小学渗透数学思想方法的实践与思考，本文主要内容关键词为：思想论文,数学论文,小学论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
对于数学思想、数学方法、数学思想方法，目前都还没有形成精确的定义。一般认为，数学方法是指在解决数学问题和数学地解决问题的过程中所采用的途径、程序和手段。数学思想是指数量关系和空间形式反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。可以看出，“数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，‘方法’指向‘实践’；而数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用”，“数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法进一步的概括与升华”。[1]数学思想与数学方法既有明显的区别，更有紧密的联系。其联系正如前苏联数学教育家弗利德曼所言：“任何一种思想都是在科学的个别方法中——在认识和实践中获得一定的结果的方法中，在理论方面和实践方面体现出来。”[2]但是，“从数学教育的角度来看，区分数学思想与数学方法可能没有太大意义，哪个是方法，哪个是思想，非去做一番考证和辨析大可不必”。既然如此，我们完全可以在概念的区分上注重其实质，而适当淡化其形式，不如将在小学数学教学中渗透的数学思想、数学方法，在不便区分是思想还是方法、不必区分是思想还是方法时，统一称之为数学思想方法，如分类思想方法、转化思想方法。[3](3-10)
关于数学思想方法的重要性，“很早就有这样的认识：学习数学不仅要学习它的知识内容，而且要学习它的精神、思想和方法。掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆，领会数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路’”。[3](13)结合小学数学的具体内容渗透数学思想方法，不仅能使小学生更好地理解和掌握数学内容，更有利于小学生感悟数学思想方法，初步理解数学内容的精神，感受数学科学的精髓，帮助他们学习用数学的眼光看待世界，初步学会思维，发展数学素养。
教育部2001年7月颁发的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在课程“总体目标”中要求通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，[4]第一次将“基本的数学思想方法”作为学生数学学习的目标之一，改变了长期形成的“双基”（数学基础知识、基本技能）教与学的目标。在“课程实施建议”中多次提出，要根据小学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点，采用逐步渗透、螺旋上升的方式，引导学生感悟数学思想方法。基于“全面知识”的数学观和教学观，数学课程重视数学思想方法，关注学生在数学学习过程中对数学思想方法的感悟，更加关注的是数学思想方法本身，而不仅仅是通过渗透数学思想方法加深学生对数学基础知识的理解。新目标不仅关注显性的“双基”，而且关注隐性的数学思想方法，注重“双基”与数学思想方法的结合，使二者相互促进形成有机整体，这并不是对传统特色的否定，而恰恰是对数学教学“双基”特色的继承和发展。实现这一目标，需要在数学教学活动中，继续促进学生理解基础知识、掌握基本技能，同时启发他们领会数学思想方法，真正促进他们全面、持续、和谐地发展。
一、教材蕴涵数学思想方法的实践
小学数学教学内容包括显性的和隐性的两个方面，是显性和隐性的统一体。我们在编写课程标准小学数学教材时，不仅关注显性的基础知识和基本技能，关注重要的数学概念、数学法则与公式等结论，也十分关注知识发生、发展和应用的过程，关注学生观察、实验、分析、综合、猜测、推理、验证等的心智活动过程，关注隐性的数学思想方法，虽然一般都没有给出数学思想方法具体的名称，但在知识发生、发展和应用的过程中隐含着或应用着这些思想方法，适时地有机蕴涵一些数学思想方法。
教材在蕴涵数学思想方法时，一方面注意根据小学生的实际认知水平，通过合适的显性知识载体把最基础、最具适应性的数学思想方法融入知识的发生、发展过程之中，努力使学生在获得数学显性知识的同时受到相应数学思想方法的熏陶，对数学思想方法有一些初步的感知和直觉。另一方面，通过选取一些具有丰富数学内涵且迁移性较强的问题，让学生在应用所学知识分析、解决这些问题的过程中不断丰富对数学思想方法的体验，积累对数学思想方法的初步认识。不仅如此，从中年级的教材开始逐册安排“解决问题的策略”单元，以解决实际问题为载体，以一些数学思想方法为线索，帮助学生通过对解决实际问题过程的回顾与反思，适当提升对相关数学思想方法的感悟，进一步感受分类、转化等数学思想方法的价值，促进思维的发展和数学学习能力的提高。[5]在小学数学教材中蕴涵的数学思想方法主要有以下几种。
