向量数量积的应用，本文主要内容关键词为：向量论文,数量论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位与作用，利用向量的知识可以解决不少复杂的代数与几何问题.本文着重就向量数量积的性质及其应用作一归纳与说明.
一、证明不等式
例1 已知x、y、z为正实数，且x+y+z=1，求证：（1/x）+（4/y）+（9/z）≥36.
所以 （1/x）＋（4/y）＋（9/z）≥36.
评注 上例虽然也可以利用证明不等式常规方法来解决，但没有用向量数量积的性质证明来得简明.
二、求函数的最值
例2 求函数f（x）=
时取等号.
故由
=k＞0得x=5，k=1.
即x=5时，f（x）max=6.
三、求角
例3 在正四面体A-BCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求异面直线BE与DF所成的角的大小.
解 设正四面体的棱长为t，
由正四面体的性质与向量数量积的意义可得
故异面直线BE与DF所成的角的大小为arccos2/3.
评注 利用向量性质求立体几何中的“线线”角优势十分明显，不但省去了找角的麻烦，更使运算趋于简单.求“线面”角、“面面”角也可以通过法向量转化为“线线”角来解决.
四、判断、证明与求解与“线线”垂直有关的问题
例4 （2000年高考题）如图2，已知平行六面体ABCD—A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]，的底面ABCD是菱形，且∠C[，1]CB=∠C[，1]CD=∠BCD=60°，当（（CD）/（CC[，1]））的值是多少时，能使A[，1]C⊥平面C[，1]BD，请给出证明.
cos60°）=0，由此可求得λ=1（λ=-3/2，舍去），即当（（CD）/（CC[，1]）的值是1时，能使A[，1]C⊥平面C[，1]BD.
评注 本例是2000年高考解答题第18大题的第3小题，是一个探索性问题，单纯用立体几何知识解答较繁，而利用向量性质求解比较简单.
五、求参变量的取值范围
例5 （2000年高考题）椭圆（x[2]/9）+（y[2]/4）=1的左、右焦点为F[，1]、F[，2]，P其上一点，当∠F[，1]PF[，2]为钝角时，点P的横坐标范围是______.
解 设P（x，y），由题意则y[2]=4-（4/9）x[2]，
六、求线段的长度（异面直线间的距离）
例6 在棱长为1的正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，求异面直线A[，1]B与B[，1]C的距离.
评注 求异面直线距离的难点是确定公垂线段所在的位置，而用向量性质求距离就避免了这一困难.“点面”“线面”“面面”距离也可以利用向量法来进行求解.
综上所述，利用向量数量积的性质解决有关几何、代数问题，具有新颖、直观、简明等优点.特别是对一些探索性问题用向量法去思考，思路清晰，目标明确，从而大大降低了求解难度，值得引起大家的重视.