真值联结词的空缺与补漏——缘于对矛盾律和排中律公式的质疑与修正，本文主要内容关键词为：排中律论文,真值论文,空缺论文,公式论文,矛盾论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
好友易子先生寄来1997年《贵阳师专学报》第3期，里面载有他的一篇文章，题为《逻辑问题三题》（以下简称“易文”），其中的问题之三是关于矛盾律和排中律公式的质疑与修正问题。易文指出现行普通逻辑教课书中矛盾律和排中律的公式有缺陷，并提出了修正意见。细读之后，笔者认为，易文的质疑是正确的。但“修正”后的公式仍不能成立。鉴于易子“还希望看到更好的方案”，笔者经过认真思考，写此文，与易子共商。
一、“现行公式”的不足与“易氏公式”的缺陷。
在现行的普通逻辑教课书中，关于矛盾律的基本内容，一般都用公式表示为：“A不是非A”。同时，也引用数理逻辑的符号表示为：“っ(A∧っA)”。
正如易文所说：“从形式上看，A与っA是矛盾关系，是一对相互矛盾的命题。っ(A∧っA)，是说A和っA不能同真。……但若以此同矛盾律的内容相对照，就感到公式与内容没有完全统一起来。矛盾律的内容分明写着：在同一思维过程中，两个互相反对或互相矛盾的命题不能同时都真，其中至少有一个是假的。从内容来看，矛盾律范围包括反对关系和矛盾关系，但从公式来看，只有矛盾关系，没有反对关系。因此，简单套用数理逻辑的公式来表达传统逻辑的矛盾律是否妥当，值得认真考虑。”易文对矛盾律公式的质疑无疑是正确的。
在现行普通逻辑教课书中，关于排中律基本内容的公式表示为：“A或者非A”。数理逻辑的符号式为：“A∨っA”。
易文指出，排中律的公式与其内容或范围同样不统一。从形式上看，公式也只限于矛盾关系。有些逻辑教课书在谈到排中律的适应范围时，只提到矛盾关系，但另有一些教课书则明确指出排中律适用于具有矛盾关系或下反对关系的命题，但所用公式并无区别。因此，对于后者来说，排中律的公式与其内容或适应范围也不统一。于是，易文对矛盾律与排中律的公式“修正”如下：“っ(A∧っA)∨っ(A∧B)（其中A与B为反对关系）”、“(A∨っA)∨(A∨C)（其中A与C为下反对关系）”。
对上述矛盾律的符号公式，易文解释说：“在这个公式中，析取词“∨”左边指矛盾关系的两命题不能同真，右边则指反对关系的两命题不能同真。但是必须在公式后边注明A与B是反对关系。这个公式虽然没有过去引用的公式简单，但它正确地、完整地反映了矛盾律的内容，在使用中不会引起异义或误解。”对上述排中律的符号公式，易文也作了大致相同的解释。
笔者认为，易文的总体思路还是正确的。如前所述，现有的矛盾律与排中律公式的不足在于未能全面反映出矛盾律和排中律的基本内容，即矛盾律不仅适应于具有矛盾关系的命题，也适应用于具有反对关系的命题；排中律不仅适应于具有矛盾关系的命题，也适应于具有下反对关系的命题，而现有的矛盾律与排中律的公式都只仅仅反映了具有矛盾关系的命题。“易氏公式”就是针对原公式中的不足而作出的修正。就矛盾律的公式来说，易文用了一个析取式，析取式的两个肢命题是两个合取命题的负命题。肢命题之一表述的是两个具有矛盾关系的命题不能同真（即原矛盾律公式：っ(A∧っA)；另一肢命题表述的是两个具有反对关系的命题不能同真（即对原公式不足的补充：っ(A∧B)。易文对排中律公式的修改也是如此。可见，易文的总体思路并不错。
但是，修改后的公式其缺陷也是显而易见的。其一，按照矛盾律和排中律的基本内容，其相应的公式都应为合取式，而不是析取式。即矛盾律的公式应表述出的思想是：两个相互矛盾的命题不能同真，并且两个反对关系的命题也不能同真；排中律的公式应表述出的思想是：两个相互矛盾的命题不能同假，并且两个下反对关系的命题也不能同假。其二，矛盾律符号公式中的肢命题“っ(A∧B)”和排中律符号公式中的肢命题“A∨C”须借助于公式之外的解释或规定才能够确定其意义指向。但是，这种“符号公式”加“解释或规定”的做法是没有合理性根据的。作为命题变元是可以表示任意内容的。规定或限制其意义指向与逻辑理论不符。可见，“易氏公式”也是不能成立的。
那么，能够完整地表示矛盾律与排中律基本内容的命题真值形式到底应是怎样的呢？
二、问题的实质是相应的真值联结词的空缺
为了抓住问题的实质，我们暂且把上述问题简化为这样一个问题：如何用命题真值形式来表示命题间的反对关系和下反对关系？