（一）归纳
归纳是通过特例的分析引出普遍的结论。在研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中概括出一般的规律和性质，这种由部分到整体、由特殊到一般的推理被称为归纳。小学数学中的有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳，有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。小学阶段学生接触较多的是不完全归纳推理。加法结合律，我们就采用了不完全归纳推理展开教学。例如，28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子。求跳绳和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳绳的人数，列出算式(28+17)+23计算，也可以先求女生的人数，列出算式28+(17+23)计算。这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式(28+17)+23=28+(17+23)。在这个实例中，学生看到的数学现象是不是普遍性的规律，需要在类似的情况中验证。于是，我们让学生分别算一算(45+25)+13和45+(25+13)，(36+18)+22和36+(18+22)，看看每组的两道算式是不是分别相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，猜想有这种结构特点的算式结果是否一定相等，通过实验发现第一个实例中的数学现象在类似的情况中同样存在。接着，鼓励学生自己写出类似的几组算式，进行更多的验证，体验现象的普遍性。学生通过进行类似的实验，在实验中概括出加法结合律，并用字母a、b、c分别表示三个加数，写成(a+b)+c=a+(b+c)。这样，学生在学习加法结合律等的过程中，就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以发现数学规律、定理，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。
（二）演绎
演绎与归纳相反，是从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论。在研究个别问题时，以一般性的逻辑假设为基础，推出特定结论，这种从一般到特殊的推理被称为演绎。在推理形式合乎逻辑的条件下，应用演绎推理从真实的前提一定能推出真实的结论。例如，知道了“三角形的内角和是180°”的结论，让学生据此推出或求出直角三角形两个锐角的和是90°，推出或求出等腰直角三角形的两个锐角都是45°。再如，通过归纳得到乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c以后，要求学生应用乘法分配律进行72×(30+6),32×102,46×12+54×12,45×99+45等的简便计算，在较多的计算活动中进一步体会乘法分配律的本质，提高灵活应用乘法分配律的能力。学生像这样根据已经获得的定义、定律、公式等，去解决一个个具体的问题，通过这样一些由一般向特殊的演绎，使得抽象的数学概念、规律和原理具体化，从而促进数学知识的理解和掌握，发展推理能力和思维能力。
（三）类比
类比是由特殊到特殊的推理，具有假设、猜想的成分。同归纳一样，类比是常用的一种合情推理。类比是立足在已有知识的基础上，通过两个（或两类）及以上对象之间某些相同或相似的性质，由已经获得的知识引出新的猜测，推断它们在其他性质上的相同或相似。运用类比的关键是寻找一个合适的类比对象（已经学过的知识或已有的方法经验），需要沟通不同维度知识的内在联系，它多发生在像整数的运算规律推广到分数这样由低维度向高维度知识的提升之处。例如，在教学“比的基本性质”时，我们先通过测量几瓶液体的质量和体积的记录，求出这几瓶液体质量和体积的比值，并把比值相等的比写成等式。再引导学生观察这些等式，联系分数的基本性质想一想，比会有什么性质。学生大胆猜想，将比的前项、后项同时乘或除以相同的数（0除外），看看比值有没有变化，进行验证。学生通过类比的方式，将分数的基本性质迁移、推广到比的基本性质，不仅使所学的数学知识容易理解，更能感受到数学知识的连续性。
（四）分类
