本而重要的数学思想，本模型灵活借助逼近思想解题， 可以避开抽象而复杂的运算，优化解题过程，根据问题的条件确定解决问题的大 致范围，然后通过不断改进方法或者排除不可能的情况，逐步缩小问题的解的存 在范围，从而最终获得问题的结果。针对问题二，只有Ⅱ层的厚度未知，且已提 供了Ⅱ层厚度在[0.6,25]的范围里，再此问题背景下，用二分法逼近思想求解最 优厚度是可行且能避开复杂的运算。
（2）模型的逼近思想与二分法
二分法是解非线性方程的一种直观而又简单的算法，它的依据是如果函数y ? f (x) 在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且 f (a)* f (b) ? 0 ，那么函数 y ?f (x) 在区间[a,b]内至少有一个零点。具体计算步骤是，不断缩小区间的长度，使区间中点逐步逼近根的精确值，周而复始，不断二分以缩小区间长度，直到找到根。利用这一思想，将Ⅱ层厚度在[0.6,25]之间用二分法取值逼近找到最优解。评判最优解的标准是观察假体表面温度在60 分钟时，小于47℃且超过44℃ 不超过 5 分钟，在满足这两个条件的情况下，在考虑经济及成本性，应尽可能取厚度小的值。
（3）二分法逼近思想流程图:
图 5：二分法逼近思想流程图
5.2.2模型的求解
该模型是采用二分法逐步逼近的数学思想求Ⅱ层材料厚度的最优解，所设的厚度 x ?[0.6,25],首先取Ⅱ层材料厚度 x2 ? (0.6 ? 25) / 2 =12.8，环境温度为 65℃，
总半径距离 r =(0.6+ x2 +3.6+5.5)mm，通过热导公式算出假体表面温度随时间的变化，时间取步长为 1s，到 60 分钟为止，观察 60 分钟时的温度值，及超过 44℃ 的时间。通过 MATLAB 编程，得出数据，分析当Ⅱ层材料厚度为 12.8mm 时，
取出 3300s 及 3600s 的温度值，由于温度是先随时间的增大而增大，后面再趋于
稳定，所以只要观测3600s 时温度是否大于47℃或者3300s 时温度是否大于44℃，当两者情况中，出现了至少有一者满足，那么该取值不符合要求，另外若没有出现这两种情况但两区间端点值 a ? b ? e?6，即说明该值虽然满足题目所给要求，但还不够小即还不是最优解，所以都需重新二分法取值，至于往大的方向取值还是往小的方向取值，根据材料厚度越大温度越低的原理，当 3600s 时温度大于47℃或者 44℃超过 5 分钟，则往大的方向二分法取值，反之，则往小的方向二分法取值。通过此思想，多次测试所求厚度值，利用 MATLAB 编程可得所测试结果，如表 1 所示：
表 1：二分法所得第Ⅱ层厚度对 55min 及 60min 时假人温度的影响
根据实验数据可知，可得Ⅱ层材料的最优厚度为 7.9391mm 约等于 8mm。
5.3问题三的模型建立与求解
5.3.1模型的建立
（1）模型建立背景
根据问题三，要求所得Ⅱ层及Ⅲ层的最优厚度，相比问题二，多了一个未知变量，所以此时二分法逼近的数学模型已不是最适合的方法。此为双指数最优化求解问题，且在考虑经济成本尽量低的情况下，两层厚度在满足题目要求的前提下，其和应尽量小。从而便建立起了目标函数
建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值，优先等级，权系数等，它们都具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给于量化。
考虑到问题一所得公式是温度与距离 x 的非线性关系，故在目标规划模型中
可利用蒙特卡洛算法求解。
蒙特卡洛方法也称为计算机随机模拟方法，它是基于对大量事件的统计结果来实现一些确定性问题的计算。使用蒙特卡洛方法必须使用计算机生成相关分布的随机数，而 MATLAB 给出了生成各种随机数的命令。在一定计算量的情况下， 用蒙特卡洛完全可以得出一个满意解。
5.3.2模型的求解
考虑到温度是关于时间的单调递增函数，故而问题二的要求可等效为：当工作时间为 1800 秒时，人皮外侧温度T ? 47℃；当工作时间t ? 1500s 时，人皮外
侧温度T ? 44℃；本模型优先考虑高温作业服的隔热能力，在保证高温作业服的
隔热能力的条件下，尽可能减少Ⅱ层与第Ⅳ层的布料之和，可将模型化简为下列方程求解：
由于是随机模拟， 因此每次的运行结果不一定相同， 故而取平均值
x2 ? 8.33mm 、 x4 ? 4.81mm由蒙特卡洛目标规划及进一步验证所得结果可以看出，当 x2 ? 8.33mm 、x4 ? 4.81mm 时，既满足了题目的要求，又尽量减少了衣服布料的使用，使服装成本降低，设计更为经济化。
六、模型的评价与推广
6.1模型的评价
6.1.1模型的优点
（1）圆柱体模型的建立使热传导问题得以简化，再建立一维热传导模型，利于最优化问题的讨论；
（2）深刻分析了温度在各层织物材料的动态变化过程，得出的优化结果具有较高的合理性；
（3）本文采用了蒙特卡罗算法对织物厚度的优化设计模型进行求解，省略了繁琐的数学推导与演算过程，具有良好的现实指导意义。
（4）在一维热传导方程的 Cauchy 问题中，将非齐次项转化为齐次项，通过变量代换法将原方程齐次化，从而可用泊松公式求解，避免了传统方法中由二重积分带来的繁琐计算。
6.1.2模型的缺点
（1）模型复杂因素较多，不能对其进行前面的考虑，比如传热只考虑了热传导方式，造成与实际有一点的不相符之处；
（2）模型 I 中一维非齐次热传递模型只适用于圆柱体的假设，因而结论可能具有局限性
6.2模型的推广
通过所建立的模型和求解结果，我们可以得到一定温度下，热防护服各部分温度随时间的分布模型，也可以使用于其他不同的室温环境，将模型应用与实际的生活具有非常重要的现实意义。
参考文献
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论文作者:叶俏珏,李志鹏,林冬婷
论文发表刊物:《科技新时代》2019年8期
论文发表时间:2019/10/12
标签：模型论文; 厚度论文; 热传导论文; 温度论文; 最优论文; 材料论文; 织物论文; 《科技新时代》2019年8期论文;