按照常识，命题间的反对关系和下反对关系应分别用合取命题的负命题(っ(A∧B)和析取命题(A∨B)来表示，但这样一来，我们就会重蹈易文的覆辙。那就是由于命题变元可代入任意的内容，我们不能从命题真值形式本身确定其命题变元间必然是反对关系或下反对关系。例如“っ(A∧B)”，其命题变元“A”与“B”之间可以是反对关系，也可以是矛盾关系。甚至既不是反对关系，也不是矛盾关系，因为该式并不是重言式（永真式）。这也就是易文为什么要在公式之外附加注解或规定的原因。 笔者认为，矛盾关系、反对关系和下反对关系都是命题间的真值关系，命题间的矛盾关系我们可以很容易地用一个相应的命题真值形式来表示，为什么命题间的反对关系和下反对关系我们却难以给出相应的命题真值形式呢？分析表示矛盾关系的符号式“っ(A∧っA)”与“A∨っA”，笔者发现，是真值联结词“っ”在起作用。借“っ”这一否定联结词，我们可由命题“A”构成命题“っA”，命题“っA”是对命题“A”的否定，，称为“A”命题的负命题，负命题与被否定的命题之间的真假关系为矛盾关系。如此，给出矛盾关系命题间不可同真、不可同假关系的命题真值形式便是一件极容易的事了。至此，我们可以说问题的实质已经明朗，那就是现有的逻辑理论系统中尚缺少两个相应的真值联结词。真值联结词是反映命题间真假关系的联系词，反对关系与下反对关系也都是命题间的真假关系，也理应有相应的真值联结词。不难想象，假如有了两个相应的真值联结词，那么给出表示命题间反对关系和下反对关系的命题真值形式就会像给出命题间矛盾关系的真值形式一样简单。可见，在现有的逻辑理论系统中补充两个空缺的真值联结词既是必要的，也是合理的。其实，这在普通逻辑中也是已有先例的。如用来表示不相容选言命题联结词的符号“∨”（读作不相容析取）就是根据思维的实际在数理逻辑给出的五个基本的真值联结词的基础上增补的。为此，笔者提出以下两个符号：①“
”，表示“反对……”；②“
”，表示“下反对……”。
从“形”上看，增补的两个符号“和“”是以否定联结词符号“っ”为基础的，三个符号在形上的同与异，意在表明它们在内容（真假关系）上也有同有异。反对关系与矛盾关系在真值上的相同点是两者都不能同真，区别点是前者可以同假，后者不能同假。下反对关系与矛盾关系在真值上的相同点是两者都不能同假，区别点是前者可以同真，后者不能同真。有了“”和“”这两个真值联结词，完整地表示矛盾律与排中律基本内容的命题真值形式可以说是呼之即出了！
三、新公式及其重言式的判定
借“”这一命题联结词，我们可由命题“A”构成命题“A”，命题“A”称“A”命题的反对命题，命题“A”与命题“A”之间为反对关系，借“”这一命题联结词，我们可由命题“A”构成命题“A”，命题“A”称“A”命题的下反对命题，命题“A”与命题“A”之间为下反对关系。命题“A”、“A”、“ ”A、“A”之间的真假关系可用真值表表示如下：
在命题“A”、“っA”、“ A”分别与命题“A”为反对关系、矛盾关系和下反对关系的真值表中，我们还看到命题“っA”、“っA”、“ A”三者之间互为可以同真，可以同假的差等关系。命题间的差等关系实质上就是蕴涵关系，按照“A”、“っA”、“ A”的排列顺序，前者蕴含后者。也即前者真，后者必真；后者假，前者必假。
现在，我们对矛盾律和排中律的公式修正如下：“っ(A∧っA)∧っ(A∧A)”（意为两个矛盾关系的命题不能同真，并且两个反对关系的命题也不能同真）、“(A∨っA)∧(A∨A)（意为两个矛盾关系的命题必有一真，并且两个下反对关系的命题也必有一真）。
重言式是关于复合命题的逻辑规律，作为逻辑规律的矛盾律和排中律，其公式（命题真值形式）都应是重言式。真值表是判定一个真值形式是否为重言式的一种有效方法。下面我们就用真值表方法对上述两个公式作出重言式判定。
①矛盾律式公的真值表判定：
真值表表明，矛盾律公式为重言式。
②排中律公式的真值表判定：
真值表表明，排中律公式为重言式。
总之，易文在对矛盾律与排中律公式的修正时，之所以要在公式之外附加注解或规定，实属出于无奈。其陷入困境的原因就在于逻辑理论系统中真值联结词的空缺。笔者认为，即使我们撇开现行的矛盾律和排中律公式是否合理，是否应进行修正不谈，仅就现有的真值联结词确实不能准确地表示出反对关系和下反对关系的命题真值形式，而两个真值联结词的增补即可使问题简单解决这一点而言，补充两个空缺的真值联结词也是有意义的。况且，也并不会因此给命题推理系统带来任何矛盾。当否，乞望同行专家指教。