分类是以比较为基础，按照数学研究对象本质属性的相同点和差异，将数学对象分为不同的种类。对数学对象的分类必须科学、统一，每一次划分时分类的标准只能是一个，不能交叉地使用几个不同的标准，要使分类既不重复也不遗漏。例如，根据角的大小三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类。再如，非零自然数，以约数的个数可以分为质数、合数和1三类，以是否是2的倍数可以分为奇数和偶数两类。通过分类，学生可以体会和理解不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识结构，使所学数学知识条理化。
（五）转化
数学知识是一个整体，它的各部分之间相互联系，有时也可以相互转化。转化可以将数的一种形式转化为另一种形式，一种运算转化为另一种运算，一个关系转化为另一个关系，一个量转化为另一个量，一种图形转化为另一种或几种图形，使一种研究对象在一定条件下转变为另一种研究对象。为了有利于学生学习和研究，我们注意将新知识转化成学生已经学过的知识，将较为复杂的问题转化成比较简单的问题，例如，把小数乘法的计算转化为整数乘法的计算，把分数除法的计算转化为分数乘法的计算，把不规则图形的面积计算转化成规则图形的面积计算。实际上，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形面积计算公式的推导，我们都是通过变换原来的平面图形，帮助学生把对“新”图形的认知转化成对“旧”图形的改造与提升，在“新”“旧”知识的联系中寻找到解决“新”知的方法。研究平行四边形面积的计算时，把一个平行四边形“剪”“拼”转化成长方形来计算面积；研究三角形、梯形面积的计算时，我们把两个相同的三角形、两个相同的梯形分别拼成一个平行四边形来计算面积；研究圆面积的计算时，我们把一个圆平均分成16,32,64份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，并由此想象无限细分下去，拼成的图形就接近于长方形，可以通过拼成的长方形来计算面积。这样，就将原来的图形通过剪、拼等途径加以“变形”，化难为易。不仅如此，我们还专设一个单元教学用转化的策略解决实际问题，凸显转化在数学学习中的地位，帮助学生进一步体会转化思想方法的价值。
（六）符号化
符号是人类文明发展的重要标志之一，而数学的基本语言就是文字语言、图像语言和符号语言，其中最具数学学科特点的是符号语言。实现符号化，需要经历“具体—表象—抽象—符号化”的过程。把客观现实中存在的事物和现象以及它们之间的相互关系抽象概括为数学符号和公式，不仅要把实际问题用数学符号表达出来，而且要充分把握每个数学符号所蕴涵的丰富内涵和实际意义，这对于小学生来说，并不是一件容易的事，必须逐步地提高他们的抽象概括水平。我们从一年级就开始用“□”或“( )”代替具体的数乃至变量，让学生在2+( )=10,8+□=15,□＞42＞□等算式中填上合适的数，引导学生联系自己身边的事物，通过观察、操作等活动，初步感受符号的意义，逐步体会用符号表示数的作用。在四年级教学平面图形的面积公式时，我们不仅引导学生归纳出面积计算公式，还用字母表示，引导学生体会用字母表示计算公式的简便和优越。教学加法和乘法运算律时，鉴于学生对符号有了比较充分的认识，就不再用纯文字的形式而直接用含有字母的式子表示这些定律，不仅使得规律的表达更加准确、简明、形象，更便于学生掌握，而且使学生感受到用字母表示定律的意义。到了五年级，学生开始正式学习用字母表示数，从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，引导他们经历用字母表示数的抽象与概括过程，初步学习并理解用含有字母的式子表示数量关系，体会符号化的简洁与准确，不仅为列方程解决实际问题做好准备，更为进入中学后代数等知识的学习打好基础。
（七）数形结合
数学是研究数量关系和空间形式的科学，数形结合就是根据数量与图形之间的关系，借助“形”的直观来表达数量关系，运用“数”来刻画、研究形，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑，通过“以形助数”或“以数解形”使抽象思维与形象思维结合起来，将复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到解决问题的目的。根据知识的特点和小学生的思维发展水平，我们主要通过线段图、长方形面积图、树形图等，把一定的数量关系形象直观地表达出来，帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间存在的联系，以形助数来化隐为显、化难为易。例如，“一条裤子28元，上衣的价钱是裤子的3倍，求买一套衣服要多少元”，题里只有两个已知条件，其中一个条件“28元”在解题时要连续使用两次，三年级学生理解时有一定的困难。我们引导学生画线段图帮助理解题意，研究数量之间的关系。用线段图
表示裤子的价钱，表示上衣价钱的线段就有两种画法：
，学生就能将实际问题中抽象的数量关系与直观的线段图联系起来思考。根据这几种画法，很容易想到求这一套衣服的价钱只要把裤子的价钱加上上衣的价钱，上衣的价钱（28元的3倍）还不知道，需要先算出来。特别是根据后两种画法，学生还会想到这一套衣服的价钱就是裤子的价钱（28元）的(1+3)倍，探索出解决这一实际问题的不同方法。在帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间的关系，以形助数来解决实际问题的基础上，我们开始初步渗透数形结合的思想方法，主要是通过认识小数、分数和负数的教学，让学生在数轴上填数，在数轴上找出相对应的数，帮助他们在数与形的这一次重要碰撞中更好地体会数轴上的点与数之间的一一对应关系，初步体会数与形的结合；通过用数对表示位置的教学，让学生在平面图上用数对表示物体的位置，说出平面图上数对所在的点表示的物体，帮助他们体会平面上的点与数对之间的一一对应关系；通过正比例图像的教学，让学生体会正比例关系的图像是一条直线，同时，利用图像根据其中一个量的值估计另一个量的值，既将抽象的数学概念、数量关系直观化和形象化，又借助形象的图像来理解抽象的正比例关系问题，努力使学生抽象思维和形象思维的发展结合起来。
在小学数学教材中，我们还适时蕴涵了函数、集合、统计等现代数学思想方法。有关这方面的讨论较多，限于篇幅，本文不再赘述。
二、加强渗透数学思想方法的思考
三十多年教学的实践告诉我们，注重数学思想方法的渗透，在进行数学概念、公式、法则等的教学过程中，努力揭示其发生、发展与应用的全过程，并努力挖掘其中蕴涵的数学思想方法因素，不但不会影响小学生数学基础知识与基本技能的掌握，反而能够帮助学生真正理解有关教学内容，促进他们更牢固地掌握基础知识，有效地形成基本技能。在小学，教学数学思想方法的形态主要是渗透。相对于显性的“双基”，数学思想方法的渗透还是一个比较新的课题。虽然广大教师在教学实践中也积累了一定的经验，但是，就大面积而言，还重点关注显性的“双基”，而不太关注隐性的数学思想方法，加之渗透的要求不够明确，与显性“双基”的教学相比渗透还需要特别注意些什么，渗透又如何进行，都需要理论的研究和探讨、实践的探索和总结。
加强数学思想方法的渗透，需要意识到隐性的数学思想方法的存在，弄清楚小学数学教学需要并且可能渗透哪些数学思想方法，较为清楚地界定和刻画适于小学生领悟的数学思想方法；需要进一步提高对渗透数学思想方法的认识，把隐性的数学思想方法真正纳入小学数学教与学的范畴；还需要有比较明确具体而恰当的渗透要求，掌握渗透的方法，不断丰富渗透的经验，以提高渗透的有效性。
当然，在具体的教学过程中，我们需要明确渗透数学思想方法的要求。数学思想方法蕴涵在显性的具体知识之中，又和具体的知识紧密联系，不可分割。作为教育任务的数学，本身就是数学基础知识、数学基本技能与数学思想方法的有机统一体。小学数学教材呈现的教学内容主要是沿着知识的纵向展开的，数学思想方法通过具体知识的发生、发展和应用过程来体现，一般情况下不需要也不可能明确地揭示和总结。另一方面，小学生的实际认知水平有限，他们理解并形成数学思想方法需要经历一个“润物细无声”的发展过程，这一过程从模糊到逐渐清晰、从初步理解到应用，需要较长时期，不可能在小学甚至初中阶段完成。况且，学生的认识和理解水平之间存在着较大差异，存在着认识和理解上的不同步。小学数学教学所渗透的数学思想方法应该是适于小学生领悟的。尽管小学渗透数学思想方法目标的设定和陈述不可能很具体，我们还是需要并且有必要较为清楚地界定和刻画在哪一年级结合哪些内容可渗透哪一项数学思想方法，归纳、演绎、类比、分类、转化等每一项数学思想方法可以结合哪些具体知识渗透，每一项数学思想方法的渗透又怎样针对不同年级学生的认知发展水平体现出应有的层次并提出较为明确具体而又恰当的要求。明确渗透数学思想方法的要求，我们还需要正确认识和处理数学思想方法的渗透与具体数学内容的教学之间的关系，既要防止只关注显性的“双基”而忽视隐性的数学思想方法，又要防止对数学思想方法的过分泛化，防止不顾学生的理解和接受能力而随意地提高数学思想方法的教学要求，以避免加重学生的学习负担。
作为小学数学教师，我们必须进一步更新观念，充分认识数学思想方法在数学教育中的价值和在培养学生数学素养方面的作用，把渗透数学思想方法真正纳入教与学的目标。同时，努力提高自身的数学素养，深入钻研教材，充分挖掘显性内容中隐含的数学思想方法，抓准数学思想方法与显性知识的结合点，精心设计教学情境，优化教学过程，采用教者有意学者无心的方式，不直接点明所蕴涵的数学思想方法，有机地自然而然地渗透，着意引导学生在数学活动中，在学习数学、理解数学的过程中逐步地感悟数学思想方法，使他们经过几年、十几年潜移默化的逐步积累，对数学思想方法的理解由浅入深、由表及里以逐步达到一定的高度，促进科学思维品质的形成，实现数学素养的提升。